Ускоренное движение и электронные таблицы

ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL Аннотация Пособие содержит примеры использования Excel для исследования  физических явлений и законов, выяснения границ применимости физических  понятий и величин.  Для поиска данных приведенных расчетов использовались справочники и  учебники физики, физическая энциклопедия. Пособие окажется полезным ученикам старших классов и студентам,  изучающим физику. Введение Специфика новой системы образования должна проявляться в ее  способности не только вооружать знаниями обучающегося, но и формировать  потребность в непрерывном самостоятельном овладении ими, развивать  умения и навыки самообразования. Речь идет о таких знаниях, которые, во­ первых, способны формировать широкий, целостный, энциклопедический  взгляд на современный мир и место человека в этом мире; во­вторых,  позволяют преодолеть предметную разобщенность и изолированность.  Исследования психологов позволяют утверждать, что чем больше своего  труда вкладывает ученик в познавание темы, тем лучше он в ней разбирается,  лучше запоминает. Физика наука экспериментальная : все физическое знание добыто в  конечном итоге из опыта, а не путем чистых размышлений. Для того, чтобы  сформулировать самый простой физический закон, необходимо  абстрагироваться от тех черт предмета или явления, которые несущественны  или кажутся таковыми исследователю, то есть создать физическую модель.  Без модели невозможно ничего объяснить, обобщить, понять сущность чего  бы то ни было. Без модели нет теории, и от науки останется лишь набор  бессвязных и никак не объясняемых фактов. Формирование знаний лишь  тогда оказывается плодотворным, когда осуществляется в неразрывной связи  с выработкой учебно­познавательных умений. Уметь добывать и использовать информацию, создавать и работать с  простейшими моделями, понимать пределы их применимости поможет  использование компьютера. кинематика Использование электронных таблиц позволяет проводить элементарные  исследования движений.  Пример1: На лодке переправляются через реку: скорость течение реки   максимальна по середине реки и минимальна у берегов. Построить  траекторию движения лодки в зависимости от скорости ее движения, от  скорости течения и ширины реки.  Разобьем ширину реки на несколько участков и будем считать, что  скорость изменяется скачком при переходе от участка к участку. Изменяя  число участков, задавая разные значения скорости лодки и течения,  можем  видеть и изменение траектории движения.  Вот пример: ширина реки 5 км, скорость лодки относительно воды          3  км/час, максимальная скорость течения 4 км/час. Ширина реки разбита на 12  участков. скорость движения лодки км/ч максимальная скорость течения реки ширина реки, км изменение скорости течения при переходе к другому участку время прохождения участка реки число участков № участка скорость течения км/ч 3 4 5 текущий снос 0,10 0,20 0,30 0,40 0,667 1,333 2,000 2,667 1 2 3 4 0,667 0,152 12 накопленный снос 0,101 0,303 0,606 1,010 4.000 3.000 2.000 1.000 0.000 1     3 4 5 6 2 5 6 7 8 9 10 11 12 8 7 3,333 4,000 3,333 2,667 2,000 1,333 0,667 0,000 9 10 11 12 0,51 0,61 0,51 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 1,515 2,121 2,626 3,030 3,333 3,535 3,636 3,636 Пример 2. Неравномерное движение. Движение называется  неравномерным, если за какие­либо равные промежутки времени проходит  пути разной длины. Мгновенной скоростью переменного движения называется такая скорость, с которой двигалось бы тело, если бы, начиная с данного мгновения, его  движение стало бы равномерным. Средней скоростью переменного движения называется скорость такого  равномерного движения, при котором тело проходит такой же путь за то же  время. Среднюю скорость очень часто определяют как среднее арифметическое.  