Моделирование физических процессов с помощью линейных, дробных и квадратичных функций и уравнений

Увлеченный наукой «физика» человек скажет, что математика есть комплекс инструментариев для использования физиками, химиками, технологами, астрономами, врачами и всеми, кто занимается изучением фундаментальных основ мироздания. Да нужно признать, что математика – наука прикладная для других естественных наук.

В этой лекции мы рассмотрим уравнения и некоторые функции прямой и обратной пропорциональностей, которые можно почти одновременно изучать как на уроках алгебры, так и на уроках физики в 7-8 классах.

1. На примере изучения темы «Закон Ома для участка цепи» рассмотрим применение прямой и обратной пропорциональности на уроках физики. Нагревание проводника, различные химические и магнитные действия зависят от силы тока. Регулировать эти действия можно, изменяя силу тока в цепи. Но надо знать, от чего зависит сила тока в цепи, чтобы управлять током. Электрический ток в цепи - это упорядоченное движение заряженных частиц в электрическом поле. Сила тока в цепи будет тем больше, чем сильнее действие электрического поля на заряженные частицы. Действие поля характеризуется физической величиной напряжением; значит есть функциональная зависимость силы тока от напряжения электрического поля. Опытным путем установим, какова эта зависимость.

Соберем электрическую цепь, состоящую из источника тока - аккумулятора, амперметра, спирали из никелиновой проволоки, ключа и параллельно присоединенного к спирали вольтметра.

На рисунке изображена такая цепь. Замкнем цепь и отметим показания приборов. К первому аккумулятору присоединим еще один такой же аккумулятор, замкнем цепь. Напряжение электрического поля в цепи при этом увеличится вдвое, и амперметр покажет вдвое большую силу тока. Опыты будем повторять, увеличивая напряжение в три раза, в четыре раза. Такой эксперимент показывает, что во сколько раз увеличивается напряжение, приложенное к одному и тому же проводнику, во столько же раз увеличивается сила тока в нем. На языке математики величина сила тока в проводнике прямо пропорциональна величине напряжение на концах проводника.

2. Графиком линейной функции также можно описать прямолинейное равномерное движение. Рассмотрим некоторые физические задачи, которые можно предложить семиклассникам при изучении линейных функций на уроках алгебры.

Задача 1. Путешественник движется равномерно со скоростью 4 км/ч из пункта А в пункт В. Задайте формулой зависимость расстояния S, пройденного пешеходом от времени t.

Решение: S = 4t

Задача 2. Навстречу мотоциклисту, скорость которого 20 м/с едет автобус со скоростью 10м/с. В начале наблюдения расстояние между ними равно 500 м. Ось ОХ направлена в сторону движения, в начальный момент наблюдения положение автобуса совпадает с началом отсчета. Необходимо написать для автобуса и мотоциклиста уравнения х=х(t).

Решение:

тело	уравнение движения	табличное отображение функции
автобус	х1=10t	t 0 6 x 0 60
	x2=500-20t	t 0 5 x 500 400

Решение этих задачи на уроке физики невозможно без понимания прямой и обратной пропорциональной зависимости, изучаемой на уроках математики. Решение этой задачи на уроке математики требует от учеников знаний основных физических формул описывающих равномерное прямолинейное движение. Поэтому необходимо вначале составить однозначный алгоритм решения подобных задач, как на уроке математики, так и на уроке физики.

t( сек)	1	2	3
S(м)	2	4	6

Многие реальные ситуации моделируют с помощью функции прямой пропорциональности. Например: в уравнении S=2t цифра 2 обозначает скорость.

Задача 3: Расскажите про движение, которое можно описать уравнением у = 0,5х + 4.

Решение: Здесь движущееся тело находится на расстоянии 4 метров от наблюдателя спереди и отдаляется от него со скоростью 0,5 м/с.

3. Формулу силы тяжести F=mg, можно получить, выполнив на уроке эксперимент и построив график зависимости F(m).

