КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ «АЛТАЙСКИЙ ТРАНСПОРТНЫЙ ТЕХНИКУМ»

 

 

 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ

 

Тема

 

 

ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 

 

 

 

 

Выполнил:

 

Ларенков Артем Константинович

Студент 2 курса, группы Э-91

по профессии /специальности

35.02.16 Эксплуатация и ремонт

 с/х техники и оборудования

 

Руководитель:

 

Преподаватель Утева Л.П.

 

 

 

 

 

 

 

Первомайское

2021

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..………….....3

Глава 1 Теоретическая часть………………………………………………………….….5

Глава 2. Практическая часть………………………………………………………………8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………..………..12

Список использованных источников………………………………………………..13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Фракталы – нечто такое, о  чем я не мог написать, нечто такое, что поражает воображение многих людей, которые видят фрактальное изображение в первый раз, не зная, что это. 

До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых фигур: прямых, прямоугольников, окружностей, сфер, многогранников. Однако, этот набор, как не сложно заметить, трудно применим для описания сложных объектов, таких как, турбулентный поток жидкости, пористые материалы, форма облаков, кровеносно-сосудистая система, крона дерева и т.д.

Актуальность проекта:состоит в том, что открытие теории фракталов – это открытие не просто новой области познания, которая объединяет математику, физику, искусство и компьютерные технологии – это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в бесконечной вселенной.

Цель работы:Знакомство и изучение мира фракталов, их применения.

Задачи:

1)Дать определение фрактала

2)Познакомиться с историей появления фракталов

3)Узнать, какие виды фракталов существуют

4) Найти применение фракталов в повседневной жизни.

5)Изготовить макет антенны в виде «Снежинки Коха»

Ожидаемый результат: Макет антенны в виде «Снежинки Коха»

 

Этапы реализации проекта:

1.На подготовительном этапе была определена тема, сформирована цель и сформулированы задачи.

2. На организационном этапе определен источник информации и способ представления результатов

3. Практический этап: сбор информации, работа с куратором проекта, создание буклета и макета антенны .

4. Презентационный этап: публичная защита проекта.

5. Аналитический этап: анализ достигнутых результатов.

- изучение информационных источников по вопросу;

- сбор и систематизация материалов;

- анкетирование студентов;

- оформление материалов исследования.

6. Завершающий:

- выводы

 

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Что такое фрактал?

 

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х годов прочно вошли в обиход математиков и программистов.

Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целом.

Исследовать особенности фрактальных моделей, с тем, чтобы использовать их для практического применения – интересная задача, которая мотивирует на изучение нового, пробуждает интерес получить знания в такой области математики, как фрактальная геометрия.

 

 

ИСТОРИЯ ПОЯВЛЕНИЯ ФРАКТАЛОВ

 

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке. Георг Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии. На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость.

 

 

Виды фракталов

 

В основном фракталы классифицируют по трём видам:

1.    Алгебраические фракталы.

2.    Геометрические фракталы.

3.    Стохастические фракталы.

 

 

Алгебраические фракталы

Большой группой фракталов являются алгебраические фракталы. Свое название они получили, за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы. Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона.

 

 

Геометрические фракталы

Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано.

 

 

 

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

 

 

Фракталы в нашей жизни

Фракталы в природе

Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени. 

Мало кто обращает внимание, но эти удивительные фигуры присутствуют повсюду. Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы.

Фракталы в медицине

Фрактальные структуры широко представлены в организме человека. Форму фрактала имеют легкие человека, мозг, кровеносная система и т.д. Кровеносные сосуды сердца имеют фракталоподобное ветвление. Крупные сосуды, ветвятся на более мелкие сосуды, которые в свою очередь ветвятся на еще более мелкие сосудики

Фракталы и сотовая связь

Если вспомнить первые сотовые телефоны,  то их антенны выдвигались. Они были очень неудобные, потому что часто ломались.

Один из радиолюбителей по имени Натан Коэн пытался создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Её КПД удивил учёного, так как был очень высоким. Впоследствии, антенна изобретенная Коэном, была использована в серии телефонов Motorola.

Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн «FractalAntennaSystems», справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день, Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Практическая часть

В качестве основы исследования нами было выбрано анкетирование, содержащее вопросы о фракталах. В данном опросе участвовали студенты КГБПОУ «Алтайский транспортный техникум» в с. Первомайское.

Анализируя полученные данные путем анкетирования, я сделал вывод о недостаточном представлении о фракталах. Для решения данной проблемы мною были созданы модель и информационный буклет о фракталах, который можно раздать всем учащимся, изучающим математику(Геометрию).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее: в нашей исследовательской работе мы познакомились с историей возникновения и развития фрактальной геометрии; изучили виды фракталов, их применение в современном мире; создали брошюру «Галерея фракталов», что явилось продуктом данной работы.

Нами была собрана необходимая информация: с использованием сети Интернет, книг, публикаций по данной теме. Подготовлены материалы для брошюры «Галерея фракталов».

В ходе данного исследования были использованы методы: теоретические, эмпирические, математические.

Считаем, что практическая значимость данной работы заключается в следующем:

·         изучив литературу по данному вопросу, я получил дополнительные знания в области математики, укрепив свой интерес к этой науке;

·         подготовленные нами материалы могут быть использованы всеми учащимися при подготовке к выставкам, другим занятиям;

·         наше исследование может быть полезно и интересно не только учащимся, но и педагогам;

·         в перспективе было бы интересно более подробно изучить связь фракталов с Информационными технологиями.

В конце своей исследовательской работы хотелось бы обратить Ваше внимание на понравившееся мне высказывание одного компьютерного пользователя: «Принцип подобия или фрактальности заложен в системе мироздания - то, что «вверху» подобно тому что «внизу», например, клетки человека похожи на население Земли. Когда все клетки работают слаженно, организм здоров. Когда люди Земли начнут стремиться жить во благо мира - наше общество тоже выздоровеет.

Земля, в свою очередь, также является, по принципу фрактальности, органом строения Солнечной системы, либо галактики - как и орган внутри человеческого организма. 

Принципы похожи, разница лишь в масштабе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

1.     https://infourok.ru/nauchnoissledovatelskaya-rabota-fraktali-geometriya-krasoti-3381639.html

2.     http://www.myshared.ru/slide/1381715/

3.     https://yandex.ru/images/search?text=%D1%84%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8B%20%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F%20%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BE%D1%82%D1%8B&stype=image&lr=50&source=wiz

4.     https://pandia.ru/text/79/026/16103.php

5.     https://news.day.az/unusual/1056749.html

6.     http://elementy.ru;

7.     http://ru.wikipedia.org;

8.     http://www.deviantart.com;

9.     http://fractals.nsu.ru;

10. http://fraktals.ucoz.ru;

11. http://www.bsu.burnet.ru/library/berson/index.html;

12. http://www.uni-dubna.ru/kafedr/mazny/page11.htm;

13. http://robots.ural.net/fractals/;

14. http://fract.narod.ru;

15. http://sakva.narod.ru/fractals.htm#History;

16. http://oco.newmail.ru/fractals.htm;

17. http://www.ghcube.com/fractals;

18. http://www.fractalus.com/galleries/.

 

 

Скачано с www.znanio.ru