Теория вероятностей

               

 

 

 

Конспект урока

 

Теория вероятностей

 

 

              

 Учитель  математики

                                  ГОУ ЛНР «Ровеньковская школа № 8   им.С.В.Полуянова»   

                                              Доронина Неля Васильевна

  

Цель урока: повторить основные понятия комбинаторики, обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теории вероятности; активизировать познавательную и мыслительную деятельность учащихся, создать условия для развития индивидуальных способностей, умений делать выводы из полученных результатов, пользоваться глобальной сетью интернет, создавать презентации, содействовать воспитанию умственной культуры, устной речи, межличностного общения, прививать интерес к математике, показать практическую направленность математических задач.

              

Тип урока: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков

Оборудование:карточки,компьютер,экран,мультимедийный

                              проектор,оценочные листы.

                                           Структура урока:

1.Сообщение темы и цели урока

2.Мотивация учебной деятельности

3.Обобщение и систематизация знаний

4.Решение задач.Закрепление умений и навыков

5.Итог  урока

6.Домашнее задание

                                                   Ход урока

1.Сообщение темы и цели урока.

      “Вероятности не только вокруг нас,но и в основе всего”.П.Ферма.И это действительно так.Вся наша жизнь состоит из испытаний и событий.Родился человек-это событие.Человек издавна пытался влиять на ход событий.В древности людиеще не умели говорить,но уже понимали,что вероятность добыть себе пищу будет выше,если охотиться сообща.Во время военных действий,полководцы знали,чтобы поразить цель нужно увеличить количество пушек.Азартные люди пытались найти путь выиграша.Таких примеров можно приводить много.

       Сегодня мы вспомним основные понятия теории вероятностей, отправимся в далекое прошлое и оглянемся вокруг,чтобы увидеть широкое применениеэтой замечательной темы.А также повторим раздел “Комбинаторика”,без которого существование теории вероятностей невозможно.

2.Мотивация учебной деятельности.

Мы сделали проекты сообща,из интересных занимательных задач.

      Для работы над презентациями были созданы 4 творческие группы.

1.”Теоретики”-тема презентации “Комбинаторика”

2.”Теоретики”-тема презентации “Основные понятия теории вероятностей”

3.”Историки”- “История возникновения теории вероятностей.Игромания”

4.”Практики”-“Вероятности вокруг нас”

 3.Обобщение и систематизация знаний.

    Просмотр презентаций,приготовленных группами.

Учащимся предлагается оценить свои презентации,согласно

предложенной шкале оценивания.

   Критерии оценивания презентации

 Максимальная сумма баллов-9

-актуальность выбранной темы-1б.

-соответствие содержания презентации теме урока-1б.

-доступность материала-1б.

-четкость изложения-1б.

-глубина знания проблемы-2б.

-умение делать вывод-1б.

-аннимации-1б.

-артистизм,умение заинтересовать аудиторию-1б.

4.Решение задач.Закрепление умений и навыков.

       Теперь каждая группа получает задания,согласно своей темы.Три минуты дается на то,чтобы старший в группе распределил задачи между учениками.Подумайте над решением,затем каждая группа представит свои задачи у доски,кто не успеет решить задачу у доски,сдадут тетради на проверку.

 

1 группа.

1)Сколько различных слов можно получить,переставляя буквы слова “математика”.

2)Из цифр 1,2,3,4,5,составить числа,в которых содержится не менее трех цифр.Сколько таких чисел,если цифры повторяются?

3)Сколько существует различных автомобильных номеров,которые состоят из пяти цифр,если первая цифра не равна 0,цифры могут повторяться?

4)В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов,6 алмазов и 7 сапфиров.Ювелиру заказали браслет,в котором 3 изумруда,5 алмазов,2 сапфира.Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

5)В почтовом отделении продаются конверты пяти видов.Найдите количество способов покупки 7 конвертов.

Решение.