Для более четкого их разделения полезно провести следующий расчет:  Катеру необходимо проехать из города А в город В и обратно по озеру и по реке. Сравнить время движения в обеих случаях. Время движения по реке определится соотношением  по  t  V ę S   V ę V đ S  V озеру  t 2 S ęV В Excel исследуем зависимости при разных значениях скорости Формулы введены следующим образом:  в ячейку D2  =↔ A2/(B2­C2)+A2/ (B2+C2), в ячейку E2  =2*↔ A2/B2, в ячейку F2  =↔ D2­E2, в ячейку G2  ↔ =F2/60. Формулы  размножены до 8 строки. расстояние Vкатера Vреки tв реке tв озере Δt Δtминут 500 3000 10000 3000 10000 10000 8 8 8 8 8 8 2 2 2 6 6 7 133,33 125,00 8,33 800,00 750,00 50,00 2666,67 2500,00 166,67 1714,29 750,00 964,29 5714,29 2500,00 3214,29 0,14 0,83 2,78 16,07 53,57 10666,6 2500,00 8166,67 136,11 Особенно резко отличаются значения времени движения по реке и озеру  при  близких по значению скоростей катера и течения. В предельном случае,  когда значения скоростей будут одинаковы, катер против течения двигаться  не сможет, т.е. время движения станет бесконечно большим. Для определения путей, проходимых телом в последовательные, равные  Ускоренное движение промежутки времени при ускоренном движении введем в ячейку первого  столбца величину ускорения, в третьем столбце будем определять путь,  пройденный телом за t секунд, в следующем – за t + 1 секунд. В следующем  определим разность пройденных расстояний и, наконец, вычислим отношение  разности пройденных расстояний к пути, пройденному за первую секунду Ускорение  T с м 2с 6 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 St м 0 3 St+1 м ∆S м ∆S/S1 1 3 3 12 3 9 ∆S/S1 12 27 48 75 108 27 48 75 108 147 15 21 27 33 39 5 7 9 11 13 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 147 192 243 300 363 432 507 588 675 768 192 243 300 363 432 507 588 675 768 867 45 51 57 63 69 75 81 87 93 99 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 Меняя значение ускорения, убеждаемся в том, что пути, проходимые  телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как  нечетные числа. Используем полученные соотношения : определить пути, пройденные  свободно падающим телом за 5­ю, 7­ю, 12­ю секунды. Значение нечетного  числа можно вычислить по формуле  2n­1. Тогда 5­е =9, 7­е =13, 12­е = 23,  и  значения получаем умножением полученного значения на 4,9: за 5­ю – 44,1; за  7­ю – 63,7; за 12­ю – 112,7. Проверим :  в  S  2gt 2   подставим 5, получаем 122,5   за 4 – 78,4, значит за  пятую 122,5 – 78,4 = 44,1. Аналогично можно проверить и другие ответы. Движение в жидкости и газе Сопротивление  при движении в жидкости и газах можно определить по  , где  ɳ  ­ динамическая вязкость,  v –  закону Стокса  скорость . Fтр 6 rv Определим максимальную скорость падения капли воды в  воздухе.  Движение станет равномерным, когда сила тяжести станет равной  силе сопротивления. Сила тяжести капли воды  Подставляя в формулу Стока, получим  v   2 2 g r  9 .  