Применение объектов искусства на уроках математики и во внеурочной деятельности

Как было сказано ранее, в современном образовании набирают популярность идеи арт-педагогики, которую рассматривают как инновационную технологию, направленную на стимулирование творческого развития школьников. Воспитание, обучение и развитие личности через средства искусства, формирование у них основ художественной культуры и овладение практическими навыками в различных видах художественной деятельности является сущностью арт-педагогики. Формирование морально-эстетических, коммуникативно-рефлективных основ личности, а также содействие ее социокультурной адаптации посредством искусства - одна из функций арт-педагогики.

Арт-педагогика является средством эстетического воспитания, которое является неотъемлемым условием для всестороннего гармоничного развития личности. Используя средства эстетического воспитания удается значительно расширить и углубить знания и представления обучающихся о реальной действительности и обеспечить формирование взглядов учеников.

Использование на уроках математики объектов искусства оказывает существенное влияние и на процесс приобретения математических знаний, ведь математика обладает своей особенной красотой и изящностью. Однако эту красоту крайне сложно заметить, поэтому одна из задач учителя математики - оказание помощи обучающимся в выявлении этой красоты предмета, а также использование ее для развития интереса к математике, как к научной дисциплине.

Эстетическое воспитание учеников непосредственно связано с их эмоциональным развитием, а принцип прочности знаний требует того, чтобы у обучающихся на длительное время сохранялись систематизированные навыки, умения и знания. Добиться такого результата посредством простого заучивания материала без его глубокого понимания просто невозможно. Поэтому одно из ключевых условий, которое позволяет прочно усвоить знания, – сознательное их усвоение.

Умелое преподавание математики играет крайне важную роль в эстетическом воспитании, ведь математика обладает рядом только ей присущих возможностей для решения данной проблемы.

Детям интересно все красивое и увлекательное, а это присутствует в математике. Так, учителю необходимо на каждом уроке демонстрировать доказательства того, что изучаемый предмет обладает неповторимой стройностью, точностью, а все его элементы тесно между собой связаны.

В качестве источников эмоционального воздействия математики на учеников называют обязательное наличие выводов, совершенство языка, универсальность применений, а также разнообразные занимательные задачи. Надо учитывать, что от эмоциональности ученика напрямую зависит и качество работы его памяти, ведь если ученик проявляет интерес к материалу, то его запоминание проходит без дополнительных усилий.

В методике преподавания математики существует несколько общепедагогических положений, которые отражают психолого-педагогические исследования. К ним относятся:

запоминание напрямую зависит от повторения материала;
память характеризуется избирательным характером, то есть человек запоминает то, что ему наиболее интересно;
запоминание материла проходит быстрее и лучше, когда мотивом выступает факт его применения на практике;
при прочих равных условиях эмоционально окрашенный материал будет запоминаться намного лучше.

Эмоциональная окраска особенно актуальна в тех случаях, когда требуется передать определенные оттенки информации, которые практически невозможно отразить традиционными способами. Надо также учитывать, что информация, не имеющая эмоциональной окраски, просто «мертва». Отсюда становится ясным одно из значений эмоционального фона, который содержится в музыкальных произведениях, поэзии и других видах искусства.

Особенность человеческой памяти заключается в том, что она хранит долго ту информацию, которая затрагивает чувства. Поэтому только в тех случаях, когда разум и чувства находятся в союзе, обеспечивается глубокое понимание. При взволнованном отношении к познанию наблюдается эмоциональный подъем, что увеличивает возможности ученика.

Для успешного обучения требуется в том числе и создание здорового микроклимата, для чего целесообразно применять элементы арт-педагогики.

Привитие интереса к предмету – это одно из основных условий, которое влияет на процесс и качество запоминания нового материала. Если ученику не интересен предмет, то достичь высоких результатов в его изучении практически невозможно. И здесь играет роль качество подготовки учителем урока.

Необходимо, чтобы педагог продумывал все до мелочей, включая следующие моменты:

что и каким образом он будет лично делать во время урока, и что в это время будут делать ученики;
возможный ход мыслей учеников в наиболее ответственные моменты занятия;
построение урока должно быть целостным и законченным;
урок должен красивым, то есть представлять собой «небольшое произведение искусства».