1)

«Математика»

А - 3 раза  повторяется      Е – 1 раз                

М - 2 раза       И – 1 раз

Т -  2 раза        К - 1 раз

n=10

Р₁₀ (3;2;2) =  =  = 5*6*7*8*9*10=30*7*72*10=210*720=151*200.

2.Цифры 1;2;3;4;5. не повторяются. , содержится не менее 3-х цифр .

Может быть 3 цифры, 4 или 5; порядок элементов важен, не все элементы входят в соединение.

   Это будет размещение, и используем правило сложения

А₅³ +А₅⁴+А₅⁵ = 5*4*3+5*4*3*2+5*4*3*2*1=60+120+120=300.

3)

   Автомобильные номера из 5 цифр, первая не 0 , цифры повторяются.

   Всего 10 цифр. На 1 месте не может быть 0, поэтому на 1 место можно поставить цифру 9-ю способами. На 2-м месте может быть любая цифра из 10, цифры могут повторяться. Не все элементы участвуют в соединении, порядок элементов важен. Это размещение с повторениеми.

   Применяем правило умножения

9*А₁₀⁴ = 9*10⁴ = 90000.

4)

Имеем 6 изумрудов , 9 алмазов, 7 сапфиров .

Браслет содержит  3 изумруда, 5 алмазов, 2 сапфира.

Порядок элементов не важен, не все элементы входят в соединения. Это сочетание.Применим правило умножения

С₆³*С₉⁵*С₇² =  =  =  = 4*5*14*9*21 = 20*126*21 =  = 52920.

5)

Из 5 видов  конвертов нужно купить 7 .

   Порядок не важен, т.к. купить нужно больше, чем есть в наличии их видов, то применяем форуму сочетания с повторениеми

С_n^m = C_n+m^m

C₅⁷ = C_5+7-1⁷ = C₁₁⁷ =  =  =  = 2*15*11 = 330.

2 группа

1)В ящике лежат шары:4 белых,10 красных,8 зеленых,9 коричневых.Из ящика берут один шар.Определите,какова вероятность,что шар окажется цветным(не белым)?

2)Вероятность остановки за смену одного станка,что работает в цеху,равна 0,15,а второго-0,16.Найти вероятность того,что оба станка за смену не остановятся.

3)Выполняются три независимых выстрела по мишени,вероятность попадания в цель 0,8.Найти вероятность того,что во время этих выстрелов будет два попадания

4)Три стрелка,для которых вероятности попадания в мишень равны 0,8;0,75;0,7 делают по одному выстрелу по одной мишени.Найдитевероятность того,что хотя бы один из стрелков попал в цель.

5)Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?Сколько среди них таких,которые не содержат букву р?Сколько таких,которые начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р?

Решение.

1)

4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых

1 берут не цветной

Всего n=4+10+8+9=31

P(A₁)= =   0,3226

Вероятностьт, что зеленый P(A₂) =    0,2581

Вероятность, что коричневый P(A₃)   0,2903

Так как . события несовместимы, воспользуемся теоремой сложения  вероятностей

P(A) = P(A₁)+P(A₂)+P(A₃) =  + +    0,871.

2)

P(A₁) = 0,15 вероятность остановки 1 станка

P(A₂) = 0,16 вероятность остановки 2 станка

Событие  А состоит в том, что оба станка не остановятся

А=А₁*А₂

Применяем теорему умножения

P(A)=P(A₁)* P(A₂)= (1-P(A₁))(1- P(A₂))=(1-0,15)(1-0,16)=0,85*084=0714.

3)

А-событие состоит в том, что в мишень будет два попадания.

А₁ – попадание при 1 выстреле

А₂ –попадание  при 2 выстреле

А₃ –попадание при 3 выстреле

Р(А₁) = Р(А₂) = Р(А₃) = 0,8.

Применим теорему сложения и умножения

Р(А) = Р(А₁)*Р(А₂)*Р(А₃)+ = Р(А₁)*Р(А₂)*Р(А₃)+ = Р(А₁)*Р(А₂)*Р(А₃) = 0,8*0,8 (1-0,8) * 3 = 0,8*0,8*0,2*3 = 0,64*0,6 = 0,384.

