Производная и первообразная в задачах по физике

Слеп физик без математики.

Ломоносов М.В.

В рамках задач ЕГЭ по физике встречаются задачи, которые можно решить, используя методы математического анализа. В задачах ЕГЭ по математике также встречается вопрос исследования физического процесса дифференцированием или интегрированием. На уроках алгебры в 10 классе учащимся обязательно нужно показать приложение производной к решению различных физических и технических задач. Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук.

Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для исследования окружающего мира. Вместе с решением одной конкретной задачи математика создает общие приемы и способы, применимые во многих ситуациях, которые не всегда можно предвидеть, а описать, создает математическую модель.

Ньютон – создатель первой научной «механической картины мира», в которой «земные» и «небесные» движения объединились в единое механическое движение материальных тел. А для описания движения Ньютон создал математический аппарат – дифференциальное исчисление. Движение, в широком смысле этого слова, охватывает все происходящие во вселенной изменения и процессы: от механического и теплового до движением мысли. Производная как скорость является характеристикой любого вида движения. Дифференцирование – уникальный математический метод, применяемый не только в математике, но и в других науках, изучающих процессы и явления окружающего. Задача определения скорости неравномерного прямолинейного движения была впервые определена Исааком Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, то есть текущей величиной, а производную – флюкцией. Ньютон пришел к понятию производной, изучая вопросы механики.

В учебнике по алгебре и началам анализа в 10 классе дано следующее определение производной: «производной данной функции при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен». Таким образом, , или .

Физический смысл производной таков: если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки определяется как производная функции координаты от времени. v(t)=x'(t)

Рассмотрим задачу, которую можно в равной степени решить и используя только формулы физики, и используя понимание производной.

Задача

Способ

Материальная точка движется по прямолинейному закону

. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2 c. х – координата точки в метрах, t – время в секундах.

Физика

Алгебра

Перечислим основные виды задач, в которых удобнее применять производную:

υ(t)=х((t) – скорость	υ=х/t Скорость - физическая величина, которая показывает пройденный телом путь в единицу времени
a(t)=υ((t) – ускорение	a= υ/ t Ускорение показывает как изменилась скорость движущегося тела за единицу времени.
C(t)=Q((t) - теплоемкость	C= Q/ t Удельная теплоемкость показывает количество теплоты необходимое чтобы нагреть или выделяемое при охлаждении 1 килограммом вещества при изменении температуры на 1 граду по Цельсию.
J(t)=q((t) - сила тока	J= q/ t Сила тока – величина, определяемая количеством заряда протекаемым через поперечное сечение проводника в единицу времени.
ω (t)=φ((t) - угловая скорость а(t)=ω((t) - угловое ускорение	Эти величины рассматриваются при изучении периодически повторяемых процессов.
N(t)=A((t) - мощность	N= A/ t Мощность – работа, совершаемая в единицу времени.
J(x) = y( (x) - удельные издержки производства,	J=y/x удельные издержки производства где y–издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.
V (t)=p'(t) - Средняя скорость химической реакции	p= V/ t . Здесь p(t) - количество вещества, вступившего в реакцию в момент времени t
P = x’(t) - скорость роста популяции	P= x/ t Здесь x (t) - количество особей и популяций в реакцию в момент времени t

Решения задач:

№	Условие задачи	Решение задачи
1	Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t² +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?	Дано: m=4 кг., t=3 с., х(t) = t2 +t + 1. Найти E(кин), F. υ(t) = х ( (t)=2 t+1 υ(3) = 2 3+1=7м/с E(кин)=mυ2/2=472/2=98 Дж a (t)=υ( (t) =2 F=ma=4*2=8 Н.
2	Теплоемкость воды при t = 100°С равна 1,013. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг воды от 0°С до t°С, определяется формулой Q = t+2(10^-5 t² + 3a(10-7 t³. Найдите значение параметра а.	Дано: t=100°С, С=1,013, Q=t+2(10^-5t²+3a(10-7t³ Найти а. C(t) = Q( (t)=1+4(10^-5 t+ 9a(10^-7 t² C(100)=1,004+0,009 a=1,013; а=1
3	Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?	Дано: q(t) = t+4/t; J (t)=0 Найти t. J (t) = q( (t)=1-4/ t²=0; t=2секунд
4	Цементный завод производит Х т цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производительность завода такова, что выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими, если функция затрат имеет вид У(х) = -х³ + 87 х² + 200х.	Дано: У(х) = -х³ + 87 х² + 200х; 20<x<90; J(x)=max Найти х. J(x) = y( (x) =-3x²+174x+200 Эта парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, максимум функция J(x) достигает в вершине: x=-174/(2-*(-3))=69 тонны.
5	Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t /2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды	Дано: р(t) = t /2 + 3t –3, t=3, Найти V (t) V (t) = p' (t) =1/2-3/ t², V (3)=1/2-3/3²=1/6 моль/сек
6	Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. Найти скорость роста популяции: в момент t=1 c.	Дано: t=1 Найти P P = x’(t)=200 t, P(1)=200*1=200 особей/сек

Производную можно применять при нахождении оптимальных значений различных физических процессов. Более сложные случаи применения функции – нахождение максимумов и минимумов функций, описывающих физические процессы.