При первом знакомстве учителя с новым классом необходимо первым проводить урок-беседу о красоте математики, ее роли в нашей жизни, а также уделять время биографии ученым-математикам.

В дальнейшем в процессе обучения у учителя имеются разнообразные возможности по демонстрации обучающимся того факта, что эстетическое наслаждение способно доставить не только искусство, но и математика. Для этого предмет должен преподаваться творчески, что игнорируется многими педагогами, которые преподают ее как науку «безымянную». Ученики просто механически заучивают предложенные теоремы, законы, формулы, а об их авторах не получают никакой информации. Учителя, которые работают творчески, постоянно обращают внимание учеников на биографию выдающих математиков, что выступает в качестве сильного воспитательного средства.

Математика в литературе

В процессе эстетического воспитания обучающихся на уроках математики эффективными являются задачи, которые можно почерпнуть из художественных произведений. Такие задачи можно найти практически у любого автора, при этом они явно не обращают на себя внимание, поэтому читатель часто просто их не замечает. Сами же авторы уделяют математическим задачам повышенное внимание, так как они являются важной деталью всего повествования.

Конечно, в некоторых литературных произведениях можно встретить задачи, которые противоречат логике и содержат ошибочные выводы. Поэтому задача преподавателя заключается в том, чтобы помочь обучающимся найти такие задачи, увидеть за словом число и при этом понять, правильно ли автор решил предлагаемую задачу.

Например, при изучении объема конуса можно предложить старинную восточную задачу о «Гордом холме», которую рассказал А.С. Пушкин в своем «Скупом рыцаре». Звучит она следующим образом:

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился – и царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

На основании данного текста можно самостоятельно сформулировать математическую модель задачи. В частности, обучающимся можно предложить определить высоту холма, который будет насыпан горстями воинов из войска при их численности около 10 тыс. человек. После проведенных вычислений оказывается, что «куча земли» будет достигать всего около 3-х метров.

При изучении темы «Шар. Сфера» можно обратиться к творчеству Жюль Верна. В одном из его произведений герой подсчитывает, какая часть его тела прошла более длинный путь за время кругосветных странствований – голова или ступни ног. Данная задача является поучительной, если, конечно, правильно поставить вопрос. Обучающимся предлагается представить, что они обошли Землю по экватору. После этого ставится вопрос: «Насколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги». Как ни странно, голова пройдет расстояние на 10,7 метров больше, чем ноги.

Математики-литераторы

При изучении математики педагог может обратить внимание на то, что многие литераторы были тесно связаны с математикой. Например, авторы произведений «Алиса в стране чудес» и «Волшебник Изумрудного города», соответственно Л. Кэррол и А. Волков по образованию были математиками.

А.С. Грибоедов – автор «Горе от ума» - учился на трех факультетах Московского университета, в том числе на физико-математическом факультете.

Известный советский математик А.Я. Хинчин в юности опубликовал 4 сборника своих стихов. Математиком и астрономом был и известный персидский поэт Омар Хайям.

Интерес у обучающихся вызывает научная литература, в которой изложение материала максимально близко приближено к художественной образности. К таким книгам можно отнести:

Вейль Г. «Симметрия»;
Пойа Д. «Математика и правдоподобные рассуждения»;
Адамар Ж. «Исследования психологии процесса изобретения в области математики»;
Моисеев Н.Н. «Математик задает вопросы: Приглашение к диалогу»;
Ренье А. «Трилогия о математике»;
Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математике».

Эти книги подробно и интересно рассказывают о различных научных исследованиях, в них приводится множество интересных фактов из жизни ученых и показано, как и на каких этапах своего творчества ученые испытывали эмоциональный подъем.

Учителя должны стремиться к тому, чтобы ученики могли ощутить стройность математики, красоту и изящество ее внутренних связей, формул, доказательств, понять красоту связей между величинами площадей поверхностей и объемов фигур вращения (цилиндра, шара, конуса). Данная зависимость в свое время вызвала такое сильное восхищение у Архимеда, что он завещал высечь чертеж шара, вписанного в цилиндр на своем могильном памятнике.