	Оборудование: динамометр, 5 грузов по 100 гр., миллиметровая бумага.
1	Необходимо по очереди подвешивать на динамометр грузы и фиксировать значение силы тяжести – показания динамометра.
2	Заполним таблицу m, кг 0,102 0,204 0,306 0,408 0,510 F, Н 1 2 3 4 5
3	Построим график зависимости силы тяжести F от массы тела m
4	В результате анализа графика замечаем, что зависимость силы тяжести от массы груза является функцией прямой пропорциональности. Коэффициент пропорциональности, k (ка) определим как отношение силы тяжести к массе груза. g — ускорение свободного падения
5	Теперь, совместно с учениками можно сделать вывод о том, что Земля притягивает предмет с силой в 9,8 Ньютонов. Величина g (жэ), равная 9,8 (9 целых и 8 десятых) Ньютонов называют ускорением свободного падения.

4. Для более наглядного представления прямо пропорциональной зависимости между физическими величинами на уроке математики предлагаем провести лабораторную работу «Изучение зависимости силы упругости от деформации тела». Для этого понадобятся пружина и 4 грузика по 102 грамма (можно взять из лаборатории в кабинете физики).

Ход выполнения экспериментальной работы следующий:

1. Измерим длину нерастянутой пружины.
2. Подвесим один грузик массой 0,1 кг к пружине. И снова измерим длину пружины.
3. Подвесим второй грузик, теперь масса груза на пружине составляет массой 0,2 кг, измерим длину пружины.
4. Подвесим третий грузик и измерим длину пружины, которая растянулась под действием груза массой 0,3 кг
5. Подвесим еще грузик и получим груз массой 0,4 кг, подвешенный на пружине; измерим длину пружины
6. Построим график зависимости F от l. На координатной плоскости отметим точки.
7. Соединим получившиеся точки.
8. Графиком исследуемой зависимости является прямая. Продолжая дискуссию с учащимися, нужно сказать, что кроме силы тяжести направленной вертикально вниз на тело действует и сила упругости направленная вертикально вверх. В данном случае сила тяжести грузов, подвешенных к пружине, уравновешивается силой упругости пружины.

5. Изучив тему «Плотность», семиклассникам можно предложить решить следующую задачу.

Задача. Записать формулу зависимости массы стальной балки от её объема, если V – объем балки, m - его масса, плотность стали 7,8. Построить график этой зависимости.

Решение: m=ρV; ρ=7,8; m =7,8V; у=k·х;

Линейные функции применяются во многих физических процессах:

- в кинематике – это графики пути, перемещения, координаты прямолинейного равномерного движения; скорости, ускорения при прямолинейном равнопеременном движении;

- в динамике - графики зависимости 

- в разделе «законы сохранения» - графики зависимостей 

- в квантовой физике - графики Е_кин (частота падающего света) в теории фотоэффекта.

6. Реализация межпредметных связей естественнонаучных предметов может быть осуществлена различными путями. Так, например, при изучении уравнений на уроках алгебры учителю нужно всегда показывать их применение при решении физических задач. Нужно показать различие и сходство при решении задачи математическим и физическим способом. Например, решим следующую задачу.

Задача 1. В мультфильме «Маша и Медведь» Маша побежала за медведем со скоростью 1,8 км/ч, через 6 минут как его увидела. Скорость Медведя 0,9 км/ч. Сколько времени понадобится Маше, чтобы догнать Медведя?

Математический способ решения:

1. Заполним таблицу по условию задачи.

	υ, км/ч	t, ч	S, км
Медведь
Маша

- Какая физическая величина известна? (скорость)

- Какой путь S, пробежал каждый? (одинаковый)

- Что можно сказать о времени t? (время движения Маши на 6 мин меньше)

- Как можно выразить 6 мин в часах? (Учитель на доске)

- Какое время возьмем за х? (наименьшее – время движения Маши)

- Тогда какое время была в пути Медведь? (на 0,1 ч больше, т.е. х+0,1 ч)

- Запишем это в таблицу.