4)

Р(А₁) = 0,8, Р(А₂) = 0,75 ,Р(А₃) = 0,7.

Применим теорему о вероятности того, что хотя бы один из стрелков попал в цель.

Р(А) = 1- (1-Р(А₁))( 1-Р(А₂)) = 1- (1-0,8)(1-0,75)(1-0,7) = 1-0,2*0,25*0,3 = 1-0,05*0,3 =

 = 1-,0015 = 0,985.

5)

1. Из 6 букв составим 4- буквенные слова, порядок важен. Это размещение

= 6*5*4*3=30*12=360.

2)Без буквы р остается 5 букв.

А =5*4*3*2=120.

3)Составить слова ,которые начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р.На первом месте буква с может стоять одним способом .На последнее место р тоже можно поставить тоже одним способом .Остается 4 буквы , которые нужно разместить по двум местам .

А  =4*3=12.

3 группа.

1)В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено 10 выигрышей по 200 руб.,100-по 100 руб.,500-по 25 руб.100-по 5 руб. .Болгов Владимир купил один билет.Какова вероятность того,что он выиграет не менее 25 руб.?

2)Какова вероятность выигрыша в лотерее  “Спортлото” .Как организаторы лотереи увеличивают продажу билетов и уменьшают вероятность “сорвать ” ”Джек-пот” ?

3)В ящике 3 белых и 10 красных шаров.Наугад берут один шар,а потом второй.Найти вероятность того,что первый шар будет белый,а второй-красный.

4)Из полного набора пластинок домино наугад берут одну пластину.Какова вероятность появления пластинки,сумма очков на которой равна 10?

5)Что вероятнее выиграть у равносильного соперника(ничья не учитывается)три партии из четырех или пять из восьми?

Решение.

1)Всего 10000 билетов,п=10000.

А-выигрыш не менее 25 рублей.

 –выигрыш по 25 руб., таких билетов 500,

 –выигрыш по 100 руб. ,билетов 100 ,

 –выигрыш по 200 руб. ,билетов 10.

Купили 1 билет .События попарно несовместимы ,применим теорему сложения .

Р(А)=Р( )+Р( )+Р( )=0,05+0,01+0,001=0,061.

2)Лотерея «Спортлото» . Всего 42 шара ,нужно 6 .

Воспользуемся классическим определением вероятности и теоремой умножения

Р(А)= *  * *  *  *  =

Чтобы уменьшить вероятность выигрыша ввели дополнительно «мегакульку»,нужно еще угадать один номер из 10 цифр .

Р(В)=0,1.

По теореме умножения имеем

Р(А)*Р(В)=  *  =

3)

Есть 3 белых шара,10 красных .Берут 2 шара, найти вероятность того, что первый взятый шар белый, а второй красный,

А-первый шар белый .

Р(А)=

В-вероятность , 2 шар красный, при условии , что 1 белый , т.е. условная вероятность равна

Р (В)=  =

Применим теорему умножения вероятностей зависимых событий

Р(А*В)=Р(А)*Р( В)=  *  =

 

4)

А-событие ,которое состоит в том ,что на наугад взятой пластинке домино сумма очков равна10 .

Всего равновозможных несовместимых событий 28 .п=28.Из них благоприятствует событию А два результата испытаний .4-6,5-5.

Р(А)= =  =

5)

Вероятность выигрыша и проигрыша в  одной партии одинакова

Р=  ; q = 1-  =

Воспользуемся формулой Бернулли

Р_m.n = C _n^m p ^m q^n-m

3 партии из 4

Р_3,4 = C₄³ * ()³ *() ^4-3 =

5 партий из 8

Р_5,8 = C₈⁵ ()⁵ *( )^8-5 =

   

Вероятнее выиграть 3 партии из 4 ,чем 5 из 8 .