mg  3 r g 4 3 . Вычислим постоянные величины  воздуха  ɳ  = 1,84 10 ˑ k  2 g ­5 кг/(м с)ˑ (кг/(м2с2), коэффициент вязкости  9/  Проведем расчеты для капель разных радиусов. ɳ R 0,001 0,01 0,1   k 1,84E- 05 2177,8 V 1,18E+ 02 1,18E+ 04 1,18E+ 06 Для измерения коэффициента вязкости жидкости измеряют скорость  установившегося (т.е. равномерного) падения шарика в мензурке с делениями. Чтобы определить, из какого материала и какого размера шарик начинает  двигаться равномерно через сколько времени, полезно провести расчеты в  Excel. Если частицы падают в вязкой жидкости под действием собственного веса,  то установившаяся скорость достигается, когда эта сила трения совместно с  силой Архимеда точно уравновешиваются силой    гравитации.  Результирующая скорость равна  Частица движется вниз если  установившаяся скорость частицы (м/с),  ­ радиус Стокса частицы (м),        g  ­ ускорение свободного падения (кг/м³),       ρf ­ плотность жидкости (кг/м³), жидкости (Па с). ), Vs ­  ь частиц   ­  динамическая вязкост ь   (м/с²), ρp — плотност , и вверх в случае  roT roV R 1000 1,2 0,001 7800 1000 0,002 2700 1260 0,003 V 0,12646 3 0,50585 2 1,13816 7 V2 1,48088 9 5,92355 6 V3 0,20906 7 0,83626 7 13,328 1,8816 700 600 500 400 300 200 100 0 2,02340 9 3,16157 6 4,55267 6,19668 9 8,09363 5 10,2435 1 12,6463 15,3020 3 18,2106 8 21,3722 6 24,7867 6 28,4541 9 32,3745 4 36,5478 2 40,9740 3 45,6531 6 50,5852 2 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,02 23,6942 2 37,0222 2 53,312 72,5635 6 94,7768 9 119,952 148,088 9 179,187 6 213,248 250,270 2 290,254 2 333,2 379,107 6 427,976 9 479,808 534,600 9 592,355 6 3,34506 7 5,22666 7 7,5264 10,2442 7 13,3802 7 16,9344 20,9066 7 25,2970 7 30,1056 35,3322 7 40,9770 7 47,04 53,5210 7 60,4202 7 67,7376 75,4730 7 83,6266 7 Сопротивление воздуха движению автомобиля При полете тело «заметает» воздух массой  , где  ρ  – плотность  m  tVS воздуха, который получает вследствие этого энергию E=m V2/ 2. Силу  сопротивления можно определить по формуле Fv = cx∙S∙v2∙ /2,ρ где  S  –   площадь   фронтальной   проекции   автомобиля,   м2;  v  –   скорость движения   автомобиля   относительно   воздуха,   м/с;  ρ  –   плотность   воздуха, кг/м3; cх – коэффициент аэродинамического сопротивления. Коэффициенты сопротивления возьмем 0,3 для легкового, 0,6 – автобуса и 0,8 – для грузового автомобиля. Средние сечения: легковой 2,7 м2 и 7,8 для автобуса и легкового автомобиля. Расчеты видны в таблице: V ro Sx S 1,29 0,3 0,6 0,8 2,7 6,8 7,8 1 2 3 4 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 5 6 7 F1 0,5224 5 2,0898 4,7020 5 8,3592 F2 F3 2,6316 10,526 4 23,684 4 42,105 6 4,0248 16,099 2 36,223 2 64,396 8 F3 F2 F1 13,061 25 18,808 2 25,600 65,79 94,737 6 128,94 100,62 144,89 28 197,21 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 05 33,436 8 42,318 45 52,245 63,216 45 75,232 8 88,294 05 102,40 02 117,55 13 133,74 72 150,98 81 169,27 38 188,60 45 208,98 230,40 05 252,86 58 84 168,42 24 213,15 96 263,16 318,42 36 378,95 04 444,74 04 515,79 36 52 257,58 72 326,00 88 402,48 487,00 08 579,57 12 680,19 12 788,86 08 592,11 673,68 96 760,53 24 852,63 84 950,00 76 1052,6 4 1160,5 36 1273,6 94 905,58 1030,3 49 1163,1 67 1304,0 35 1452,9 53 1609,9 2 1774,9 37 1948,0 03 22 При скорости движения 100 км/ч сила сопротивления по сравнению с слой сопротивления при скорости 40 км/ч увеличивается в 8 раз, при скорости 180 км/ч –          в 30 раз.  