УРОК ПО ТЕМЕ " СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

КИВТ, СГУВТ,СПО 1 КУРС

Электромагнитные колебания и волны

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР

𝑞𝑞= 𝑞 𝑚 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑤 0 𝑤𝑤 𝑤 0 0 𝑤 0 𝑡𝑡
𝑖𝑖= 𝐼 𝑚 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑤 0 𝑤𝑤 𝑤 0 0 𝑤 0 𝑡𝑡
𝑢= 𝑈 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑤 0 𝑡

энергии электрического поля
конденсатора в энергию
магнитного поля катушки

Амплитуда колебаний I0 силы тока I − максимальное отклонение силы тока I от своего среднего значения. Размерность амплитуды колебаний той или иной физической величины совпадает с размерностью этой величины. В системе СИ единица измерения I0 − Ампер, то есть размерность А[I0]=А.

Циклическая частота ω колебаний силы тока I − количество полных колебаний силы тока I за 2π секунд. В системе СИ единица измерения ω − радиан в секунду, то есть размерность радс[ω]=рад/с. Поскольку радиан − безразмерная величина, то размерность циклической частоты ω можно представить в виде с[ω]=с−1.

Период колебаний T силы тока I − время одного полного колебания силы тока I. В системе СИ единица измерения T − секунда, то есть размерность с[T]=с.За время, равное периоду колебаний T, повторяется не только величина тока I, но и его направление. Он зависит от циклической частоты ω и определяется формулой

Частота колебаний ν силы тока I − число полных колебаний силы тока I в единицу времени. В системе СИ единица измерения ν − Герц, то есть размерность Гц[ν]=Гц. Отметим, что  Гц с1 Гц=1 с−1. Если за время Δt ток совершает N полных колебаний, то частота ν определяется формулой
.

Циклическая частота свободных электрических колебаний равна:

Период свободных колебаний в контуре равен: 


- - формула Томсона

Энергия электрического поля конденсатора𝑊𝑊= 𝐶 𝑈 2 2 𝐶𝐶 𝑈 2 𝑈𝑈 𝑈 2 2 𝑈 2 𝐶 𝑈 2 2 2 𝐶 𝑈 2 2 = 𝑞 2 2𝐶 𝑞 2 𝑞𝑞 𝑞 2 2 𝑞 2 𝑞 2 2𝐶 2𝐶𝐶 𝑞 2 2𝐶 = 𝑞𝑈 2 𝑞𝑞𝑈𝑈 𝑞𝑈 2 2 𝑞𝑈 2 Энергия магнитного поля катушки𝑊𝑊= 𝐿 𝐼 2 2 𝐿𝐿 𝐼 2 𝐼𝐼 𝐼 2 2 𝐼 2 𝐿 𝐼 2 2 2 𝐿 𝐼 2 2

Электромагнитная волна (ЭМВ)- процесс распространения
электромагнитного поля в пространстве.

C=3•108 м/с -скорость распространения ЭМВ
в вакууме
 

с=𝜆𝜆𝜈𝜈= 𝜆 𝑇 𝜆𝜆 𝜆 𝑇 𝑇𝑇 𝜆 𝑇

ω=2πν

Задача №1Колебательный контур состоит из конденсатора электроемкостью 50 мкФ и катушки индуктивностью 2 Гн. Каков период свободных электромагнитных колебаний в контуре? 

Дано:
С=50 мкФ
L=2 Гн

Решение:

По формуле Томсона:

T=2π 2 Гн∙50∙ 10 −6 Ф 2 Гн∙50∙ 10 −6 Ф 2 Гн∙50∙ 10 −6 10 10 −6 −6 10 −6 Ф 2 Гн∙50∙ 10 −6 Ф =

=2∙3,14 100∙ 10 −6 100∙ 10 −6 100∙ 10 −6 10 10 −6 −6 10 −6 100∙ 10 −6 с =6,28∙10-2 с=62,8∙10-3 с=

=62,8 мс ≈ 63 мс

Ответ: 63 мс

Т-?

Задача №2   Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 200 мГн и конденсатора емкостью 10 мкФ. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе равно 1 В, ток в контуре равен 10 мА. Определите амплитудное значение силы тока.

Дано:
L=200 мГн
С=10 мкФ
u=1В
i=10 мА

Im -?

