ТЕМА УРОКА: ТЕОРЕМА О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА (7 класс)

Цели урока: развитие исследовательских навыков учащихся, навыка аргументированных рассуждений, выдвижения гипотезы и ее доказательства.

Задачи урока:

Обучающие задачи:

•        сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника;

•        научить применять изученную теорему при решении задач;

•        ввести понятие остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников.

Развивающие задачи:

•        Формировать умение самостоятельно выдвигать гипотезу и доказывать ее.

Воспитывающие задачи:

•        Воспитывать у учащихся аккуратность, внимательность, положительное отношение к математике.

Оборудование:

•        Проектор, экран;

•        аудиторная доска с магнитной поверхностью, магниты;

•        Комплект         чертежных     инструментов:           линейка,         транспортир, угольники

(30°, 60°, 90°; 45°, 45°, 90°).

Структура урока

I.                        Организационный момент. (1 минута.)

II.                     Актуализация опорных знаний через ответы на вопросы. (Фронтальная работа с классом.) (5 минут.)

III.                  Проверка домашнего задания. Формулировка цели урока. (5 минут.)

IV.                  Решение задач по готовым чертежам. Подготовка к доказательству теоремы о сумме углов треугольника. (5 минут.)

V.                     Постановка проблемной задачи. Выдвижение и доказательство гипотезы. (6 минут.)

VI.                  Первичное закрепление и применение изученного. (3 минуты.)

VII.               Следствия из теоремы о сумме углов треугольника. (3 минуты.)

VIII.            Исторические сведения. (2 минуты.)

IX.                  Постановка домашнего задания. (4 минуты.)

X.                     Проблемные задания, имеющие одно и два решения. (8 минут.)

XI.                  Рефлексия. (3 минут.)

План-конспект урока (Презентация)

I.               Организационный момент.

Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку.

II.            Актуализация опорных знаний через ответы на вопросы.

Слайд 2. (Смена вопросов происходит по щелчку).

1)         Назовите пары вертикальных углов. Каким свойством они обладают?

Ожидаемый ответ учащихся: ⦟1 и ⦟3, ⦟2 и ⦟4, ⦟5 и ⦟7, ⦟6 и ⦟8. Вертикальные углы равны.

2)         Назовите пары смежных углов. Каким свойством они обладают?

Ожидаемый ответ учащихся: ⦟1 и ⦟4, ⦟1 и ⦟2, ⦟2 и ⦟3, ⦟3 и ⦟4, ⦟5 и ⦟8, ⦟5 и ⦟6, ⦟6 и ⦟7, ⦟7 и ⦟8. Сумма смежных углов равна 180°. . (Смена вопросов происходит по щелчку).

3)         Назовите накрест лежащие углы. Каким свойством они обладают?

Ожидаемый ответ учащихся: ⦟4 и ⦟6, ⦟5 и ⦟3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

4)         Назовите соответственные углы. Каким свойством они обладают?

Ожидаемый ответ учащихся: ⦟1 и ⦟5, ⦟4 и ⦟8, ⦟2 и ⦟6, ⦟3 и ⦟7. 

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

5)         Назовите односторонние углы. Каким свойством они обладают?

Ожидаемый ответ учащихся: ⦟4 и ⦟5, ⦟6 и ⦟3. 

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. 

. (По щелчку мыши выделяются углы и появляются ответы).

6)         № 1. На рисунк 𝑎||𝑏, ⦟1 = 40°. Найдите углы:

1-ый вариант. 3, 5, 7.     2-ой вариант. 2, 4, 6, 8. Ответ поясните.

Ожидаемый ответ учащихся:

1-ый вариант:  ⦟3 = ⦟1 = 40°, т.к. они вертикальные.

⦟3 = ⦟5 = 40°, т.к. они накрест лежащие при 𝑎||𝑏 и секущей с.

⦟7 = ⦟5 = 40°, т.к. они вертикальные.

2-ой вариант:  ⦟2 = 180° − ⦟1 = 180° − 40° = 140°, т.к. они смежные.

⦟4 = ⦟2 = 140°, т.к. они вертикальные.

⦟6 = ⦟4 = 140°, т.к. они накрест лежащие при 𝑎||𝑏 и секущей с.

⦟8 = ⦟6 = 40°, т.к. они вертикальные.

Возможны и другие варианты пояснений учащихся на основании выше перечисленных ответов на вопросы.