Мощность   двигателя,   необходимая   для   преодоления   аэродинамического сопротивления, пропорциональна, следовательно, кубу скорости: Nv = Fv∙v/3600 (кВт), где  v  — относительная скорость движения автомобиля, км/ч., и мощность в киловатт часах V ro Sx S P1 P2 P3 1,29 1 2 3 4 0,3 0,6 0,8 2,7 0,00029 0,00172 0,00232 8 7,8 2 0,01376 0,00783 7 0,04644 0,01857 6 0,11008 0,00223 6 0,01788 8 0,06037 2 0,14310 4 700 600 500 400 300 200 100 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P3 P2 P1 0,03628 1 0,06269 0,215 4 0,37152 0,09955 6 0,58996 0,14860 8 0,88064 0,21159 2 1,25388 1,72 0,29025 0,38632 3 2,28932 0,50155 2 2,97216 0,63767 9 3,77884 0,79644 6 4,71968 0,2795 0,48297 6 0,76694 8 1,14483 2 1,63004 4 2,236 2,97611 6 3,86380 8 4,91249 2 6,13558 4 0,97959 4 7,5465 1,18886 7,04512 9,15865 5,805 17 18 19 20 4 1,42599 8 8,45036 10,0310 4 11,7974 8 13,76 1,69273 8 1,99082 5 2,322 6 10,9854 7 13,0403 5 15,3367 2 17,888 При увеличении скорости необходимая мощность двигателя возрастает в  140 раз при увеличении скорости  от 40 км/ч до 180 км/ч . Траектория полета тела, брошенного под углом к горизонту Исследуем для скорости 74 м/с и углов 30о, 45о и 60о   x V0 αград 1 74 30 αрад 0,52359 9 y1 y2 y3 0,57615 7 0,99821 1,72847 2 250 200 150 100 50 0 ­50 ­100 ­150 ­200 ­250 y1 y2 y3   11 21 31 41 0,78539 8 6,20649 10,7834 6 18,6194 7 1,04719 8 11,5982 1 20,2107 7 34,7946 2 45 60 29,2801 7 50,2539 1 16,7513 21,6657 9 37,9916 4 64,9973 6 51 61 71 81 91 y  tg x   2 26,3416 5 46,3451 8 79,0249 5 30,7789 54,3408 92,3366 9 34,9775 3 61,9784 9 104,932 6 2 38,9375  2 4 69,2582 5 116,812 6 42,6589 4 76,1800 9 127,976 8  xg 2 o  V Cos Исследование гравитационного взаимодействия Численные расчеты гравитационных взаимодействий без вычислительной  техники требуют достаточно много времени и потому редко выполнялись на  уроках физики. Использование Excel позволяет рассмотреть несколько  интересных примеров. Задание № 1. Определите ускорение свободного падения на разных  широтах Земного шара. На поверхности Земли тела  удерживаются силой тяготения   ,  GF  mM 2R где М – масса Земли, R – ее радиус. Любая  точка поверхности земного шара, лежащая  φ на географической широте  , движется по   с φ кругу радиуса r = R Cos  центростремительным ускорением ω2R Cos  .φ  Это ускорение сообщается составляющей  силы тяготения ОG (Рис.1). Вторая  составляющая ОС – вес тела. Для всех точек земной поверхности, не принадлежащих экватору и полюсам, вектор веса тела не направлен к центру  Земли. Разложим силу ОС на две: направленную вдоль радиуса OD и по  касательной ОВ.  Вращение Земли приводит к двум фактам. Во­первых, вес (давление тела  на Землю) стал меньше силы тяготения. Так как ОС   ≈ OD, то это уменьшение равно DE = mR ω2 Cos2 φ.  Во­вторых, возникает сила, стремящаяся расплющить Землю, передвинуть  вещество к экватору; эта сила ОВ = mR ω2 Cos   φ Sin  φ  , и Земля имеет не  форму шара, а форму, близкую к эллипсоиду вращения. Сила тяжести на  широте   φ  будет  mg ­  m ω2 R Cos2 φ . Ускорение свободного падения  определяем по формуле  g =  GM 2R , центростремительное ускорение  ­ a = R ω2  Cos2  φ φ  , и ускорение свободного падения на широте   определится ­   g ­ а . Проведем расчеты в Excel: M­  Земли 5,97E+2 4 R­  Земли ω 6,38E+0 6 7,27E­ 05 G g φ 1φ a g­a 6,67E ­11 9,79E+0 0 0,03374 1 9,75189 4 0 0,17453 3 0,03322 8 9,75240 7 0,34906 6 0,03170 