	υ, км/ч	t, ч	S, км
Медведь		х ч	S1, км	S1= S2
Маша		x + 0,1 ч	S2, км

1,8х =0,9(х+0,1)

1,8х –0,9 х – 0,09 = 0

0,9х – 0,09 = 0

0,9х = 0,09

х = 0,09/0,9

х = 0,1 часа – время Маши

Ответ: 6 минут необходимо Маше, чтобы догнать Медведя.

Физический способ решения

Можно ученикам предложить составить задачу по рисунку и решите математическим и физическим способом. Например:

Математический способ решения

	υ, км/ч	t, ч	S, км
I	2х	2 ч	4х км
II	х	2 ч	2х км

Составляем уравнение

Ответ: Через 2 часа скорость первого равна 18 км/ч и скорость второго - 9 км/ч.

Физический способ решения

Алгоритм решения задачи физическим или математическим способом следующий:

В 8 классе ученики учатся решать дробные уравнения. Для чего нужны дробные уравнения? Какие задачи приводят к их появлению? Такие задачи, в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения (содержащего переменную в знаменателе дроби). Например:

Рассмотрим задачу, решаемую на уроках математики, которые также должны быть актуальными и на уроках физики.

Задача: Два брата одновременно выехали и поехали на дачу: старший - на мотоцикле, младший - на велосипеде. Так как скорость мотоциклиста на 15 км/час больше скорости велосипедиста, то старший брат приехал на 1 часа раньше младшего. Найдите скорость движения каждого мальчика, если расстояние от дома до дачи 30 км.

Решение: Так как требуется найти скорости, обозначим меньшую из них буквой Х и заполним таблицу.

	S (км)	v (км/час)	t (ч)
Велосипедист	30	Х
Мотоциклист	30	Х + 15

Учитывая, что мотоциклист приехал на 2 часа раньше, составим уравнение

Уравнение имеет два корня: х₁ = 15, х₂ = -30, но второй корень не подходит по смыслу задачи.

Ответ: скорость велосипедиста 15 км/час, мотоциклиста 30 км/час.

При составлении математической модели учителю целесообразно сначала ответить на следующие вопросы совместно с учениками

1. Какой процесс описывается в задаче?
2. Какими величинами характеризуется этот процесс?
3. Как связаны между собой эти величины?
4. Сколько реальных процессов описывается в задаче?
5. Значение каких величин известны? На данном этапе формируются познавательные учебные действия и умение использовать полученную информацию в деятельности, происходит развитие мыслительных операций. В последующем ученикам необходимо решать задания по аналогии, используя алгоритм действий.
6. Значение каких величин сравниваются?
7. Значение каких величин требуется найти?
8. Составить краткую запись условия задачи.
9. Обозначить одну из неизвестных величин переменной х и выразить другие неизвестные величины через х.

Решение текстовой задачи на движение состоит из трех этапов: составление математической модели, работы с ней и ответа на вопрос задачи. В этой задаче сравнивались две одноименные величины, применялись три приема: чтобы уравнять две величины, нужно к меньшей из них прибавить разницу между ними, или из большей вычесть разницу, или из большей вычесть меньшую величину.

На уроках математики можно рассмотреть задачи с составление дробных уравнений, описывающие не только механические но и другие явления физики.

Задача 2. Напряжение 20 Вольт вызывает в параллельно соединенных проводниках ток силой 9 А. Сопротивление одной нагрузки на 1 Ом больше, чем сопротивление другой нагрузки. Найти сопротивление каждого из проводников.

Решение:

Пусть сопротивление одного проводника x (Ом), тогда другого – (x + 1) Ом. Из курса физики известно, что если проводники соединены параллельно, то ток разветвляется, то есть сила тока всей цепи равна сумме сил токов ветвей цепи: I_общ=I₁+I₂. По закону Ома: I = U/R. Итак: U/R₁+ U/R₂=9.

Составим уравнение и решим:

Ответ: R₁ = 4 Ом, R₂ = 5 Ом.

Задача 3. В два сосуда разлили 10 кг воды. При нагревании первый сосуд получил 48 ккал, а второй – 12 ккал. После чего температура в первом сосуде оказалась на 1°С выше, чем во втором. Сколько килограмм воды находилось в каждом сосуде?

