Применение векторов при решении задач по физике

Геометрический подход к решению физических задач наследуется еще от древних греков. Векторный анализ является пограничной чертой между математикой и физикой. На языке векторов формируются понимание основных законов механики и электродинамики.

На уроках физики учитель при изучении механических явлений дает определение радиус-вектора. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку пространства. Многие физические величины, как и радиус-вектор характеризуют и числовым значением и направлением. Например: скорость, перемещение, импульс, напряженность электрического поля, сила являются физическими векторными величинами. Длину такого вектора называют модулем вектора. Интуитивное понимание вектора у учащихся складывается с первых же уроков физики в 7 и 8 классе.

Проведем сравнение понятия вектора в физике и математике:

В математике	В физике
Изучаем векторы ( a ,b , c )	Изучаем векторные величины ( F, v, S)
Вектор можно отложить от любой точки плоскости	Вектор имеет точку приложения (на теле)
Правила сложения векторов
Правило треугольника и правило параллелограмма		Чаще применяем правило параллелограмма
Длину вектора называем модулем		Длину вектора называем длиной

Понимание вектора в физике и математике происходит поэтапно, когда ученики раскрывают и изучают следующие вопросы:

В математике:	В физике:
Координатная прямая. Координатная плоскость. Координаты точки.	Понятие системы отсчета. Координаты, которыми задается положение тела на прямой, на плоскости, в пространстве, и их количество.
Вектор - направленный отрезок.	Вектор – как графическое представление перемещения тела. При прямолинейном движении в одном направлении путь и перемещение совпадают.
Точка - это вектор нулевой длины или нулевой вектор.	Если начальное и конечное положение тела совпадают, то вектор перемещения равен нулю. При этом путь может иметь значение отличное от нуля. Например, когда тело движется по окружности.
Если от проекции начала вектора к проекции его конца надо двигаться по направлению оси, то проекция вектора на ось считают положительной. Если от проекции начала вектора к проекции его конца надо двигаться в направлении, противоположном направлению оси, то проекция отрицательная. Если вектор перпендикулярен оси координат, то проекция равна нулю.
Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала. x=x2-x1 , y=y2-y1.	Вспомним, как связаны проекция вектора перемещения и координаты тела. (sx = х - х0, sy = y - y0) Вспомним формулы для расчета координат тела в любой момент времени (х = х0 + sx, y = y0 + sy).
Операции сложения векторов.
Правило треугольника. Правило параллелограмма. Правило многоугольника.	При движении тела (материальной точки) его перемещение можно рассматривать как геометрическую сумму нескольких последовательных перемещений, например, . Соответствующий многоугольник (треугольник) перемещений выглядит таким образом: Если тело движется с постоянным по величине и направлению ускорением , то выражение для скорости в любой момент t времени имеет вид: . Прикладной характер правил сложения векторов виден не только при определении перемещения тела, но и при сложении скоростей движущегося тела.
Умножение векторов
Произведение векторов (9 класс) Произведение векторов – скалярная величина.	Вычисление механической работы (10 класс): Механическая работа – скалярная величина.
При умножении скаляра на вектор получается вектор.	перемещение тела , импульс тела , второй закон Ньютона , сила, действующий на заряд в электрическом поле
Операция проектирования
Проекция ax вектора на ось X есть отрезок АВ на оси Х, где точки А и В являются основаниями перпендикуляров опущенных из начала и конца вектора на ось Х. Свойства: Проекция суммы векторов равна сумме их проекций. Проекция произведения скаляра на вектор равна произведению скаляра на проекцию вектора.	Многие задачи динамики начинаются с записи второго закона Ньютона в векторной форме. Далее переходят к его проектированию на подходящие оси.

Учителя математики и физики должны комбинировать этот материал, разбавлять свои уроки дополнительной информацией из смежных предметов. Глубокое понимание вектора и действий с векторами у учеников сложится только посредством интеграции математического и физического определения этих понятий. Она должна быть как на уроках математики, так и на уроках физики все время, которое отводится на изучении темы «вектор».

Рассмотрим некоторые физические задачи, которые учитель математики может решить на уроках геометрии.

Задача. Парашютист со скоростью 4 м/с спускается с высоты 2 км вертикально вниз. Скорость горизонтального ветра равно 3 м/с. На какое расстояние отнесет его от места падения?

Решение.

Запишем закон сложения скоростей в векторном виде.
Сделаем чертеж, произведя сложение векторов скоростей.
Искомый вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора вычислим её, найдя тем самым модуль скорости.
Зная, что при прямолинейном равномерном движении модуль перемещения пропорционален скорости, составим пропорцию и найдем модуль искомого перемещения.

Следующие задачи рекомендуем рассмотреть после изучения тригонометрических функций острого угла.

Задача. Скорость лодки относительно течения 10 м/с, скорость течения 5 м/с.Под каким углом к береговой линии должен лодочник вести лодку, чтобы попасть на противоположный берег строго против того места, от которого он отплыл? Сделайте чертеж.

Решение:

Задача. С какой силой F (эф) надо удерживать груз весом Р (пэ) на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?

Решение: Пусть O – центр тяжести груза, к которому приложена сила P. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе. Поэтому .

