Применение подобия треугольников при технических и измерительных вычислениях

Учение о подобии фигур можно найти еще в V-IV веках до н.э. в трудах Гиппократа Хиосского. Свойства подобных фигур широко использовались на практике жителями Древнего Египта. Фалес воткнул длинную палку вертикально в землю недалеко от пирамиды и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды».

У подобных треугольников соответственные углы, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника. Отношение сходственных сторон подобных треугольников есть коэффициент подобия k. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Рассмотрим задачи, которые можно решить, используя признаки подобия треугольников.

Задача на определение высоты предмета по длине его тени. Этот способ называется способ Фалеса Милетского, который научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени. Измерив, тень шеста и тень, например, высокого дерева, вычисляют искомую высоту дерева. Так как само дерево и его тень образуют подобный прямоугольный треугольник для другого прямоугольного треугольника, образованного шестом и его тенью: ABCabc. Высота дерева во столько раз больше высоты шеста, во сколько раз тень дерева длиннее тени шеста.

Задача на определение высоты предмета с помощью прямоугольного треугольника. Для начала нужно приготовить равнобедренный прямоугольный ΔАВ₁C₁. Для того, чтобы измерить высоту дерева BD нужно отойти на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ₁ вертикально расположенного треугольника. Нужно увидеть верхушку дерева В. У нас есть два подобных треугольника: ΔАС₁В₁и ΔАСВ. Тогда ВС=АС. К получившейся длине мы должны еще прибавить рост человека, то есть длина дерева BD=ВС+СD.

Задача на определение высоты предмета с помощью булавочного прибора. На дощечке любой формы намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, в них втыкают по булавке. Отойдя от измеряемого дерева, нужно держать прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можно пользоваться ниточкой с грузиком, привязанным к верхней булавке. Нужно найти такое место А, чтобы, глядя на булавки а и с, можно увидеть, что они покрывают верхушку С дерева. Измерив, расстояние аВ и прибавив возвышение аА глаза над землей - BD, получим искомую высоту дерева.

Задача на определение высоты предмета с помощью шеста. Этот способ измерения живописно описан в романе Жюль Верна «Таинственный остров». Необходимо воткнуть шест в землю. Место для шеста надо выбирать так, чтобы, лежа, было видна верхушка дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как ΔAbc – равнобедренный и прямоугольный, то ∠A=45°. Следовательно, АВ=ВС, т.е. искомой высоте дерева.

Задача на определение высоты предмета с помощью записной книжки и карандаша. Книжка должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а видеть вершину В дерева покрытой кончиком b карандаша. Треугольники abc и аВС - подобные. Высота ВС определяется из пропорции BC / bc=aC/ac. Расстояние bc, ac и аС измеряются непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить еще длину CD - высоту глаза над почвой.

Задача на определение высоты предмета с помощью зеркала. На некотором расстоянии измеряемого дерева в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят в точку D, где стоя наблюдатель видит в зеркальце верхушку А дерева. Тогда дерево АВ во столько раз выше роста наблюдателя ЕD, во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя. Способ основан на законе отражения света.

Список литературы:

1. Болятский В.Г. Элементарная геометрия - М., Просвещение, 1983г.
2. Ганьшин В.Н. «Простейшие измерения на местности» - М., Недра, 1983г.