Математика и поэзия

Для придания уроку занимательности и создания благоприятного эмоционального фона рекомендуется использовать стихи о математике. Такие лирические отступления не займут много времени, но решат важные задачи:

создание у обучающихся благодаря художественному тексту картинно-образного облика мира;
оказание воздействия поэтической речи на воображение обучающихся, что стимулирует внутреннюю активность учеников и способствует лучшему запоминанию нового материала.

Стихи способствуют разрыву монотонности речи педагога и переводят аудиторию в другой ритм, благодаря чему удается привлечь ее внимание. С помощью возникающих образов при чтении стихов часто удается лучше объяснить сухой материал учебника. Например, в стихах может быть сформулирована какая-либо теорема или утверждение.

Во время изучения исторических материалов, биографий математиков рекомендуется использовать следующие известные произведения:

«Памяти Архимеда» (В. Шефнер);
«На смерть Ковалевской» (Ф. Леффер);
«На смерть Декарта» (Х. Гюйгенс, перевод Я. Березовского);
«Лобачевский» (Е. Евтушенко);
«К портрету Лейбница» (В. Брюсов);
«Галуа» (А. Марков) и др.

Изобразительное искусство и математика

Многие художники в своих работах стремились увековечить тот или иной математический факт. Изучение таких картин можно организовать как на уроках, так и внеклассных мероприятиях.

Например, картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет», на которой изображены ученики дореволюционной сельской школы. В классе возле доски сидит учитель, а возле него стоят ученики, которые устно пытаются решить сложный пример. При рассмотрении картины видно, что ученики очень сосредоточены и увлечены работой. На картине, изображен известный российский педагог С.А. Рачинский. После изучения картины ученикам можно предложить решить предложенный пример.

Во время изучения темы «Правильные многогранники» рекомендуется продемонстрировать картины «Тайная вечеря» С. Дали и «Меланхолия» А. Дюрера.

Картины интересны тем, как художникам удалось вписать на свои полотна правильные многогранники. А в «Меланхолии» Дюрер смог органично поместить додекаэдр на передний план.

Интересные высказывания о математике

Для того чтобы расширить кругозор учеников и углубить их знания по математике, им можно предложить интересные высказывания известных ученых. Такие высказывания обычно очень точно передают связь математики с искусством и раскрывают величие предмета.

В качестве примеров таких высказываний можно привести:

«Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе». Автор – С. Ковалевская;
«Он стал поэтом – для математика у него не хватило фантазии» (Давид Гильберт об одном из своих учеников);
«Математика – выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного» (Аристотель);
«Сколько поэзии откроется в таблице логарифмов!» (К. Гаусс);
«Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому что она красива» (Р. Петер);
«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии» (Н.Е. Жуковский);
«Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем» (А. Пуанкаре);
«Архитектура больших пирамидных храмов есть молчаливая математика (О. Шпенглер).

Интересные факты о числах

Числа с древнейших времен играют важную роль в жизни людей. Поэтому неудивительно, что люди отдельным числам давали имена, другим приписывали магическое влияние на человека.

Число 666 – число зверя

Число зверя – 666 – упоминается еще в Библии и считается, что оно скрывает имя апокалиптического зверя, то есть является нумерологическим воплощением ставленника сатаны. Именно поэтому три шестерки часто используется в сатанинской атрибутике и имеет такой же смысл, как перевернутый крест или перевернутая пентаграмма.

Число π

Отношение длины окружности к ее диаметру является постоянной величиной и не зависит от размеров окружности. Число, которое выражает это отношение, обозначает с помощью буквы π («пи») греческого алфавита.

Запомнить три первые цифры числа достаточно легко, так как π=3,14. А для того чтобы запомнить другие числа после запятой существуют различные забавные поговорки и стихи:

«Что я знаю о кругах?» (π=3,1416). Здесь знаки числа «Пи» можно запомнить по количеству букв в каждом слове: «что» - 3 буквы - цифра 3; «я» - 1 буква - цифра 1; далее по аналогии, «знаю» - 4; «о» - 1; «кругах» - 6.
Нужно только постараться

И запомнить все как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Благодаря этому стиху можно сразу запомнить семь знаков после запятой: π=3,1415926.