. (Смена вопросов и появление элементов треугольника на слайде происходит по щелчку).

7)        Какой треугольник называется равнобедренным?

Ожидаемый ответ учащихся: треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны.

8)        Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Ожидаемый ответ учащихся: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

III      Проверка домашнего задания. Формулировка темы урока.

Учитель: В домашних задачах вам было предложено найти сумму углов треугольника. Этот вопрос мы и рассмотрим сегодня на уроке. Итак: тема урока «Сумма углов треугольника».

Слайд 6. (Учащиеся записывают тему урока в тетрадь).

Во время фронтальной работы с классом двое учащихся записывают решения домашних задач 2 и 3 на доске. 

№ 2. Предполагаемое решение: ⦟В = ⦟А = 40° - по свойству углов при основании равнобедренного треугольника.

 ⦟КСА = ⦟ВАС = 40° – как накрест лежащие при АВ||К𝐷 и секущей АС.

⦟𝐴𝐵𝐶 = ⦟𝐵𝐴𝐶 = 40° – как углы при основании равнобедренного треугольника. 

⦟𝐴𝐶𝐵 = 180° − (⦟КСА + ⦟𝐷СВ) = 180° − 2 ∙ 40° = 100° – 

( ⦟К𝐶𝐷 = ⦟КСА + ⦟АСВ + ⦟𝐷СВ = 180° – по свойству развернутого угла).

⦟А + ⦟С + ⦟В = 40° + 40° + 100° = 180°. 

Ответ: 180°.

№ 3. Предполагаемое решение:

 ⦟𝐴𝐶𝐵 = 180° − (⦟КСА + ⦟𝐷СВ) = 180° − (40° + 60°) = 80° –

(⦟К𝐶𝐷 = ⦟КСА + ⦟АСВ + ⦟𝐷СВ = 180° – по свойству развернутого угла).

⦟ВАС = ⦟КСА = 40° – как накрест лежащие при АВ||К𝐷 и секущей АС.

⦟АВС = ⦟𝐷𝐶𝐴 = 60° – как накрест лежащие при АВ||К𝐷 и секущей BC.

⦟А + ⦟С + ⦟В = 40° + 80° + 60° = 180°. 

Ответ: 180°.

IV      Решение задач по готовым чертежам с целью подготовки к доказательству теоремы о сумме углов треугольника.

Слайд 9. (Элементы решения задачи на слайде появляются по щелчку.) 

№ 4. Найдите сумму углов треугольник АВС, если KD||AB, ⦟АСК = 40°, ⦟АСВ = 80°.

(Учащиеся приводят решение, аналогичное решениям домашних задач.)

Предполагаемое решение:

⦟ВАС = ⦟КСА = 40° – как накрест лежащие при АВ||К𝐷 и секущей АС

⦟В𝐷С = 180° − (⦟КСА + ⦟АСВ) = 180° − (40° + 80°) = 60° – 

( ⦟К𝐶𝐷 = ⦟КСА + ⦟АСВ + ⦟𝐷СВ = 180° – по свойству развернутого угла).

⦟АВС = ⦟𝐷СВ = 60° – как накрест лежащие при АВ||К𝐷 и секущей ВС.

⦟А + ⦟С + ⦟В = 40° + 80° + 60° = 180°. 

Слайд 10. (Элементы решения задачи на слайде появляются по щелчку.) 

№ 5. Найдите сумму углов треугольник АВС, если ⦟АСК = 50° и  ⦟АСВ = 70°.

(Задача не содержит условие параллельности прямых КD и АВ. Решения предыдущих задач наводят учащихся на необходимость проведения дополнительного построения: KD||AB. Далее задача решается аналогично предыдущим.)

            V      Постановка проблемы. Выдвижение гипотезы и ее доказательство.

Учитель: Можно ли решить данную задачу без дополнительного построения? 

Ожидаемый ответ учащихся: Да, если будем знать, чему равна сумма углов треугольника.

Учитель: Анализируя ответы, полученные при решении задач, попробуйте выдвинуть гипотезу о сумме углов треугольника. 

Ожидаемый ответ учащихся: Сумма углов треугольника равна 180°.

Учитель: Мы выдвинули гипотезу о том, что сумма углов треугольника равна 180°, но со времен греков говорить „математика" — значит говорить „доказательство". Докажем, что сумма углов любого треугольника равна 180°. (Доказательство записывается на доске и в тетрадях.)

