Презентация по ИГ: "Кривые линии"

КРИВЫЕ ЛИНИИ      Кривая линия определяется положением составляющих ее точек.  Кривую линию называют  плоской, если все точки кривой лежат в одной плоскости,  пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости. Плоские кривые Все множество плоских кривых можно разделить на циркульные и  лекальные. Циркульной называют кривую, которую можно построить с помощью  циркуля. К ним относятся окружность, овал, завиток и т.д. Лекальной называют кривую, которую нельзя построить с помощью  циркуля. Ее строят по точкам с помощью специального инструмента,  называемого лекалом. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола,  гипербола, спираль Архимеда и др.

Лекальные кривые можно разделить на закономерные и  незакономерные.      Закономерными называют кривые, которые можно задать  алгебраическим выражением. Незакономерные кривые нельзя  задать алгебраическим выражением.      Среди закономерных кривых наибольший интерес для инженерной  графики представляют кривые второго порядка: эллипс, парабола и  гипербола, с помощью которых образуются поверхности,  ограничивающие технические детали.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Плоские кривые линии, получаемые при пересечении поверхности  прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными  по отношению к оси конуса, называют кривыми конических сечений  (коническое сечение).  В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения  конической поверхности могут быть : эллипс, парабола, гипербола

1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной  его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая —  эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда  секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.  2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей  конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность  кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.  3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения  — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых,  простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на  обеих полостях конуса.

Эллипс ­ замкнутая плоская выпуклая кривая второго порядка,  сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек  (фокусов), лежащих на его большой оси, есть величина постоянная и  равная длине большой оси.  Фокус кривой второго порядка (эллипса, гиперболы, параболы) - точка F, лежащая в плоскости этой кривой и обладающая тем свойством, что отношение расстояния любой точки кривой до F к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Середина 0 отрезка F1F2 (фокусного расстояния)называется центром  эллипса. Отрезок АВ называется большой осью эллипса. Отрезок СД, проведенный  через середину большой оси – точку О – центр эллипса перпендикулярно к  ней, называется малой осью эллипса Прямые D1D1' и D2D2’, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его  центра на расстоянии d=±a/e, называются директрисами эллипса,  соответствующими фокусами F1 и F2. Отношение расстояний любой точки  эллипса до фокуса к расстоянию её до соответствующей директрисы  постоянно и равно эксцентриситету r1/d1=r2/d2=e.

Построение эллипса по двум заданным его осям АВ и СД.  Из центра О эллипса проводят  две окружности, диаметры  которых равны большой и  малой осям элипса. Из центра  эллипса проводят пучок лучей  до пересечения с  окружностями в точках 1, 2, 3,  4… и 11, 21, 31, 41… . Из точек  1, 2, 3, 4… проводят прямые,  параллельные малой оси  эллипса, а из точек 11, 21, 31,  41… ­ параллельные большой  оси. Пересечение  соответствующих пар этих  прямых определяет ряд точек,  соединяя которые плавной  кривой получают эллипс. Для нахождения фокусов F1 и F2 надо из точки С как из центра,  провести дугу радиусом R = АО, она пересечет ось АВ в точках Г1 и Г2 –  фокусах.

Овал с одной осью симметрии называется овоидом. Его задают обычно  радиусом или диаметром основной окружности. Построение овоида производится в следующей последовательности: Проводят линии центров АС и ВС; Радиусом АВ, равным диаметру заданной окружности, проводят дугу BF до  линии центров АС, а радиусом ВА ­ дугу АЕ до линии центров ВС; Замыкают овал дугой EF из центра С

Парабола - плоская кривая второго порядка, каждая точка которой равноудалена от директрисы NA - прямой, перпендикулярной оси симметрии параболы, и от фокуса F - точки, расположенной на оси симметрии параболы. Расстояние AF между директрисой и фокусом называется параметром p  параболы. Точка О, лежащая на оси симметрии параболы, называется  вершиной параболы и делит  параметр p пополам.

Гипербола ­ плоская кривая линия, состоящая из двух разомкнутых,  симметрично расположенных ветвей. Разность расстояний от каждой  точки гиперболы до фокусов F1 и F2 есть величина постоянная и равная  расстоянию между вершинами гиперболы. Середина 0 отрезка F1F2 (фокусного расстояния) называется центром  гиперболы

Синусоида ­ плоская кривая, выражающая закон изменения синуса в  зависимости от изменения величины центрального угла.  Величина r называется амплитудой синусоиды, L ­ длиной волны или  периодом синусоиды. Длина волны синусоиды L=2pR.

Спираль Архимеда ­ плоская кривая, которую описывает точка,  движущаяся равномерно­поступательно от центра 0 по  равномерно­вращающемуся радиусу.

Эвольвентой окружности называется траектория точки прямой линии, когда эта прямая перекатывается без скольжения по окружности. Построения эвольвенты выполняется в следующей последовательности: 1. Заданную окружность делят на несколько равных частей (к примеру на 12), которые пронумеруем 1, 2, ... 12; 2. Из конечной точки 12 проводят касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности, равную pD; 3. Полученный отрезок (длину окружности) делят также на 12 равных частей; 4. Из точек деления окружности проводят касательные и на них откладывают отрезки 111=pD/12, 221=2pD/12, 331=3pD/12, ... 12121=pD; 5. Соединив полученные точки 11, 21, 31, ... 121 плавной кривой получим эвольвенту окружности.

Циклоидальные кривые  Циклоида ­ траектория (путь) точка А, лежащая на окружности, которая  катится без скольжения по прямой АА12.

Эпициклоида ­ траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D,  которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R  (касание внешнее).

Гипоциклоида ­ траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D,  которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R  (касание внутреннее).

Пространственные кривые Среди множества пространственных кривых наибольший интерес для  инженерной графики представляют цилиндрическая и коническая  винтовые линии. Цилиндрическая винтовая линия Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой­ либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей  оси так, что путь проходимый точкой по образующей пропорционален углу  поворота цилиндра Смещение точки вдоль образующей за  один оборот называется шагом  цилиндрической винтовой линии.  Различают правую и левую винтовые  линии.

Коническая винтовая линия.      Такую линию описывает точка, которая движется по какой­либо  образующей прямого кругового конуса, вращающегося  вокруг своей оси  так, что путь пройденный точкой по образующей все время равен углу  поворота конуса Проекция на ось конуса смещения  точки вдоль образующей за один оборот  называется шагом конической винтовой  линии. Горизонтальной проекцией  конической винтовой линии является  спираль Архимеда ­ одна из  замечательных плоских кривых линий.