6 9,75392 9 0 1 0 2 0 3 0,52359 0,02922 9,75641 0 4 0 5 0 6 0 9 5 0,69813 2 0,02584 7 9,75978 8 0,87266 5 0,02168 8 9,76394 7 1,04719 8 0,01687 9,76876 5 7 0 1,22173 0,01154 9,77409 5 8 0 9 0 1,39626 3 0,00585 9 9,77977 6 1,57079 6 2,07E­ 18 9,78563 5 Масса Земли, радиус, гравитационная постоянная введены в ячейки А2, В2  и D2 ; в ячейки столбца  F введены значения углов в градусах. Формулы : в  ячейке G2 ­ =РАДИАНЫ(F2), угловая скорость   определена ­ =2*ПИ()/ (24*3600), ускорение свободного падения g ­ = D2*A2/B2^2. Уменьшение  ускорения на разных широтах определено в ячейках столбца Н ­ H2 ­ =  $C$2^2*$B$2*(COS(G2))^2, в  I2 ­  = $E$2 – H2. Все формулы размножены до 11 строки. Формат ячеек столбцов F, G , Н, I – общий, ячеек ­ A, B, C,D, E ­  экспоненциальный. ω Задание № 2. Используя полученные данные  определите дальность  полета тела, брошенного под углом к горизонту, на разных широтах  Земного шара.      и  дальность Vy Время полета    t  2 V S   VSin 2 a g  VCos  V  2  Sin 2  a g α Vx         VSin  g  a угол скорость широта  g­a 0,785 70,00 9,75189 4 9,75240 7 9,75392 9 9,75641 5 9,75978 8 9,76394 7 9,76876 5 9,77409 5 9,77977 6 9,78563 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 дальност ь 502,4663 502,4399 502,3615 502,2335 502,0599 501,8461 501,5986 501,325 501,0338 500,7338 Задан угол 45о и скорость 70 м/с. В столбец D скопированы данные  предыдущей таблицы, в ячейку Е2 записана формула  =$B$2^2*Sin(2*$A$2)/D2 Комментируя полученные результаты вычислений, обращаем внимание  учащихся на необходимость округления до трех значащих цифр.  Траектории полета на разных широтах выглядят так: x a v0 g y1 y2 y3 0,7853 98 73 9,75 2 9,75 9 9,78 5 0 10 20 30 40 50 500 400 300 200 100 0 -100 -200 -300 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 0 9,8170 01 19,268 01 28,353 01 37,072 02 45,425 03 0 9,8168 7 19,267 48 28,351 83 37,069 92 45,421 75 0 9,8163 82 19,265 53 28,347 44 37,062 11 45,409 55 y3 y2 y1 53,412 05 61,033 06 68,288 08 75,177 11 81,700 13 87,857 16 93,648 19 99,073 22 104,13 23 108,82 53 113,15 53,407 32 61,026 63 68,279 68 75,166 47 81,687 87,841 26 93,629 27 99,051 02 104,10 65 108,79 57 113,11 53,389 75 61,002 72 68,248 45 75,126 95 81,638 21 87,782 23 93,559 02 98,968 57 104,01 09 108,68 6 112,99 170 180 190 200 210 23 117,11 34 120,70 84 123,93 75 126,80 05 129,29 76 87 117,07 54 120,66 59 123,89 01 126,74 8 129,23 97 38 116,93 44 120,50 78 123,71 39 126,55 28 129,02 45 Задание 3. Определите ускорение свободного падения и первую  космическую скорость  на разных высотах над поверхностью Земли. G M R R+h gh Vh Vk 6,67E­ 11 5,97E+2 4 6,38E+ 06 6,38E+0 7901,41 6 9,786 4 7,901 1,28E+0 5587,14 7 2,446 4 5,587 1,91E+0 4561,88 7 1,087 4 4,562 2,55E+0 3950,70 7 0,612 7 3,951 3,19E+0 3533,62 7 0,391 0 3,534 3,83E+0 3225,73 7 0,272 9 3,226 4,47E+0 2986,45 7 0,200 4 2,986 5,10E+0 2793,57 7 0,153 2 2,794 5,74E+0 2633,80 7 0,121 5 2,634 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6,38E+0 2498,64 7 0,098 7 2,499 Высоты обозначены R+h, gh – ускорение на высоте R+h, первая  космическая скорость на высоте R+h обозначена Vh, Vk – значение первой  космической скорости в км/с. Ускорение определяем по формуле   , а скорость  g h  GM  hR ( 2) v  GM  hR Формулы введены так: в ячейку Е3 ­ =Е2+6,38Е+06, в F2 ­  =$B$2*$C$2/E2^2,  в         G2 ­ =КОРЕНЬ($B$2*$C$2/E2), в H2 ­ =G2/1000  для выражения