Решение:

Количество теплоты , где С – теплоемкость воды, ∆T – разность температур, показывающая на сколько градусов нагрели воду, m - масса воды, с =1.

Пусть масса воды в первом сосуде х кг, во втором сосуде – (10 – х) кг.

По условию ∆Q = 48 ккал, тогда ∆T₁ = 48/х, ∆T₂ = 12/(10-х).

Составим по условию задачи уравнение:

48/х- 12/(10-х) = 1, х ≠0,х≠40.

Решаем:

Ответ: в первом сосуде было 7,7 кг воды, а во втором – 2,3 кг.

Теперь мы рассмотрим несколько физических задач, решения которых сводятся к решению квадратного уравнения. Задачи на тему «Движение тела под действием силы тяжести» встречаются на ЕГЭ как по математике так и по физике. При тренировке решений квадратных уравнений на уроках алгебры учителю рекомендуем вспомнить, какие формулы описывают прямолинейное движение тела по вертикали под действием силы тяжести. Данное движение рассматривается как частный случай равноускоренного движения. Уравнение движения тела имеет вид:

 – если тело движется вверх;

 – если тело движется вниз.

 – скорость тела при начальной скорости направленной вниз;

 – скорость тела при начальной скорости направленной вверх;

Ускорение свободного падения g =9,8 м/с² (при решении задач для упрощения расчетов принимают g =10 м/с²).

Задача 1. Сколько времени футбольный мяч после удара будет находиться выше 25 м. Начальная скорость мяча 30 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ выразите в м/с.

Решение:

Мяч пролетает одну и ту же высоту дважды. Один раз – когда летит вверх, и другой – когда мяч летит вниз. .

Ответ: 4 секунды мяч летел выше 25 метров.

Задача 2. Через 6 секунд слышен звук удара падающего камня о дно шахты. Определите глубину шахты, считая скорость звука равной 330 м/с.

Решение: Камень падает вниз на дно шахты, ударяется и звуковая волна от удара камня движется вверх, до высоты слушателя.

Поэтому t = t_к + t_зв, где t_к – время падения камня, t_зв – время движения звуковой волны.

С другой стороны расстояние звуковой волны можно определить по формуле: S = υ_зв ∙ t_зв [м].

Так как глубина шахты и есть, то расстояние, что проходит звуковая волна, то можно приравнять Н=S, и получится уравнение: 

Обозначим время падения камня t_к=х, а время движения звуковой волны t_зв=у. Составим систему уравнений:

Подставив числовые значения, получим следующую систему уравнений:

Решим систему уравнений методом подстановки: выразим переменную х через у. х =6 – у

Тогда система уравнений примет вид:

Ответ: глубина шахты около 151,25 м.

Задача 3: Через какое время тело, брошенное вверх со скоростью 20 м/с, достигнет высоты 15 м? Может ли оно достичь 25 м?

Решение.

2. Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v движется по закону S=vt-gt²/2.
3. Принимая приближенно g=10 м/с², имеем формулу S=vt-5t².
4. Подставляя известные данные, получаем квадратное уравнение: 5t²- 20t+15 = 0.
5. Решая данное уравнение, получаем ответ t=1с, t=3с.
6. Для ответа на второй вопрос вместо S подставим значение 25 м. Полученное квадратное уравнение 5t²- 20t+25 = 0 не имеет корней, а, следовательно, нет такого значения времени t, при котором тело достигло бы высоты 25 м.

Сформировать у учащихся умение использовать математические методы решения уравнений в физических задачах и использовать функциональный анализ при описании реальных физических процессов - такова цель этой части лекционного занятия.

Список литературы:

1. Г. Л. Коткин, В. С. Черкасский, Компьютерное моделированиефизических процессов с использованием MATLAB.
2. Физика.ру: сайт для учащихся и преподавателей физики http://www.fizika.ru
3. Портал информационной поддержки Единого государственного экзамена http://ege.edu.ru