Треугольники в физике

Неотъемлемой частью изучения физики является решение задач. Решение любой расчётной задачи связано с формулами, поэтому надо уметь их преобразовывать. В методике преподавания физики есть инструмент называемый «треугольник формул». Он необходим для запоминания трех различных, но взаимосвязанных формул. Рассмотрим самую первую взаимосвязь трех физических величин, которые на уроках математики мы почти наизусть выучили: скорость, путь, время. Достаточно помнить лишь основную формулу и воспользоваться треугольником-помощником для её преобразования.

Слева – исходная формула, а справа – помощник-треугольник:			Знаем, что
	=>
Как пользоваться треугольником?
	=>		скорость определяется отношением пройденного пути ко времени движения.
Как выразить путь?
	=>		пройденный путь равен произведению скорости на время.
Как выразить время?
	=>		для нахождения времени надо путь разделить на скорость.

Таким образом, один треугольник вместил в себя сразу три формулы. Такой метод запоминания подойдёт и для любых других похожих формул, только нужно вписать нужные величины.

Треугольник формул			Знаем, что
	=>
Как определить плотность тела?
	=>		плотность вещества определяется отношением массы к объему тела.
Как найти массу?
	=>		масса равна произведению плотности на объем.
Как вычислить объем?
	=>		для нахождения объема тела надо массу разделить на плотность вещества.

Теперь рассмотрим физическую задачу, в которой могут быть использованы знания свойств треугольника.

Задача (ЕГЭ, 2016): Точечное тело массой 2 кг свободно движется по горизонтальному столу вдоль оси ОХ с постоянной скоростью, модуль которого равен 4м/с. В некоторый момент времени на это тело начинает действовать сила 8Н, направленная вдоль стола в положительном направление ОУ. Чему равен импульс тела через одну секунду после действия силы?

Решение: Величина импульса, направленного вдоль оси ОХ равна . Величина импульса, направленного вдоль оси ОУ равна . Построим чертеж:

Равнодействующий импульс направлен по биссектрисе прямого угла равнобедренного треугольника. Значит значение его будет .

Ответ: .

Подобие треугольников, в частности подобие прямоугольных треугольников, моделирует правило рычага. Рычаг представляет собой твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной опоры.

Правило рычага гласит: Рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны их плечам: . Геометрическое объяснение описываемого явления легко заметить из подобия треугольников AOF₁ и AOF₂.

Задача (ЕГЭ 2015): Рычаг изготовлен из легкой доски. Где должна быть точка опоры, чтобы рычаг находился в равновесии?

Решение: Имеем следующие данные: F₁=300Н, F₂=200Н. Вспомним правило рычага: . Значит, первое плечо l1 составляет 1/3 длины рычага, второе плечо l2 составляет 2/3 длины рычага.

Равенство углов, сумма углов треугольника, подобие треугольников находят применение при решение задач по оптике.

Например:Известно, что луч света параллельный главной оптической оси линзы, пройдя через линзу, изменяет свое направление так, что его действительное или воображаемое продолжение проходит через главный фокус; луч, проходящий через оптический центр линзы, направления не изменяет. Построив изображение описываемого процесса, мы видим, что линейное увеличение линзы (отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета)равно отношению расстояния от линзы до изображенияfк расстоянию от линзы до предмета.

Рассмотрим несколько примеров таких задач с использованием теоремы Пифагора для решения. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

1. При строительстве в зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.
2. Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.

Задача: Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение: По теореме Пифагора h₂ ≥ a₂+b₂, значит h ≥ (a₂+b₂)½.

1. При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки.

Задача: В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.

Решение: Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда из треугольника DBC: DB=2,5 м., 

Ответ: 5,7 метров.

1. В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать типичную задачу.

Задача: Какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, в радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.)

Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB = OA + AB.

OB = r + x . Используя теорему Пифагора, получим ответ.

Ответ: 2,3 км.

Задача: 12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле «Восток» был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км).

Решение: Точка А – место расположения космического корабля. Точка В - видимый космонавтом участок поверхности Земли. Точка О – центр Земли. Так как АВ – касательная к окружности, а ОВ – радиус, то получаем, что треугольник АВО – прямоугольный с прямым углом В. ОВ=6380. ОА=327+6380=6707. По теореме Пифагора катет АВ=2069км.

Задача индийского математика XII века Бхаскары.

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Решение: По теореме Пифагора . Высота тополя равна DC = DB + BC = 5 + 3 = 8м

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти нужно.»

Решение: По теореме Пифагора  стоп.

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»: Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Решение: x – глубина водоема, x+1 – длина камыша. По теореме Пифагора составим уравнение . Решив это уравнение, получаем значение x=12.

Ответ: глубина озера составляет 12 метров, длина камыша – 13 метров.

Такие задачи описаны в различных книгах, которые показывают нам историческую значимость теоремы Пифагора. В дополнение предлагаем решить некоторые задачи из области физики, которые с легкостью можно решить на уроке геометрии. На уроках по физике ученики сталкиваются с теоремой Пифагора чаще всего при изучении механических и оптических явлений.

Задача: Какую скорость относительно воды должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 2 м/с, катер двигался перпендикулярно к берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега?

Решение:

По теореме Пифагора получаем

Ответ: скорость лодки должна быть равной 4,03 м/с.

Задача: Мяч брошен под углом 450 к горизонту со скоростью 20 м/с с поверхности Земли. Найдите высоту подъема мяча через 2 секунды.

Решение:

Задача 3: Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Решение:

Длина троса является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора получаем . Устанавливают 4 троса. 4·13=52м.

Ответ: 50 метров троса не хватит, нужно еще 2 метра.

Стороны прямоугольного треугольника могут превратиться в линейный сегмент любой фигуры, и стать переменными в любом квадратном уравнении. Например, в задаче по физике можно в формулу расчёта кинетической энергии  объекта массой m при скорости v применяем теорему Пифагора и получаем следующее. Энергия при скорости в 500 км/ч равна сумме энергий при скорости в 400 км/ч и при скорости в 300 км/ч. Значит, одного и того же количества энергии хватает либо на запуск одного предмета на скорости 500 км/ч, либо на запуск двух других на меньшей скорости.

Решим физическую задачу, пользуясь только геометрическими соображениями.

Задача: Фонарь подвешен на двух равных по длине тросах. Вес фонаря равен 10 Н. Определите силу натяжения каждого из тросов.

В треугольнике АВС по теореме Пифагора найдем длину троса АВ:  Пусть вся сила натяжения троса F направлена по вектору ВА. Имеем пропорциональное соотношение:  Так как фонарик подвесили на два троса, то сила натяжения одного торса равна 50,2 Н.

Ответ: 50,2 Н.

Список литературы:

1. Ковтунович М. Г. - Домашний эксперимент по физике. 7-11 классы (Библиотека учителя физики) – 2007
2. Робертсон Б. Современная физика в прикладных науках. М., 1985.
3. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.: Аванта+, 2001, с. 381