скорости в км/с. Задание № 4. Определите скорость движения планет на орбитах и  период их вращения вокруг Солнца.. Сравнивая выражения центростремительного ускорения    и силу  a  2 V R , из второго закона Ньютона получаем всемирного тяготения  GF  mM 2R V  GM R расстояни е до  Солнца  (м) масса  Солнца G Планета  V  скорос ть период Перио д в  годах  3 2 R T Меркур 5,79E+10 2,00E+ 6,67E­ 47999, 7,58E+ 0,241 3,38E+ ий 30 11 71 06 Венера 1,08E+11 Земля 1,50E+11 Марс 2,28E+11 Юпитер 7,78E+12 Сатурн 1,43E+12 Уран 2,87E+12 Нептун 4,50E+12 Плутон 5,90E+12 35112, 7 29861, 53 24193, 89 4140,0 39 9668,6 52 6818,8 74 5447,0 93 4755,0 15 1,94E+ 07 3,15E+ 07 5,92E+ 07 0,615 1,000 1,880 1,18E+ 10 375,25 2 9,27E+ 08 29,460 2,64E+ 09 83,984 5,19E+ 09 7,80E+ 09 164,75 6 247,67 4 18 3,38E+ 18 3,38E+ 18 3,38E+ 18 3,38E+ 18 3,38E+ 18 3,38E+ 18 3,38E+ 18 3,38E+ 18 В ячейку Е2 записана формула =КОРЕНЬ($D$2*$C$2/B2), в ячейке F2­  =2*ПИ()*В2/Е2. Чтобы периоды выразить в годах в ячейке G2 записано ­ =  F2/$F$4 Для убеждения в том, что  результаты вычисления соответствуют законам  природы, в столбце Н  проверим выполнение закона Кеплера  , для  3 R 2 T Const чего в ячейку H2  введем формулу  =B2^3/F2^2  Формулы размножим до  десятой строки. планета Меркури й Венера Земля масса 3,30E+ 23 4,90E+ 24 R 5,80E+ 10 1,08E+ 11 V 47958,3 15 35145,2 01 2,00E+ 1,50E+ 29821,6 T T/Tз 87,95 223,47 365,78 0,2 0,6 1,0 30 6,40E+ 23 1,90E+ 27 5,70E+ 26 8,70E+ 25 1,00E+ 26 5,00E+ 24 11 2,28E+ 11 7,80E+ 11 1,43E+ 12 2,87E+ 12 4,50E+ 12 5,90E+ 12 92 24188,5 87 13077,6 77 9658,50 5 6817,68 6 5444,67 1 4755,01 5 685,47 4337,4 1 10766, 94 30613, 36 60104, 50 90233, 17 1,9 11,9 29,4 83,7 164, 3 246, 7 Марс Юпитер Сатурн Уран  Нептун Плутон 100000.00 90000.00 80000.00 70000.00 60000.00 50000.00 40000.00 30000.00 20000.00 10000.00 0.00 Меркурий Земля Юпитер Уран Плутон Для закрепления умений предлагаем задания: используя справочные  данные  определите плотности планет, ускорение свободного падения и  дальность полета на планетах, постройте сравнительные диаграммы размеров  планет, расстояний их до Солнца. Исследование столкновений Закон сохранения импульса впервые сформулировал  Декарт. Он формулирует его так: «если одно тело сталкивается с другим, оно не может сообщить ему никакого другого  движения, кроме того, которое потеряет во время этого столкновения, как не может и  отнять у него больше, чем одновременно приобретет само» (Декарт Р. Избранные  произведения.­ М. Изд­во полит. Лит.1950.). Ньютон сформулировал второй закон динамики через количество движения (mv) «Изменение количества движения  пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует» . (Ньютон И. Математические начала натуральной философии.  Перевод с латинского и комментарии А.Н.Крылова. (М.: Наука, 1989.) Гюйгенс,  рассматривая соударение тел в движущихся системах отсчета,  пришел к принципу  относительности . Термин «количество движения» просуществовал вплоть до недавнего времени и лишь недавно был заменен понятием «импульс тела». Импульсом тела называется произведение его массы на скорость , а импульсом системы -    vmp геометрическая сумма импульсов отдельных тел, входящих в систему: .   p   kvm k Из второго и третьего законов следует постоянство векторной суммы количества движения тел, образующих замкнутую систему. Открытие различных элементарных частиц и исследование процессов их столкновения  и превращения, разработка теории реактивного движения, заставили ученых взглянуть на  этот закон с иной точки зрения и сделать переоценку его значения в процессе познания.  