Решение:

Закон сохранения энергии для
колебательного контура:
 

𝐶 𝑢 2 2 𝐶𝐶 𝑢 2 𝑢𝑢 𝑢 2 2 𝑢 2 𝐶 𝑢 2 2 2 𝐶 𝑢 2 2 + 𝐿 𝑖 2 2 𝐿𝐿 𝑖 2 𝑖𝑖 𝑖 2 2 𝑖 2 𝐿 𝑖 2 2 2 𝐿 𝑖 2 2 = 𝐿 𝐼 𝑚 2 2 𝐿𝐿 𝐼 𝑚 2 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 2 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 2 2 𝐼 𝑚 2 𝐿 𝐼 𝑚 2 2 2 𝐿 𝐼 𝑚 2 2

𝐿𝐿 𝐼 𝑚 2 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 2 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 2 2 𝐼 𝑚 2 = 𝐿𝐿 𝑖 2 𝑖𝑖 𝑖 2 2 𝑖 2 + 𝐶𝐶 𝑢 2 𝑢𝑢 𝑢 2 2 𝑢 2

𝐼 𝑚 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 = 𝑖 2 + 𝐶 𝐿 𝑢 2 𝑖 2 + 𝐶 𝐿 𝑢 2 𝑖 2 𝑖𝑖 𝑖 2 2 𝑖 2 + 𝐶 𝐿 𝐶𝐶 𝐶 𝐿 𝐿𝐿 𝐶 𝐿 𝑢 2 𝑢𝑢 𝑢 2 2 𝑢 2 𝑖 2 + 𝐶 𝐿 𝑢 2 ;

 
= 12∙10-3 А=12 мА

Ответ:12 мА

Задача №3На рисунке приведен график гармонических колебаний тока в колебательном контуре.

Если конденсатор в этом контуре
заменить на другой конденсатор,
емкость которого в 4 раза меньше,
то каков будет период колебаний?

Решение:

По графику: Т1= 20 мкс.

По формуле Томсона : 𝑇 1 𝑇𝑇 𝑇 1 1 𝑇 1 =2𝜋𝜋 𝐿 𝐶 1 𝐿 𝐶 1 𝐿𝐿 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐿 𝐶 1
 

T2=2𝜋𝜋 𝐿 𝐶 1 4 𝐿 𝐶 1 4 𝐿𝐿 𝐶 1 4 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶 1 4 4 𝐶 1 4 𝐿 𝐶 1 4

= 1 2 1 1 2 2 1 2 2𝜋𝜋 𝐿𝐶 1 𝐿𝐶 1 𝐿𝐶 1 𝐿𝐿𝐶𝐶 𝐿𝐶 1 1 𝐿𝐶 1 𝐿𝐶 1

T2= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙20 мкс

=10 мкс

Ответ: 10 мкс

𝑇 2 𝑇𝑇 𝑇 2 2 𝑇 2 =2𝜋𝜋 𝐿 𝐶 2 𝐿 𝐶 2 𝐿𝐿 𝐶 2 𝐶𝐶 𝐶 2 2 𝐶 2 𝐿 𝐶 2

По условию С 2 С С 2 2 С 2 = С 1 4 С 1 С С 1 1 С 1 С 1 4 4 С 1 4

Задача№4В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице показано, как изменялся заряд конденсатора в колебательном контуре с течением времени. Индуктивность катушки равна 1 мГн. Чему равна ёмкость конденсатора?

Решение:

По таблице: Т=8мкс

По формуле Томсона: T=2𝜋𝜋 𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝐿𝐿𝐶𝐶 𝐿𝐶

Найдем С:

𝐶𝐶= 𝑇 2 4 𝜋 2 𝐿 𝑇 2 𝑇𝑇 𝑇 2 2 𝑇 2 𝑇 2 4 𝜋 2 𝐿 4 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 𝐿𝐿 𝑇 2 4 𝜋 2 𝐿

𝐶𝐶= (8∙10 −6 ) 2 𝑐 2 4∙ (3,14) 2 ∙1∙ 10 −3 Гн (8∙10 −6 ) 2 (8∙10 −6 (8∙10 (8∙10 −6 −6 (8∙10 −6 ) (8∙10 −6 ) 2 2 (8∙10 −6 ) 2 𝑐 2 𝑐𝑐 𝑐 2 2 𝑐 2 (8∙10 −6 ) 2 𝑐 2 4∙ (3,14) 2 ∙1∙ 10 −3 Гн 4∙ (3,14) 2 (3,14) (3,14) 2 2 (3,14) 2 ∙1∙ 10 −3 10 10 −3 −3 10 −3 Гн (8∙10 −6 ) 2 𝑐 2 4∙ (3,14) 2 ∙1∙ 10 −3 Гн

=1,6∙10-9 Ф=1,6 нФ

Ответ: 1,6 нФ

Задача№5Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,5 Гн и конденсатора переменной ёмкости. При какой ёмкости контур будет излучать электромагнитную волну длиной 400 м?