Схема применения метода поиска наибольших и наименьших значений функций к решению прикладных задач состоит из следующих этапов:

задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x);
средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;
выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный на языке функций результат.

Решим задачи:

Задача 1: Источник тока с электродвижущей силой 220Вольт и внутренним сопротивлением 50 Ом подключен к прибору сопротивлением R. Чему должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая мощность была наименьшей.

Решение:

Ответ: Мощность Р максимальна, когда внешнее сопротивление резистора равно внутреннему сопротивлению. Получаем R=r=50 Ом.

Задача 2: Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что ее масса меняется по закону , где m измеряется в граммах, t – в секундах. Через какое время после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

Решение:

Ответ: через 1 секунду после начала движения.

Задача 3: Два корабля плывут со скоростями 20 км/ч и 30 км/ч по прямым, угол между которыми равен 600, в направлении точки пересечения этих прямых. Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в начальный момент времени расстояния кораблей от точки пресечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.

Решение:

Используем теорему косинусов:

Рассмотрим физические задачи, где производная применяется для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1. Конец приставленной к стене лестницы находится на высоте 4 метра от поверхности земли. Длина лестницы – 5 метров. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с². С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2 метра?

Решение:

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.Так как движение равноускоренное, высота y(t) описывается формулой:. В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t2, из которого t=√2. В этот момент горизонтальную проекцию пройденного пути можно вычислить по теореме Пифагора , то есть . Скорость его изменения будет

Ответ: 12м/с

Задача 2. Дождевая капля падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется так, что ее масса m изменяется по закону m(t =1-2t/t.

(m изменяется в граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

Решение:Скорость капли вычисляется по формуле v(t)=gt, её кинетическая энергия в момент t равна . Исследуем функцию E_k(t) на наибольшее значение с помощью производной: . При t=1 функция E_k(t) принимает наибольшее значение.

Ответ: при t =1сек.

С помощью производной можно решить задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Используя закон Гука F=-kx, где x – переменная координата, k - коэффициент упругости пружины, подставив ω² =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника:

х"(t) + ω²x(t) = 0, где

ω=√k / √m - частота колебаний (l/c),

k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у"+ω²y=0 называется уравнением гармонических колебаний: механических, электрических, электромагнитных. Решением таких уравнений является функция у=Asin(ωt + φ₀) или у=Acos(ωt + φ₀), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ₀- начальная фаза.

Теперь рассмотрим интеграл - одно из важнейших понятий математического анализа, который является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах. В первую очередь хотим рассмотреть задачу, приводящую к понятию определенного интеграла с точки зрения математики и точки зрения физики.

Задача о пройденном пути.Задача о площади криволинейной трапецииТребуется найти путь, пройденный движущейся по прямой точкой за отрезок времени [t₀;T], если известен закон изменения мгновенной скоростиv= v(t). Разобьем отрезок [t₀;T]моментами времени (точками)t₀<t₁<t₂<…<t_n=T наnотрезков времени (частичных отрезков) и положим Δt_k=t_k-t_k-r , k=1,2,…,n. Наибольшую из этих разностей обозначим через λ: λ=maxΔt_k. Если эти отрезки достаточно малы, то движение на каждом из них можно считать равномерным, что дает для пути приближенное выражение где τ_k— одна из точек сегмента [t_k-1;t_k]. Эта сумма тем точнее выражает искомый путь s, чем меньше каждый из временных отрезков [t_k-1;t_k], k= 1, 2, ...,n. Поэтому за путь s, пройденный точкой в течение промежутка времениT-t₀ со скоростью v= v(t), естественно принять предел указанной суммы при λ→0: .

Пусть требуется найти площадь плоской фигуры aABb, ограниченной графиком функции у=f(х), непрерывной и неотрицательной на отрезке [a;b], и отрезками прямых y=0, x=a, x=b. Эта фигура называется криволинейной трапецией. Разобьем [a;b] точками a<x₀<x₁<x₂<…<x_n=b наnчастичных отрезков и положим Δx_k=x_k-x_k-1, k=1,2,…,n. Наибольшую из этих разностей обозначим через λ: λ=maxλx_k. На каждом частичном отрезке [x_k-1;x_k], k= 1, 2, ...,n, выберем произвольную точку Произведение даст площадь прямоугольника, имеющего основание Δx_k и высоту f(T_k), а сумма — приближенно площадь S криволинейной трапеции aABb. Значит: .