Сейчас он считается универсальным законом природы, не имеющим исключений. Не  обнаружено ни одного явления ни в микромире, ни в макромире, где бы этот закон  нарушался. Закон сохранения импульса широко применяется при расчетах столкновений  элементарных частиц, макроскопических тел, отдачи при выстреле и реактивной силы,  создаваемой ракетным двигателем. Ударом называется явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма  Удар называется прямым, если скорости центров инерции соударяющихся тел перед  ударом параллельны линии удара. Удар называется центральным, если при ударе центры  инерции соударяющихся тел лежат на линии удара. Пример 1. Центральный абсолютно упругий удар (упругое  столкновение). Ударом называется явление изменения скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. Удар называется абсолютно  τ , происходящее при их столкновениях. В процессе  малый промежуток времени  деформации тел при ударе возникают мгновенные (ударные) силы, величина которых  весьма значительна. Для системы соударяющихся  тел мгновенные силы являются  внутренними силами. Их импульсы за время  больше импульсов всех внешних сил, приложенных к системе. Поэтому в процессе удара  влиянием внешних сил можно пренебречь.  продолжительности удара во много раз  τ упругим, если в результате взаимодействия механическая энергия системы не  изменяется. Удар называется центральным , если скорости тел до удара  направлены вдоль линии, соединяющей центры масс тел. m1 V1 m2 V2 m1 U1 m2 U2 Два шара с массами m1 и  m2  движутся поступательно вдоль  горизонтальной прямой со скоростями V1  и V2 .Требуется определить  скорости шаров U1  и U2  после абсолютно упругого удара. Закон сохранения проекции импульсов на горизонтальную ось запишется m1V1 + m2V2 = m1U1 + m2U2  Закон сохранения энергии 2 Vm 11 2  2 2 Vm 2 2  2 1 1 Um 2  2 2 2 Um 2 Решая совместно эти уравнения, получим ( U 1  1  Vmm ) 1   2 mm 1 2    и     2 Vm 2 2 (  U 2 2  ) Vmm   2 mm 1 1 2 2 Vm 11 Исследуем полученные уравнения с помощью Excel m1 m2 V1 V2 U1 U2 40 10 2 ­ 4,22222 3,77777 8 ­2,8 5,2 ­ 1,63636 ­ 0,66667 6,36363 6 7,33333 3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 0,15384 6 0,85714 3 1,46666 7 8,15384 6 8,85714 3 9,46666 7 2 10 2,47058 8 2,88888 9 3,26315 8 10,4705 9 10,8888 9 11,2631 6 3,6 11,6 3,90476 2 4,18181 8 4,43478 3 4,66666 7 11,9047 6 12,1818 2 12,4347 8 12,6666 7 В ячейке b3 введена формула  =b2+5, в c2 – m2, d2 – V1, e2 – V2, f2 –  формула                      =((b2­$c$2)*$d$2+2*$c$2*$e$2)/(b2+$c$2),  в ячейки g2 ­ =(($c$2­b2)*$e$2+2*b2*$d$2)/(b2+$c$2). Формулы  размножены до 20 строки. Видно, что если шары имеют одинаковые массы, то в результате упругого  удара обмениваются скоростями. Если второй шар до удара покоился (V2 = 0), то  VU 1 1      и     2 2 U 2  V 1 2 m 1  mm 1 2 mm mm   1 1 m1 m2 V1 V2 U1 U2 40 10 ­ 7,77778 2,22222 2 0 ­6 4 ­ 4,54545 5,45454 5 ­ 3,33333 6,66666 7 ­ 2,30769 7,69230 8 ­ 1,42857 8,57142 9 ­ 0,66667 9,33333 3 0 10 0,58823 5 10,5882 4 1,11111 1 11,1111 1 1,57894 7 11,5789 5 2 12 2,38095 2 12,3809 5 2,72727 3 12,7272 7 3,04347 13,0434 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 8 8 3,33333 3 13,3333 3 3,6 13,6 3,84615 4 13,8461 5 4,07407 4 14,0740 7 4,28571 4 14,2857 1 При m1> m2   первый шар после удара движется вправо, но с меньшей  скоростью, при  m1 < m2  первый шар движется влево, при равных массах  шары обмениваются скоростью.   