Дано:
L=0,5 Гн
λ=400 м
с=3∙108м/с

С-?

Решение:

Скорость ЭМВ:

с= 𝜆 Т 𝜆𝜆 𝜆 Т Т 𝜆 Т

По формуле Томсона : Т=2𝜋𝜋 𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝐿𝐿𝐶𝐶 𝐿𝐶

с= 𝜆 2𝜋 𝐿𝐶 𝜆𝜆 𝜆 2𝜋 𝐿𝐶 2𝜋𝜋 𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝐿𝐿𝐶𝐶 𝐿𝐶 𝜆 2𝜋 𝐿𝐶 ;

с 2 с с 2 2 с 2 = 𝜆 2 4 𝜋 2 𝐿𝐶 𝜆 2 𝜆𝜆 𝜆 2 2 𝜆 2 𝜆 2 4 𝜋 2 𝐿𝐶 4 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 𝐿𝐿𝐶𝐶 𝜆 2 4 𝜋 2 𝐿𝐶 ;

С= 400 2 м 2 4∙ 3,14 2 ∙0,5 Гн∙ 3∙ 10 8 2 м 2 / с 2 400 2 400 400 2 2 400 2 м 2 м м 2 2 м 2 400 2 м 2 4∙ 3,14 2 ∙0,5 Гн∙ 3∙ 10 8 2 м 2 / с 2 4∙ 3,14 2 3,14 3,14 2 2 3,14 2 ∙0,5 Гн∙ 3∙ 10 8 2 3∙ 10 8 3∙ 10 8 10 10 8 8 10 8 3∙ 10 8 3∙ 10 8 2 2 3∙ 10 8 2 м 2 м м 2 2 м 2 / с 2 с с 2 2 с 2 400 2 м 2 4∙ 3,14 2 ∙0,5 Гн∙ 3∙ 10 8 2 м 2 / с 2

=9∙10-14 Ф

Ответ: 9∙10-14 Ф

Задача №6Сила тока в открытом колебательном контуре изменяется в зависимости от времени по закону: 𝑖𝑖=0,1 sin 6∙ sin sin 6∙ 6∙ sin 6∙ 10 5 10 10 5 5 10 5 𝜋𝜋𝑡𝑡. Найти длину излучаемой контуром волны.

Решение:

Общий вид уравнения колебаний силы тока:

с=λν ,

𝜆𝜆= с 𝜈 с с 𝜈 𝜈𝜈 с 𝜈

𝜈𝜈= 𝑤 0 2𝜋 𝑤 0 𝑤𝑤 𝑤 0 0 𝑤 0 𝑤 0 2𝜋 2𝜋𝜋 𝑤 0 2𝜋

из условия w0=6∙ 10 5 10 10 5 5 10 5 𝜋𝜋 рад с рад рад с с рад с

𝜆𝜆= 3∙ 10 8 м/с∙2∙𝜋 рад 6∙ 10 5 𝜋 рад/с 3∙ 10 8 10 10 8 8 10 8 м/с∙2∙𝜋𝜋 рад 3∙ 10 8 м/с∙2∙𝜋 рад 6∙ 10 5 𝜋 рад/с 6∙ 10 5 10 10 5 5 10 5 𝜋𝜋 рад/с 3∙ 10 8 м/с∙2∙𝜋 рад 6∙ 10 5 𝜋 рад/с

=103 м

=1км

Ответ:1км

Дано:
𝑖𝑖=0,1 sin 6∙ sin sin 6∙ 6∙ sin 6∙ 10 5 10 10 5 5 10 5 𝜋𝜋𝑡𝑡

𝜆𝜆-?

Задача №7В колебательном контуре напряжение на обкладках конденсатора емкостью 20 мкФ изменяется по закону: 𝑢𝑢= 2sin 50 2sin 2sin 50 50 2sin 50 𝑡𝑡. Найти амплитуду колебаний силы тока в контуре.

Дано:
𝑢𝑢=2 sin 50 sin sin 50 50 sin 50 𝑡𝑡
C=20 мкФ

Im - ?