При решении физических задач интегрированием изучаемый процесс разбивают на элементарные части, в пределах каждой из которых изменением соответствующих величин можно пренебречь. Теперь задача решается по формулам для постоянных величин, после чего окончательный ответ находится с помощью интегрирования.

Решим задачи и рассмотрим применение интеграла в различных областях физики.

Перемещение материальной точки. Пусть точка движется по прямой (по осиOX) и известна скорость движения этой точки. Пусть скорость меняется и задан закон этого измененияv=v(t) на некотором отрезке[t₁;t₂]. Тогда перемещение равно

Задача: Телодвижется со скоростьюv(t)=t²+1. Вычислить ее перемещение за первую секунду движения.

Решение: Перемещение материальной точки равно определенному интегралу.

Ответ: 1,3 метров

Зависимость между работой A и силой F при перемещение материальной точки от значения x₁ к значению x₂ устанавливается соотношением:

Задача: Какую работу надо произвести, для перемещения материальной точки на промежутке от 1 до 2 метров под действием силыF(x)=x+1.

Решение: Работа равна определенному интегралу зависимости силы от перемещения на отрезке перемещения.

Ответ: 2,5 Джоулей.

Работа A за промежуток времени от t₁ до t₂, если задан закон изменения мощности N(t), вычисляется по формуле: .

Задача: Вычислите работу A за промежуток времени [1;4], если мощность вычисляется по формуле

Решение:

Ответ: 12 Джоулей.

Масса тонкого стержня m, если известна его линейная плотность ρ(x) вычисляется по формуле: .

Задача: Вычислите массу участка стержня от 0 до 1, если его линейная плотность задается формулой ρ(x)=x²+1

Решение: Согласно формуле:

Ответ: 1,3 кг.

Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени [t₁;t₂] при известной силе тока I=I(t) вычисляется по формуле: .

Задача: Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [3;4], если сила тока задается формулой .

Решение:

Ответ: 30 Кулонов.

Если задана теплоемкость c(t), то количество теплоты Q за время [t₁ ; t₂] вычисляется по формуле: .

Задача: Найти количество теплоты, выделенное за время t∈[1;2], если теплоемкость c(t)=t².

Решение: Согласно формуле, имеем:

Ответ: 2,33 Джоулей.

Математическая зависимость между магнитным потоком Ф, пронизывающим проводящий замкнутый контур, и электродвижущей силой (ЭДС) индукции ε_i(t) в этом контуре задается соотношением .

Задача: При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, которая изменяется со временем по закону . Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку в конце первой минуты вращения.

Решение:

Ответ: 600/π

Теперь составим таблицу, где будет показано применение дифференциального и интегрального исчисления в физике.

Величины	Физическая зависимость в простейшем случае	Вычисление производной	Вычисление интеграла
A – работа, F – сила, N – мощность, x – пройденный путь, t – время.	A=F⋅x N=A / t	F(x)=A’(x) N(t)=A’(t)
m – масса тонкого стержня, ( - линейная плотность, x – линейный размер.	m=ρ⋅x	ρ(x)=m’(x)
q – электрический заряд, I – сила тока, t – время.	I=q / t	I(t)=q’(t)
S – перемещение, v – скорость, t – время.	v=S / t	v(t)=S’(t)
Q – количество теплоты; с – теплоемкость, t – температура.	c = Q / t	c(t)= Q’(t)

Выявление межпредметных связей физики и математики при формировании таких понятий, как функция, величина, производная, первообразная и интеграл имеют ряд трудностей. К примеру, курс механики изучают на уроках физики раньше, чем производную и интеграл в алгебре. Именно при параллельном изучении основ механики и основ математического анализа открываются наибольшие возможности для формирования как физических понятий – мгновенная скорость, мгновенная ускорение, перемещение, работа и т. д., так и математических – производная, первообразная и интеграл. Так получается, что у учащихся из-за несогласованного преподавания математики и физики происходит позднее формирование математического аппарата для изучения в полной мере физических процессов. Выход из создавшейся ситуации состоит в совместном формировании у учащихся физико-математический понятий при совместной деятельности учителей, что приводит к интегрированному обучению.

Список литературы:

М.Я.Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва,1993г.
“Сборник задач по математическому анализу”, Москва,1996г.
И.В.Савельев, “Курс общей физики”, том 1, Москва, 1982г.
Сорокин Н.А. Дидактическое значение межпредметных связей. // Советская педагогика, 1971. - №8