 

4 группа

1)В партии из 23 деталей находится 10 бракованных.Вынимают наугад две детали.Используя классическое определение вероятности,определите,какова вероятность того,что обе детали лкажутся бракованными.

2)На складе 26 деталей,из которых 13 стандартные.Рабочий берет две детали.Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий,определите вероятность того,что обе детали окажутся стандартными.

3)Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,11.Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того,что из пяти наугад взятых деталей будут четыре стандартных.

4)Для сигнализации при аварии установлено два сигнализатора,которые работают независимо.Вероятность того,что при аварии сработает первый-0,95,а второго-0,9.Найти вероятность того,что во время аварии сработает только один сигнализатор.

5)В сборочный цех поступили детали с трех станков.На первом станке изготовлено 51% деталей от общего количества,на втором станке 24% и на третьем 25%.При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта,на втором 80% и на третьем 70%.Используя формулу полной вероятности определить,какова вероятность того,что наугад взятая деталь окажется первого сорта.

Решение.

1)

А-событие ,которое состоит в том ,что 2 детали бракованные

Р(А)=

Порядок не важен ,не все элементы участвуют в соединении ,это сочетание .

п=С₂₃² = ==253.

 

Число благоприятных исходов

m= C₁₀² == = 45 .

P(A) =  =  .

2)

А- стандартная деталь при первом извлечении

В- стандартная деталь при втором извлечении .Применим теорему умножения вероятностей

Р(АВ)=Р(А)*Р_A(B)

Р(А)= = ;

Р_А(В) = .

Р(АВ)=0,5*0,48=0,24 .

3)

P=1-q=1-0,11=0,89 – вероятность изготовления стандартной детали,

q=0,11 – вероятность изготовления нестандартной детали.

n=5; m =4.

P _n (m) = p^m q ^n-m

P ₅(4) =*0,89 ⁴  * 0,11^5-4 =0,345 .

 

4)

Р(А₁)=0,95 –вероятность того ,что сработает первый сигнализатор.

Р(А₂)=0,9 – вероятность того ,что сработает второй сигнализатор .

А –сработает один сигнализатор .

А=А₁*А₂+А₁*А₂

Р(А)=Р(А₁)*Р(А₂)+Р(А₁)*Р(А₂)=0,95*(1-0,9) +(1-0,95)*0,9=0,95*0,1+0,05*0,9=0,14.

5)

А-событие ,состоящее в том ,что взятая деталь будет первого сорта .

А₁ – изготовлена деталь на первом станке, А₂ –изготовлена деталь на втором станке ,А₃ - изготовлена деталь на  третьем станке .

Р(А₁ )=0,51 ; Р(А₂ )=0,24 ; Р(А ₃)=0,25 .

Р_А1 (А)=0,9 ;Р_А2 (А)=0,8 ;Р_А3 (А)=0,7 .

Р(А)=Р(А ₁)*Р _А1(А)+Р(А₂ )*Р_А2 (А)+Р (А ₃)*Р_А3( А)=0,51*0,9+0,24*0,8+0,25*0,7=0,826 .

 

5.Итог урока.

     Итак подведем итог нашей работы.Тема урока “Вероятность в основе всего”.Действительно ли это так?Где встречаются вероятности?

    Игра “Микрофон”

Желательные ответы.(в страховом деле,в статистике,в молекулярной физике,для объяснения тепловых явлений,в радиофизике,в астрономии,в биологии,в генетике,при шифровке и дешифровке,на производстве,при проверке качества деталей,в сельском хозяйстве,при выведении новых пород животных,растений,сравнения урожайности.)

    Какой характер носит большинство азартных игр?Почему долго пользуются спросом такие игры как “Лото забава”,”Кто там?”

6.Домашнее задание.

   Повторить формулы комбинаторики,теории вероятности.№208,№209,№203.Индивидуально:составить две задачи по теме своей презентации.

7.Оценивание учащихся.7.Оценивание учащихся.