Интересным фактом является то, что в мире есть памятник числу «Пи», Он установлен перед зданием Музея искусств в Сиэтле.

Отмечается и международный день числа «Пи», который был учрежден в 1987 году американским физиком Ларри Шоу. Он подметил, что в американской системе записи дат (месяц/день) есть дата 3/14 (14 марта). А для большей точности он установил и время празднования – 1.59.

Число е

Это число является одной из важнейших констант в математике (е=2,718281828459045). Его обозначение ввел в 1736 году Леонард Эйлер, поэтому число иногда называют числом Эйлера.

Для его запоминания используют различные подсказки:

мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), а затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45°, 90° и 45°);
Стихотворная мнемофраза:

Экспоненту помнить

Способ есть простой:

Два и семь десятых,

Дважды Лев Толстой.

Число 12 – дюжина

Дюжина является мерой поштучного счета однородных предметов, которая широко использовалась до введения метрической системы. Она активно применялась при комплектации сервизов, гарнитуров мебели. Дюжину можно встретить и в различных привычных явлениях и вещах:

циферблат часов включает в себя 12 делений;
в году ровно 12 месяцев;
шкала, по которой измеряется интенсивность землетрясения, также насчитывает 12 баллов;
количество зодиакальных созвездий равняется 12;
на клавиатуре находится 12 функциональных клавиш (F1-F12).

Число 13 – чертова дюжина

С данным числом связано множество суеверий, так как в европейской культуре оно считается несчастливым. Примером этого служат следующие факты:

в некоторых зданиях пропущен 13 этаж, а после 12 сразу идет 14 или 13-му этажу дается название 12А;
в Италии в оперных театрах пропущены места с этим номером;
на кораблях отсутствуют каюты с номером 13;
в российской военной авиации самолетам не присваиваются бортовые номера с этой цифрой.

Совершенные числа

Совершенным числом называется натуральное число, которое равно сумме всех своих делителей (исключая само число). Пифагорейцы считали совершенными те числа, которые соответствуют следующим условиям:

1-ое совершенное число – 6: 1 + 2 + 3 =6;
2-е число – 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 =28;
3-е число – 496: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 =496;
4-е число – 8128: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064=8128.

Интересным является тот факт, что Лев Толстой шутливо говорил, что дата его рождения (28 августа 1828 года) тоже является совершенным числом. Интересно и то, что последние две цифры даты рождения писателя образуют совершенное число, если переставить первые две цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

К интересным фактам о совершенных числах можно отнести и следующие:

в некоторых ученых сообществах и академиях количество членов равняется 28;
древнеегипетская мера длины «локоть» содержала в себе 28 пальцев;
совершенный характер чисел 6 и 28 отражен во многих культурах. Так, христиане считают, что Бог сотворил мир за 6 дней. А Луна совершает оборот вокруг Земли ровно за 28 дней;
6-й месяц в Древнем Риме считался самым почетным;
на картине Рафаэля «Сикстинская Мадонна» можно обнаружить, что на руке Святого Сикста 6 пальцев.

Математика и музыка

Законы Пифагора

Закон 1. Две звучащие струны дают консонанс (приятные слуху созвучия) только тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число. 10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.

Закон 2. Четверка чисел 1, 2, 3, 4 – тетраэдр – лежит в основе построения различных музыкальных ладов, а лады состоят из основных ступеней. Пифагорейцы в основу гаммы положили интервал октава, то есть восемь. После этого октаву разделили на благозвучные части. Пифагор также обнаружил приятные слуху созвучия:

квинта – пятая ступень;
октава – восьмая;
кварта – четвертая.

Дроби в музыке

Арифметика является учением о количестве, выражаемом числом. Музыка же представляет собой учение, которое рассматривает числа по отношению к звуку. Это позволяет утверждать, что музыка имеет прочный музыкальный фундамент гамм. Ноты также подвергаются математическим правилам, ведь существует целая нота, половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая, то есть каждая последующая нота вдвое меньше предыдущей.

В музыке также встречаются долгие и короткие звуки, а их чередование образует ритм. Все музыкальные произведения вписаны в определенный размер, который обозначается двумя цифрами:

верхняя показывает количество долей в такте;
нижняя – обозначает ритмическое значение доли.

