Секреты таблицы умножения

9 ∙ 2 = 1 8
9 ∙ 3 = 2 7
9 ∙ 4 = 3 6
9 ∙ 5 = 4 5
9 ∙ 6 = 5 4
9 ∙ 7 = 6 3
9 ∙ 8 = 7 2
9 ∙ 9 = 8 1

Цифры, обозначающие
число единиц и десятков,
идут в порядке
возрастания и
соответственно убывания

Цифры десятков можно
определить по второму
множителю, уменьшив его
на единицу. А число
единиц можно определить
путём дополнения до
девяти число десятков.

9 ∙ 2 = 1.. 9 ∙ 2 = 1 + 8

9 ∙ 3 = 2.. 9 ∙ 3 = 2 + 7

9 ∙ 4 = 3.. 9 ∙ 4 = 3 + 6
… …

9 ∙ 2 = 18
9 ∙ 3 = 27
9 ∙ 4 = 36
9 ∙ 5 = 45 сумма = 99
9 ∙ 6 = 54
9 ∙ 7 = 63
9 ∙ 8 = 72
9 ∙ 9 = 81

Интересно,
что результаты
произведений
– «взаимообратные»
числа имеющие
одинаковый
набор цифр
и сумму 99

Если посмотреть внимательно, мы увидим ритмический повтор цифр в разряде единиц – 0, 2, 4, 6, 8.

2 ∙ 0 = 0 2 ∙ 5 = 1 0
2 ∙ 1 = 2 2 ∙ 6 = 1 2
2 ∙ 2 = 4 2 ∙ 7 = 1 4
2 ∙ 3 = 6 2 ∙ 8 = 1 6
2 ∙ 4 = 8 2 ∙ 9 = 1 8

2 ∙ 2 = 4
2 ∙ 3 = 6
2 ∙ 4 = 8
2 ∙ 5 = 10 сумма = 22
2 ∙ 6 = 12
2 ∙ 7 = 14
2 ∙ 8 = 16
2 ∙ 9 = 18

Здесь можно увидеть
пары произведений
с одинаковой суммой
22. Это связано с тем,
что вторые множители
этих пар в сумме
дают число 11.

При умножении трёх на чётное число
результат произведения чётное число.
При умножении на нечётное произведение нечётное число.
Пары произведений дают в сумме 33.

3 ∙ 2 = 6
3 ∙ 4 = 12 чётные
3 ∙ 6 = 18
3 ∙ 8 = 24

3 ∙ 3 = 9
3 ∙ 5 = 15 нечётные
3 ∙ 7 = 21
3 ∙ 9 = 27

3 ∙ 2 = 6
3 ∙ 3 = 9
3 ∙ 4 = 12
3 ∙ 5 = 15 сумма 33
3 ∙ 6 = 18
3 ∙ 7 = 21
3 ∙ 8 = 24
3 ∙ 9 = 27

Не трудно догадаться, что у этой таблицы будет много
общего с таблицей умножения на 2, так как 4 = 2 + 2,
но будут и свои особенности. Легко найти пары произведений
с одинаковой суммой 44, так как вторые множители в сумме
дают число 11.

4 ∙ 2 = 8
4 ∙ 3 = 12
4 ∙ 4 = 16
4 ∙ 5 = 20 сумма 44
4 ∙ 6 = 24
4 ∙ 7 = 28
4 ∙ 8 = 32
4 ∙ 9 = 36

4 ∙ 0 = 0
4 ∙ 1 = 4
4 ∙ 2 = 8
4 ∙ 3 = 1 2
4 ∙ 4 = 1 6
4 ∙ 5 = 2 0
4 ∙ 6 = 2 4
4 ∙ 7 = 2 8
4 ∙ 8 = 3 2
4 ∙ 9 = 3 6

Все результаты чётные
числа. В разряде единиц
обнаруживается
ритмический повтор
цифр
0, 4, 8, 2, 6.

Эта таблица имеет свои особенные «секреты». В разряде
единиц можно увидеть ритмический рисунок, который связан
с чередованием чётного и нечетного множителей.

5 ∙ 2 = 10
5 ∙ 3 = 15
5 ∙ 4 = 20 0, когда множитель чётное число
5 ∙ 5 = 25
5 ∙ 6 = 30
5 ∙ 7 = 35 5, когда множитель нечётное число
5 ∙ 8 = 40
5 ∙ 9 = 45

Надо заметить, цифры десятков выстраиваются
в натуральный ряд при умножении на чётный и нечётный
множитель. Пары произведений имеют одинаковую сумму 55.

