Презентация по Информатике на тему "Системы счисления"

Системы счисления

Определения Система счисления — это знаковая система, в  которой числа записываются по определённым  правилам с помощью символов некоторого  алфавита, называемых цифрами. Числа: под числом понимается его величина, а не            символьная запись. Например, 123, 1010011, CXL Цифры – символы, при помощи которых записывается  число. Например, 0, 1, 2, …         I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр.  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {0, 1} {0, 1, … , A, B, C, D, E, F} 2

Системы счисления Позиционные Непозиционные от положения цифры  в записи числа зависит  величина, которую  она обозначает.  от положения цифры  в записи числа не зависит  величина, которую  она обозначает.

Какие еще единицы  измерения вы знаете? Время: часы минуты секунды Вес: килограммы граммы фунты Деньги: доллары центы рубли

Чем отличаются все эти системы  счисления? Алфавитом — множеством используемых цифр для  изображения числа.  Размер алфавита (число цифр в алфавите)  называется основанием системы счисления.

Задание: Переведите 125 минут в часы. 125/60=2 целых часа + 1/12 часа Какие правила вы при этом использовали? 1 час = 60 минут Следовательно, основание данной системы  счисления равно 60. Ответ: 2 часа 5 минут      1 час = 60 минутОтвет: 2 часа 5 минут

Почему арабская система  называется десятичной  системой счисления?  Ее основание равно 10.

Примеры чисел в различных системах  счисления Десятеричная система счисления Восьмеричная система счисления Двоичная система счисления Пример 1011 9071 1706 2 10 8 Алфавит 0,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Основание 8 10 2

Позиционные системы счисления   В повседневной жизни наиболее употребима десятичная  система счисления.  Другие позиционные системы: • двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) • двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) • двадцатеричная (1 франк = 20 су) • шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)   Базисом позиционной системы счисления называется  последовательность чисел, каждое из которых задает  количественное значение или "вес" каждого разряда. Например: базисы некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: 100, 101, 102, 103, 104, ..., 10n, ... Двоичная система: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 2n, ... Восьмеричная система: 80, 81, 82, 83, 84, ..., 8n, ...

Положение, занимаемой цифрой при письменном    Положение, занимаемой цифрой при письменном  обозначении числа называется разрядом. обозначении числа называется разрядом. сотни   десятки   единицы разряды 2    1    0 3  7  8 300 70 8 = 3∙102 + 7∙101 + 8∙100    Основание десятичной системы счисления показывает,     Основание десятичной системы счисления показывает,  что каждые десять единиц образуют один десяток,  что каждые десять единиц образуют один десяток,  десять десятков образуют одну сотню, десять сотен  десять десятков образуют одну сотню, десять сотен  образуют одну тысячу и т.д.  образуют одну тысячу и т.д.    В общем случае, каждые десять единиц любого  разряда образуют одну единицу соседнего, более  старшего разряда.

Восьмеричная система счисления   Шведский король Карл XII в 1717 году  считал  восьмеричную систему более удобной, чем десятичная, и  намеревался королевским указом ввести её как  общегосударственную. Только неожиданная смерть  помешала осуществлению столь необычного намерения.   Восьмеричная система счисления широко  использовалась в программировании в 1950­70­е гг. К  настоящему времени практически полностью вытеснена  шестнадцатеричной системой счисления, однако функции  перевода числа  из десятичной системы в восьмеричную и обратно  сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках  программирования.

Шестнадцатеричная  система счисления    Шестнадцатеричная система счисления внедрена  американской корпорацией IBM. Широко используется в  программировании для IBM­совместимых компьютеров.     В некоторых языках сохранились и следы  использования этой системы счисления в прошлом.    Например, в романских языках (испанском,  французском и др.) числительные от 11 до 16  образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по  другому.  В русском языке известен пуд, равный 16 килограммам.

Формы представления числа в  позиционной системе счисления Свёрнутая 4   2   3   7 a3  a2  a1  a0 Развёрнутая 4000 + 200 + 30 + 7 = =4*103+2*102+3*101+7*100 Xp = an…a1a0 Например: 35729=  3 * 93 + 5 * 92 + 7 * 91 + 2 * 90 Xр = anPn + an­1Pn­1 + … +a1P1 + a0Р0 Свёрнутая форма Развёрнутая форма

  a A q  n 1 q  n 1  a  n 2 q  ... 0 qa 0  qa  1  1  qa  2  2  ... qa  m  m  n 2 . Где А­само число, q­основание системы счисления, а­цифры  данной системы счисления, n­число разрядов целой части  числа, m­число разрядов дробной части числа. Пример: 32478 = 10 3  10000  2 1000  100 10 8 7 4  1 10 10 10 8 3 10 4 2 7 0 .10 3 4 2 единицы десятки сотни тысячи

Пример: Задание: представьте в развернутой форме   (555,55)6 =5*62+5*61+5*60+5*6­1+5*6­2 (202,01)3 =2*32+0*31+2*30+0*3­1+1*3­2 (1100,110)2 =1*23+1*22+0*21+0*20+   +1*2­1+1*2­2+0*2­3

Задача Существует ли система  счисления, в которой 8  + 1 = 10 и  3 • 4 = 13? Существует ли система счисления, в которой 8 + 1 = 10 и 3 • 4 = 13?

0 р  1) 1 р  0 р  1) 1 р  3 0 р Решение  1( ) 0 0 8( 9 3( 12 9  р  р   р ) 4(  3 р  р Ответ: Такое соотношение выполняется  в 9­ричной системе счисления.

Если основание системы счисления р<10, то для  символьного представления цифр в ней, как правило,  используются первые р десятичных цифр.     Например, в пятеричной системе счисления будут  использоваться 5 цифр: 0,1,2,3,4.    Для 10<р<37 в качестве первых 10 цифр также  обычно используют их десятичное представление, а для  остальных цифр – буквы латинского алфавита.      Например, в шестнадцатеричной системе счисления  будут использоваться буквы A,B,C,D,E,F.     Для систем счисления с основаниями большими 36  единых правил для формы записи цифр не существует.

3 * 93 + 5 * 92 + 7 * 91 + 2 * 90 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 Задание: 1) запишите в развёрнутой форме 35729 = 101102 = 2517 = 2) Запишите наибольшее двузначное число в  восьмеричной, пятеричной, троичной системах  счисления. Определите десятичные эквиваленты этих  чисел. 2 * 72 + 5 * 71 + 1 * 70 778 = 6310  445 = 2410  223 = 810 3) Сравните числа: 510 и 105, 10002 и 106, 810 и 1004 510 = 105  10002 > 108  810 < 1004

4) Какое число следует за 1112, 378, FF16? 10002 408 10016 5) Какое число предшествует числу 108, 10102, A1016? 78 10012 A0F16 6) В какой системе счисления 21 + 24 = 100? 1x2 + 0x1 + 0x0 = 2x1+1x0 + 2x1 + 4x0.  x2 = 2x + 2x + 5 или x2 ­ 4x ­ 5 = 0.  x = 5 – в пятеричной системе счисления  6) Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в  некоторой другой системе счисления. Найдите  основание этой системы. 2x2 + x + 4 =59 2x2 + x – 55 = 0 х = 5 – основание 5