Размер используется для того, чтобы мелодии исполнялись ритмично. Так, двудольными тактами пишутся марши, галопы, польки, песни. В трехдольном размере пишут вальсы, мазурки, полонез.

Размер 4/4 применяется в маршах.

В размере 6/8 исполняется колыбельная.

Музыкальные интервалы

Под интервалом понимается расстояние между двумя ступенями лада. Нижний интервал звука получил название «основание», а верхний – «вершина». При их составлении просто невозможно обойтись без математики.

Всего выделяют восемь простых интервалов:

прима (первая ступень) – звуки располагаются на одной ступени и звучат в унисон;
секунда (вторая ступень). Это интервал в полтона либо тон;
терция (третья ступень) – интервал в два тона либо полтора тона;
кварта (четвертая ступень) интервал в 2,5 тона или три тона;
квинта (пятая ступень) – три с половиной тона;
секста (шестая ступень) – интервал включает четыре тона либо 4,5 тона;
септима (седьмая ступень) интервал в пять тонов или 5,5 тона;
октава (восьмая ступень) интервал в шесть тонов.

Логарифмы в музыке

Музыканты достаточно часто соприкасаются с математикой, при этом они встречаются с логарифмами, ведь игру на современном рояле можно сравнить с игрой на логарифмах.

Так, ноту «До» самой низкой октавы (нулевая октава) определим n колебаниями в секунду. Тогда «До» первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n*2 колебаний и т.д.

Далее обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон «До» каждой октавы за нулевой. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой:

N_pm=n*2().

Логарифмируя эту формулу, получаем:

lg N_pm=lg n + m lg 2 + p lg2/12 или lg N_pm=lg n + (m + p/12) lg 2, а принимая число колебаний самого низкого «До» за единицу (n=1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lg2=1), имеем: lg N_pm=m + p/12.

Отсюда ясно видно, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков.

Выдающиеся личности в математике и музыке

Многие композиторы утверждают, что их метод во многом совпадает с математическим. Поэтому неудивительно, что многие известные композиторы обладали ярко выраженным математическим умом. Примерами являются:

автор «Горя от ума» А.С. Грибоедов написал два вальса;
виолончелист Карл Давыдов закончил физико-математический факультет и обладал блистательными способностями к чистой и прикладной математике;
музыковед, композитор и музыкальный критик Л.Л. Сабанеев закончил физико-математический и естественный факультеты Московского университета. Однако это не помешало ему стать известным музыкальным критиком и основателем Государственного института музыкальных наук;
композитор Э. Денисов окончил физико-математический факультет Томского государственного университета и музыкальное училище, а затем окончил Московскую консерваторию. В СССР его музыку называли «авангардной», поэтому он не получил широкого признания в Советском Союзе, а вот на западе его называли «Моцартом XX века».

Список литературы:

Арнольд В.И. Математика с человеческим лицом // Природа. – 1988. – №3.
Бурбаки Н. Архитектура математики. – М.: Знание, 1972.
Волошинов А.В. Математика и искусство - Москва: Просвещение, 1992
Вечтомов Е.М. Метафизика математики: Монография. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006.
Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. – М.: Просвещение, 1982.
Гулыга А. В. Искусство в век науки. - М.: Наука, 1978.
Гулыга А. В. Что такое эстетика? - М.: Просвещение, 1987.
Действующие учебники по математике для общеобразовательных учреждений.
Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс – основа учебного предмета «Математика» в образовательной школе // Математика в школе. – 1997. – №4.
Дусавицкий А. К. Развитие личности в учебной деятельности. – М.: Дом педагогики, 1996.
Иванова Т.А. Гуманитаризация общего математического образования. – Н. Новгород, 1998.
Ковалев Ф. В. Золотое сечение в живописи. - Киев: Выща школа, 1989.
Лосев А. Ф. Музыка как предмет логики // Из ранних произведений. - М.: Правда, 1990.
Раушенбах Б. В. Пространственные построения в древнерусской живописи. - М.: Наука, 1975.
Раушенбах Б. В. Пространственные построения в живописи. - М.: Наука, 1980.