Пример 2. Центральный абсолютно неупругий удар (неупругое  столкновение) двух шаров. При абсолютно неупругом ударе между телами  действуют не потенциальные силы, и после удара тела движутся как одно  целое с общей скоростью. Пусть скорости поступательного горизонтального движения шаров с  массами m1 и m2 до удара были соответственно равны V1 и V2 , а после удара  их общая скорость равна U. m1 V1 m2 V2 U X Воспользовавшись законом сохранения импульсов с учетом направления  векторов скорости и оси Х , запишем уравнение m1V1 + m2V2 = (m1 + m2) U. Откуда                                           U  VmVm 2 11 mm   2 1 2 Кинетическая энергия шаров до удара   , после удара 2 Vm 11 Eo  Vm 2 2 2  2 . Уменьшение механической энергии системы сопровождается  2 (  Ek Umm )  2 1 2 возрастанием внутренней энергии – выделяется тепло  Q = Eo – Ek .  Выражение    называют ударный импульс. Определим и  1 VVmm  2 mm ( 1  2 ) 2 S  1 отношение выделенной энергии к начальной   k  Q 0E Проведем исследование в Excel A 1  B C m1 m2 D V1 E V2 F U G S 2 20 10 ­12 ­10 40 H E0 154 0 I Ek J Q K k 1100 440 0,28571 4 4   6   8               ­ 8,3333 3 ­ 6,9230 8 ­ 5,7142 9 73,3333 3 164 0 833,333 3 806,666 7 0,49187 101,538 5 174 0 623,076 9 1116,92 3 0,64191 125,714 3 184 0 457,142 9 1382,85 7 0,75155 3 Проведем исследование в Excel  2  3 4  5 6  7 A 1  B C m1 m2 D V1 E V2 F U G S 2 20 10 ­12 ­10 40  2  3 4  5 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 4   6   8   10   12   14   16   18   20   22   24   26   28                                                       H E0 154 0 164 0 174 0 184 0 194 0 204 0 214 0 224 0 234 0 244 0 254 0 264 0 274 0 I Ek J Q K k 1100 440 0,28571 4 833,333 3 806,666 7 0,49187 623,076 9 1116,92 3 0,64191 457,142 9 1382,85 7 0,75155 3 326,666 7 1613,33 3 0,83161 5 225 1815 0,88970 6 147,058 8 1992,94 1 0,93128 1 88,8888 9 2151,11 1 0,96031 7 47,3684 2 2292,63 2 0,97975 7 20 2420 0,99180 3 4,76190 5 2535,23 8 0,99812 5 0 2640 1 4,34782 6 2735,65 2 0,99841 3 ­ 8,33333 73,3333 3 ­ 6,92308 101,538 5 ­ 5,71429 125,714 3 ­ 4,66667 146,666 7 ­3,75 165 ­ 2,94118 181,176 5 ­ 2,22222 195,555 6 ­ 1,57895 208,421 1 ­1 220 ­ 0,47619 230,476 2 0 240 0,43478 3 248,695 7 0,83333 256,666 284 16,6666 2823,33 0,99413 18  19  20  21  22  23  24  25 30   32   34   36   38   40   42   44                                   3 7 1,2 264 1,53846 2 270,769 2 1,85185 2 277,037 2,14285 7 282,857 1 2,41379 3 288,275 9 2,66666 7 293,333 3 2,90322 6 298,064 5 3,125 302,5 0 294 0 304 0 314 0 324 0 334 0 344 0 354 0 364 0 7 3 1 36 2904 0,98775 5 61,5384 6 2978,46 2 0,97975 7 92,5925 9 3047,40 7 0,97051 2 128,571 4 3111,42 9 0,96031 7 168,965 5 3171,03 4 0,94941 2 213,333 3 3226,66 7 0,93798 4 261,290 3 3278,71 312,5 3327,5 0,92618 9 0,91414 8 Для определения скорости движения шаров после удара в ячейки столбца F  введена формула: =(B2*$D$2+$C$2*$E$2)/(B2+$C$2). Начальная кинетическая энергия Е0 определяется в столбце  H: =(B2*$D$2^2+$C$2*$E$2^2)/2 Энергия после удара в столбце I : =((B2+$C$2)*F2^2)/2 Внутренняя энергия в столбце J: =H2­I2, коэффициент в K: = (H2­I2)H2      Меняя значения масс  шариков и их скорости, наблюдаем изменения всех  параметров.