Задача. Тело движется по окружности со скоростью v. Найдите модуль изменения скорости тела за четверть периода.

Решение: Пусть в начале движения в точке A скорость равна v . За четверть периода тело оказалось в точке B. Модуль скорости не изменяется и равен v. Различно направление скорости. Выполним вычитание векторов и придем к результату .

Теперь рассмотрим метод решения задач кинематики и динамики, основанный на построении так называемых векторных многоугольников перемещений, скоростей, ускорений, сил, импульсов. Рассмотрим краткие теоретические основы и некоторые методические рекомендации по возможности применения геометрических (векторных) способов решения задач кинематики и динамики в школьном курсе физики. Применение векторных способов требует знания основ тригонометрии, в частности, теорем синусов и косинусов.

Векторная запись многих уравнений физики более полно отображает соответствующие процессы, в частности в современном школьном курсе механики. Векторная форма уравнений в сочетании с соответствующими рисунками раскрывает физическую ситуацию в задаче и предопределяет ее успешное решение. Есть определенные алгоритмы решения физической задачи векторным способом.

Кинематика	рационально выбрать систему отсчета с указанием начала отсчета времени и обозначить на схематическом чертеже все кинематические характеристики движения (перемещение материальной точки за рассматриваемый промежуток времени, мгновенную скорость в конце и начале перемещения, ускорение и время); записать кинематические законы движения для каждого из движущихся тел в векторной форме; спроецировать векторные величины на координатные оси и проверить, является ли полученная система уравнений полной; используя кинематические связи, геометрические соотношения и специальные условия, данные в задаче, составить недостающие уравнения; решить полученную систему уравнений относительно неизвестных; перевести все заданные величины в одну систему единиц и вычислить искомые величины; проанализировать результат и проверить его размерность.
Динамика	выяснить, с какими телами взаимодействует движущееся тело, и, сделав схематический чертеж, заменить действие этих тел силами; записать уравнение движения (второй закон Ньютона) в векторной форме; спроецировать векторные величины на координатные оси (значительно облегчает решение задачи рациональный выбор расположения начала координат и направлений координатных осей); если полученная система уравнений не является полной, составить недостающие уравнения, используя третий закон Ньютона, законы трения или законы кинематики; решить полученную систему уравнений относительно неизвестных в общем виде и проверить размерность искомой величины; сделать численные расчеты, проанализировать полученные результаты.
Когда в задаче рассматривается движение нескольких тел, нужно записать второй закон Ньютона для каждого тела. При составлении уравнений нужно учесть все кинематические и динамические связи между движущимися телами.

Для вычислений при решении задачи чаще всего используют соответствующие уравнения в проекции на оси координат, поэтому возникает необходимость обучить учащихся преобразованию векторного уравнения в уравнения для проекций по следующему алгоритму:

изобразить вектор графически в избранном масштабе; указать на рисунке начало координат и координатную ось;
спроецировать на ось начальную и конечную точки вектора;
найти длину отрезка между проекциями этих точек на ось; если можно, выразить длину отрезка через модуль вектора;
обозначить наименьший угол между положительным направлением оси и направлением вектора; определить этот угол;
если указанный угол острый, то приписать проекции знак “+", если нет, то приписать проекции знак “-".
записать в уравнении длину отрезка проекции вектора с соответствующим знаком.

Теперь решим задачи:

Задача.Тело брошено вверх перпендикулярно плоскости, наклоненной под угломαк горизонту. На каком расстоянии от места броска тело упадет на эту наклонную плоскость? Сопротивлением движения пренебречь.

Решение: Изобразим треугольник перемещений, соответствующий условию задачи и соотношению . Видим, что , откуда время движения . Тогда искомое расстояние будет .

Задача. Две частицы брошены одновременно из одной точки с одинаковыми по модулю скоростямиv: первая – вертикально вверх, вторая – горизонтально. Найдите расстояние между ними спустя время t.

Решение: Так как движение частиц происходит под действием силы тяжести, ускорения частиц одинаковы и равны g. Следовательно, относительное движение второй частицы к первой - равномерное и прямолинейное с постоянной скоростью . Тогда искомое расстояние будет равным: .

Задача. Тело брошено горизонтально со скоростью v₀. Найдите скорость тела и угол отклонения через время t.

Решение: В векторной форме процесс описан так: . Проекция скорости на вертикальную и горизонтальную оси: . По теореме Пифагора получаем .

Изучая, разрабатывая и используя новый математический аппарат, физики иногда незаслуженно забывают о ранее найденных и веками эффективно служивших делу физической науки математических способах и приемах. Математика является языком физики, и свободное владение математическим аппаратом облегчает понимание физической сущности явлений и процессов.

Список литературы:

Бугаев А.И. Методика преподавания физики в средней школе. / Бугаев А.И. // Просвещение. - 1981. - С.211-218.2.
Койфман Ю.Г., Секержицкий В.С. Кинематика: о векторном cnocoбе решения избранных задач // Фокус. – 1993. – №4. – С. 61-68.3. Секержицкий, В.С. Векторные способы решения избранных задач механики / В.С. Секержицкий, И.В.
Секержицкий [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые, граф., дан. (4 Мб). - Брест: БрГУ имени А.С. Пушкина, 2009. - Рег. № 88 от 19.11.2009.