5 ∙ 2 = 1 0
5 ∙ 4 = 2 0 чётные
5 ∙ 6 = 3 0
5 ∙ 8 = 4 0

5 ∙ 3 = 1 5
5 ∙ 5 = 2 5 нечётные
5 ∙ 7 = 3 5
5 ∙ 9 = 4 5

5 ∙ 2 = 10
5 ∙ 3 = 15
5 ∙ 4 = 20
5 ∙ 5 = 25 сумма 55
5 ∙ 6 = 30
5 ∙ 7 = 35
5 ∙ 8 = 40
5 ∙ 9 = 45

На первый взгляд кажется, что в этой таблице нет ничего
особенного. Но, присмотревшись, можно увидеть…

6 ∙ 0 = 0 6 ∙ 5 = 3 0
6 ∙ 1 = 6 6 ∙ 6 = 3 6
6 ∙ 2 = 1 2 6 ∙ 7 = 4 2
6 ∙ 3 = 1 8 6 ∙ 8 = 4 8
6 ∙ 4 = 2 4 6 ∙ 9 = 5 4

Цифры единиц образуют ритмическй рисунок
- 0, 6, 2, 8, 4.

6 ∙ 2 = 1 2
6 ∙ 4 = 2 4
6 ∙ 6 = 3 6
6 ∙ 8 = 4 8

Если второй множитель чётное число, то он
указывает на цифру единиц в произведении.

Таблица умножения 6-ти богата поэтическими
строчками:
« шестью четыре – двадцать четыре »,
« шестью шесть – тридцать шесть »,
« шестью восемь – сорок восемь ».

6 ∙ 4 = 24
6 ∙ 6 = 36
6 ∙ 8 = 48

6 ∙ 2 = 12
6 ∙ 3 = 18
6 ∙ 4 = 24
6 ∙ 5 = 30 сумма 66
6 ∙ 6 = 36
6 ∙ 7 = 42
6 ∙ 8 = 48
6 ∙ 9 = 54

Легко найти пары
произведений с
одинаковой
суммой 66

Для лёгкости запоминания трудных случаев можно вернуться
к рифме. Зная, что 7 ∙ 4 = 28, представить 7 ∙ 8 = 7 ∙ 4 + 7 ∙ 4 =
= 28 + 28 = 56. Из этого образуется рифма: « Семью восемь –
два раза по двадцать восемь ».

7 ∙ 2 = 14
7 ∙ 3 = 21
7 ∙ 4 = 28
7 ∙ 5 = 35 сумма77
7 ∙ 6 = 42
7 ∙ 7 = 49
7 ∙ 8 = 56
7 ∙ 9 = 63

Выделяются пары
произведений с
одинаковой
суммой - 77

Сколько случаев останется неизученными перед знакомством
с этой таблицей? Совсем мало. Тогда можно эту таблицу
связать с уже изученными на 2 и 4.

8 ∙ 0 = 0 8 ∙ 5 = 4 0
8 ∙ 1 = 8 8 ∙ 6 = 4 8
8 ∙ 2 = 1 6 8 ∙ 7 = 5 6
8 ∙ 3 = 2 4 8 ∙ 8 = 6 4
8 ∙ 4 = 3 2 8 ∙ 9 = 7 2

8 ∙ 2 = 16
8 ∙ 3 = 24
8 ∙ 4 = 32
8 ∙ 5 = 40 сумма 88
8 ∙ 6 = 48
8 ∙ 7 = 56
8 ∙ 8 = 64
8 ∙ 9 = 72

Все произведения чётные числа.
В разряде единиц ритмический
повтор цифр – 0, 8, 6, 4, 2.

Легко найти пары с одинаковой
суммой - 88

В азиатских странах, таких как Япония и Китай,принято считать иначе. Для созерцательного восточного менталитета важна непременная визуализация.

Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы и японцы записывают иероглифами. Именно с особенностью азиатской графической системы связан японский и китайский способ умножения чисел.

Использованные ресурсы
Александрова Э.И. «Математика. 2 класс». Москва, «Дом педагогики», 1997г.
Захарова А.М., Фещенко Т.И. «Математика. 2 класс». Москва, «Инфолайн», 1993г.
Панскова Г.В. «Уроки математики во 2-3 классах». Чебоксары, 2003г.
Сорокин Т.И. «Занимательные задачи по математике». Москва, «Просвещение», 1967 г.
Советский энциклопедический словарь. Москва, «Советская энциклопедия», 1988 г.
http://www.youtube.com/watch?v=e-P5RGdjICo
http://4brain.ru/schitat-v-ume/_japonskoe-kitajskoe-umnozhenie.php