Решение:

С= 𝑞 𝑚 𝑈 𝑚 𝑞 𝑚 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 𝑞 𝑚 𝑈 𝑚 𝑈 𝑚 𝑈𝑈 𝑈 𝑚 𝑚𝑚 𝑈 𝑚 𝑞 𝑚 𝑈 𝑚

𝑞 𝑚 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 =𝐶𝐶 𝑈 𝑚 𝑈𝑈 𝑈 𝑚 𝑚𝑚 𝑈 𝑚

𝑞 𝑚 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 =20∙ 10 −6 10 10 −6 −6 10 −6 Ф∙2В

𝑞 𝑚 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 =40∙ 10 −6 10 10 −6 −6 10 −6 sin 50𝑡 sin sin 50𝑡 50𝑡𝑡 sin 50𝑡

𝑖𝑖=( 40∙ 10 −6 sin 50𝑡 ) ′ 40∙ 10 −6 10 10 −6 −6 10 −6 sin 50𝑡 sin sin 50𝑡 50𝑡𝑡 sin 50𝑡 ) 40∙ 10 −6 sin 50𝑡 ) ′ ′ 40∙ 10 −6 sin 50𝑡 ) ′

cos 50𝑡 cos cos 50𝑡 50𝑡𝑡 cos 50𝑡

𝑖𝑖=2000∙ 10 −6 10 10 −6 −6 10 −6 cos 50𝑡 cos cos 50𝑡 50𝑡𝑡 cos 50𝑡

𝑖𝑖= 𝐼 𝑚 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 cos 𝑤 0 𝑡 cos cos 𝑤 0 𝑡 𝑤 0 𝑤𝑤 𝑤 0 0 𝑤 0 𝑡𝑡 cos 𝑤 0 𝑡

𝐼 𝑚 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 =2000∙ 10 −6 10 10 −6 −6 10 −6 А

𝑖𝑖= 𝑞 ′ 𝑞𝑞 𝑞 ′ ′ 𝑞 ′ (𝑡𝑡)

Ответ: 2 мА

Задача №8Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд конденсатора 20 нКл, а максимальная сила тока в контуре 1 А.

Дано:
qm=20 нКл
Im=1 A

λ -?

Решение:

Закон сохранения энергии для
колебательного контура:

𝑞 𝑚 2 2𝐶 𝑞 𝑚 2 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 2 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 2 2 𝑞 𝑚 2 𝑞 𝑚 2 2𝐶 2𝐶𝐶 𝑞 𝑚 2 2𝐶 = 𝐿 𝐼 𝑚 2 2 𝐿𝐿 𝐼 𝑚 2 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 2 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 2 2 𝐼 𝑚 2 𝐿 𝐼 𝑚 2 2 2 𝐿 𝐼 𝑚 2 2

𝐿𝐿𝐶𝐶= 𝑞 𝑚 2 𝐼 𝑚 2 𝑞 𝑚 2 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 2 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 2 2 𝑞 𝑚 2 𝑞 𝑚 2 𝐼 𝑚 2 𝐼 𝑚 2 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 2 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 2 2 𝐼 𝑚 2 𝑞 𝑚 2 𝐼 𝑚 2

𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝐿𝐿𝐶𝐶 𝐿𝐶 = 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚 𝑞 𝑚 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚 𝐼 𝑚 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚

По формуле Томсона :

𝑇𝑇=2𝜋𝜋 𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝐿𝐿𝐶𝐶 𝐿𝐶

=2𝜋𝜋 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚 𝑞 𝑚 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚 𝐼 𝑚 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚

𝑐𝑐= 𝜆 𝑇 𝜆𝜆 𝜆 𝑇 𝑇𝑇 𝜆 𝑇

𝜆𝜆=𝑐𝑐𝑇𝑇

𝜆𝜆=𝑐𝑐2𝜋𝜋 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚 𝑞 𝑚 𝑞𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚 𝐼 𝑚 𝐼𝐼 𝐼 𝑚 𝑚𝑚 𝐼 𝑚 𝑞 𝑚 𝐼 𝑚

𝜆𝜆=3∙ 10 8 10 10 8 8 10 8 м/с∙2∙3,14 20∙ 10 −9 Кл 1А 20∙ 10 −9 10 10 −9 −9 10 −9 Кл 20∙ 10 −9 Кл 1А 1А 20∙ 10 −9 Кл 1А

=37,7 м

Ответ:37,7 м