Слайд 11. (Элементы на слайде появляются по щелчку.) 

 Учащиеся уже подготовлены к проведению дополнительного построения: KD||AB.  Далее  сообщается, что доказана одна из важнейших теорем геометрии – теорема о сумме углов треугольника. Учащимся предлагается прочитать доказательство в учебнике.

          VI      Первичное закрепление и применение изученного.

(Решение устных задач по готовым чертежам).

№ 223 (а, б). 

Слайд 12. (Элементы решения задачи на слайде появляются по щелчку мыши.)  

VII        Следствия из теоремы о сумме углов треугольника.

Слайды 13, 14. (Элементы на слайде появляются по щелчку.) 

Вопросы учителя: Может ли в треугольнике быть два тупых угла? А два прямых? Ответ обоснуйте. 

(Формулируются определения тупоугольного треугольника, прямоугольного треугольника и его элементов. Делается вывод: в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.) 

VIII      Исторические сведения.

Слайд 15. 

Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса. Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо,  стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок. Термин катет происходит от греческого слова «катетос», которое означало отвес,  перпендикуляр. Евклид  употребляет выражения: «стороны, заключающие прямой угол»,  – для  катетов; «сторона, стягивающая прямой угол», – для гипотенузы.

№ 228 (в). Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен 100°.

Дано: ∆АВС равнобедренный с основанием АС. Один из углов равен100°. Найти: ⦟А, ⦟В, ⦟С.  

Решение:

                                         Рисунок 1                            

Снова перед учащимися возникает проблема: какой из углов равнобедренного треугольника может быть равен 100°? В процессе рассуждений делается вывод, что угол 100° не может быть углом при основании равнобедренного треугольника. В противном случае сумма углов треугольника больше 180°. Значит, 100° – угол  при вершине. Решение задачи записывается в тетрадь.

№ 228 (а). Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен 40°.

Дано: ∆АВС равнобедренный с основанием АС. Один из углов равен 40°. Найти: ⦟А, ⦟В, ⦟С.  

И снова возникает проблема: какой из углов равнобедренного треугольника может быть равен 40°? В процессе рассуждений делается вывод, что угол 40° может быть углом как при основании равнобедренного треугольника, так и углом при его вершине. Подчеркивается, что задача имеет два решения.

X                 Постановка домашнего задания.

Слайды 16, 17. 

•      П. 30 (теорема о сумме углов треугольника с доказательством).

•      Вопросы 1, 3-5 стр. 89.

•      № 227(а), 228(б), 229.

•      Для любознательных: карточки «Углы в треугольнике».

•      Продолжить работу над проектом «Треугольник и его элементы». 

ü  Доказать теорему о сумме углов треугольника различными способами.

ü  Придумать практические способы подтверждения гипотезы о сумме углов треугольника.

ü  Пополнить банк задач на применение теоремы о сумме углов треугольника.

ü  Подготовить сообщение «Прямоугольный треугольник в окружающей нас жизни».

(Долгосрочный проект «Треугольник и его элементы» находится в стадии разработки.)

XI              Рефлексия.

Учитель: 

•      Что нового, ребята, вы сегодня узнали на уроке?

•      Чему равна сумма углов треугольника? 

•      Какой треугольник называется остроугольным, тупоугольным, прямоугольным?  

•      Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? Если один из них равен 30 , то чему равен второй? (Учитель держит в руках школьный прямоугольный треугольник, в котором острые углы равны 30 и 60.)  

•      А, если этот треугольник еще и равнобедренный, можем ли мы определить его углы? (Учитель показывает равнобедренный прямоугольный треугольник.)

•      Какую оценку вы поставите за урок классу в целом, себе, некоторым учащимся в отдельности? А я поставлю такие оценки… вы согласны со мной?  Ответим на наш традиционный вопрос: «Сегодняшний урок для меня…».

Слайд 18.. 

•      Спасибо за урок! Желаю успехов в познании нового!

Карточки «Углы в треугольнике» 

Используемая литература

1.      Геометрия 7 – 9. Учебник для общеобразовательных учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. /М.: Просвещение, 2009-2011гг.

2.      Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику: Книга для учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. – 6-е издание. – М. : Просвещение, 2003. – 255 с.

3.      Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» № 20, 2001 г.