Функция как важнейшее звено межпредметных связей физики и математики

Понятие «функция» в средней школе занимает большое место в общей системе теоретических знаний учащихся по предметам естественнонаучного цикла. Функция является одним из основных понятий математики. Она выражает зависимость одних переменных величин от других. Как и остальные понятия математики, оно прошло долгий путь развития, от представления о переменной величине, до понятий теории множеств.

Функцию начинают изучать в 7 классе на уроке алгебры. Трактовка функции как зависимости одних переменных величин от других вводится следующим образом. Если величины x и y связаны так, что каждому значению х соответствует определенное значение y, то y называют функцией аргумента х; записывают . При этом зависимость y от x можно представить в табличной форме, в аналитическом виде или в виде графика. В физике же чаще всего правило отнесения значениям х соответствующих им значений у задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы получить у. Любой физический закон лишь тогда четко сформулирован, когда он записан в виде некоторой функциональной зависимости между физическими величинами. Суть заключается в необходимости перенести этого абстрактного понятия функциональной зависимости с переменных действительных чисел на переменные объекты любой природы.

Таким образом, мы подходим к пониманию функции как зависимости между двумя множествами объектов. Если каждому элементу множества Х поставлен в соответствие в силу какого-либо правила или закона некоторый определенный элемент множества Y и при этом каждый элемент множества Y оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Х, то говорят, что между множествами Х и Y установлено взаимно однозначное соответствие. Понятие «множество», которое вводится в школьный курс в алгебре 10 класса, можно представить себе как совокупность некоторых объектов, объединенных между собой по какому-либо признаку. К примеру, не всякая формула, связывающая физические величины, выражает причинно-следственную зависимость между ними. Так если на основании формулы для расчета плотности твердых тел  задать правильную с математической точки зрения функциональную зависимость  при V=const, то с физической точки зрения такой процесс не реален и такое высказывание неверное.

В некоторых функциональных зависимостях описывающих физический процесс мы можем наблюдать взаимную причинно-следственную связь. Так, например рассмотрим функциональную связь между давлением Р и объемом V идеального газа при постоянной температуре, закон Бойля - Мариотта: PV=const. При изотермическом процессе причиной изменения давления идеального газа служит изменение его объема, и наоборот.

Математическая функция понятие абстрактное. Функциональная зависимость физических величин наполнена конкретным содержанием, и важно понимать физический смысл входящих в формулу величин. В этом и заключается существующая принципиальная разница в понимании этого понятия в математике и физике.

Первое знакомство с графиками ученики получают на уроках математики в 6 классе. Здесь они учатся строить графики движения пешехода, поезда, температуры (по таблице), находить по графику значение одной переменной, если задано значение другой переменной. Далее в 7-8 классах при вычерчивании графиков на уроках физики учащиеся применяют знания по математике и развивают представления о функциональной зависимости. При рассмотрении физических закономерностей и построение описывающих эти закономерности графиков координатные оси обозначают символами тех физических величин, зависимость между которыми исследуется графиком. Рядом с буквенным обозначением через запятую записывают единицы измерения физических величин. При методических ошибках учителя учащиеся отождествляют график с траекторией движения. Такое можно встретить в знаниях учащихся по физике не только в 8, но и в 10 классе. Поэтому следует научить их читать и анализировать графики движения. Например, при решении графических задач учащиеся получают навыки в чтении и анализе графиков пути и скорости равномерного движения, а по этим графикам они смогут определить скорость или пройденный путь.

График линейной функции описывает такой физический процесс как равномерное прямолинейное движение. При равномерном прямолинейном движении скорость v_x=const, следовательно, и её модуль v=const, т.е. не изменяется с течением времени. Графиком зависимости модуля скорости от времени является прямая, параллельная оси времени и расположенная выше этой оси, так как v>0. Площадь прямоугольника ОАВС, заштрихованного на рисунке, численно равна пути, пройденному телом за время t. Ведь сторона ОА в определённом масштабе есть v, а сторона ОС – время движения t, поэтому s=vt.

При равномерном прямолинейном движении путь s прямо пропорционален времени t, так как модуль скорости v=const: s=vt. Следовательно, графиком, выражающим зависимость пути от времени, является прямая, выходящая из начала координат (s(0)=0). Чем больше модуль скорости, тем больший угол образует график с осью времени. Для того, чтобы по графику зависимости пути от времени определить путь, пройденный телом за определённой промежуток времени, надо из точки на оси времени, соответствующей концу промежутка, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из этой точки опустить перпендикуляр на ось s. Точка пересечения его с этой осью даст значение пути в данный момент времени.

Так как координата при равномерном прямолинейном движении является линейной функцией времени х=х₀+v_xt, то графиком зависимости координаты от времени является прямая линия. По графику зависимости х(t) можно судить о прошлом в движении тела, т.е. можно находить положение тела до начала отсчета времени, при условии, что и до этого момента тело двигалось равномерно и прямолинейно с той же скоростью. Моменты времени до начала отсчёта считаются отрицательными. Итак, все графики равномерного прямолинейного движения представляют собой прямые линии. Для их построения достаточно указать значения х(t) или s(t) для двух моментов времени. На рисунке приведены графики зависимости координаты от времени для трех случаев.

График квадратичной функции y = ax²+bx+c – парабола, вершина которой лежит в точке с координатами: . Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы. Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x² и дискриминанта D=b²–4ac. Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рисунке.

В физике данный вид графика квадратичной функции описывает равноускоренное или равнозамедленное движение, подробно изучаемое в 10 классе. При равноускоренном движении тело (материальной точки) движется с положительным ускорением, модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения. При равнозамедленном движении ускорение будет отрицательным, векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается. Общая формула для определения проекции перемещения: . При v₀=0 перемещение определяют по формуле: . График зависимости перемещения от времени показан на рисунке.

Периодические или почти периодические процессы, которые повторяются через одинаковые промежутки времени, называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями, например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

x=x_mcos (ωt+φ₀), где

x – смещение тела от положения равновесия,

x_m – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия,

ω – циклическая или круговая частота колебаний,

t – время.

Графиком такого процесса в данном случае является косинусоида.

Таким образом, были рассмотрены примеры графиков функций, которые описывают физические процессы.

Список литературы:

1. Г. Л. Коткин, В. С. Черкасский, Компьютерное моделированиефизических процессов с использованием MATLAB.
2. Физика.ру: сайт для учащихся и преподавателей физики http://www.fizika.ru
3. Портал информационной поддержки Единого государственного экзамена http://ege.edu.ru