Координатный метод решения задач по физике

Координатный метод решения задач используется во всех разделах механики: кинематике, динамике, статике.

Основной задачей кинематики является определение координаты материальной точки в любой момент времени. Функция, определяющая зависимость координаты от времени имеет вид: , где Х₀ - начальная координата материальной точки, V_0x – проекция вектора начальной скорости на ось ОХ, а_x - проекция вектора ускорения на ось ОХ. Проекцией вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля вектора на косинус угла, который этот вектор образует с положительным направлением оси.

Уравнение для проекции на ось Х вектора скорости как функции времени есть производная функции перемещения материальной точки: Умение составлять эти два уравнения и является одним из главных умений, необходимых для решения задач кинематики.

Рассмотрим задачу о движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Задача: С балкона высотой h бросили мяч со скоростью V₀ под углом α к горизонту. Определите время полета мяча до земли, дальность полёта, наибольшую высоту полёта мяча над землей и скорость мяча в момент его падения на землю.

Решение: Выберем систему отсчета так, чтобы начало отсчёта совмещался с началом координат ХОУ. В данной задаче начало координат выбираем на поверхности земли под балконом, направив оси Х и У соответственно горизонтально и вертикально. Отмечаем на оси У начальную координату мяча У₀=h, направляем вектор начальной скорости V₀ под углом α к горизонту и изображаем траекторию полёта мяча, которая, как известно, представляет собой параболу. Точка пересечения параболы с осью Х определит координату X_max, значение которой даст дальность полёта мяча. Наибольшая высота полёта мяча определится значением координаты У_max вершины параболы.

Составляющие уравнений движения Х=Х(t) и У=У(t) имеют вид:

Через время t_п (время полёта мяча) координаты мяча примут значения: Х=Х_max , у=0. Тогда: .

Уравнение движения в вертикальной проекции является квадратным. Решим ее и найдем время полёта мяча t_п: .

Чтобы определить дальность полета, подставим значение tп в соответствующее уравнение X=X_max:

Взяв производные функций зависимости перемещений по времени, получаем: V_x=V₀cosα; V_y = V₀ sinα -gt. Вдоль оси ОХ мяч летит равномерно с постоянной скоростью, не зависящей от времени. Движение мяча вдоль оси ОУ является равнопеременным (при движении до верхней точки полёта – равнозамедленным, а затем становится равноускоренным).

В момент времени t_в (время полёта мяча до верхней точки) проекция скорости V_y становится равной нулю, а координата Y принимает максимальное значение

Из первого уравнения определим время t_в: t_в=(V₀ sinα)/g. Подставляем значение времени полета t_в в уравнение Y=Y_max и получим максимальную высоту полёта мяча: 

Для определения скорости мяча в момент падения необходимо определить значения проекций V_x и V_y во время t_п: .

Скорость мяча в момент падения V определится по теореме Пифагора: .

Выводы:

1. Вектор скорости в любой точке направлен по касательной к траектории движения. Поэтому решение задач на движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз, или свободно падающее сводится к составлению только одного уравнения: .
2. Если тело брошено горизонтально (α=0°), то уравнения движения принимают вид: .
3. Если в задаче описывается движение двух тел, то нужно составлять уравнения движения для каждого тела. Если в какой-то момент времени одно тело догоняет другое или они сталкиваются, то это означает, что в этот момент времени они приобретают одинаковые координаты Х и У.

Координатный метод используется при решении задач о движении заряженных частиц в электрическом однородном поле.

Задача: Электрон влетает со скоростью 10⁷м/с в область однородного электрического поля напряжённости 200 В/м. Определите, на каком расстоянии от места входа в поле электрон выйдет из него, если он влетает под углом 45° к направлению поля.

Решение: На электрон в электрическом поле действует сила F=eE, где Е – вектор напряжённости электрического поля, е – заряд электрона. Так как заряд электрона отрицательный, то сила направлена против направления силовых линий электрического поля или против направления вектора напряжённости. Эта сила вызывает ускорение а=F/m=Ee/m, которое также направлено против электрического поля. Направив ось ОХ вертикально, а ось ОУ горизонтально, получаем ситуацию равносильную движению материальной точки, брошенной под углом к горизонту в поле тяготения Земли. Уравнения движения электрона будут иметь вид: .

Электрон покинет область поля в точке, имеющей координаты Х=Х_max и Y=0. Определим время пребывания t_п электрона в электрическом поле из уравнения: .

Тогда .

Подставив значения физических величин, данных в задаче (V_o,Е,α) и заимствованных из таблицы фундаментальных физических постоянных (е,m) получаем Х_max =2,8 м.

При решение задач динамики координатным методом используются понятия проекций вектора силы и ускорения на координатную ось. Основное уравнение динамики или второй закон Ньютона, записанный в форме проекций сил и ускорения на координатную ось ОХ, выглядит так: ΣF_ix=ma_x. В задачах динамики, как правило, требуется определить ускорение в движении тела или системы тел и пассивные силы.

Задача: Система из двух грузов массами m₁ и m₂ находится в лифте. движущемся вверх с ускорением а. Найти силу натяжения Т нити, если коэффициент трения между грузом m₁ и опорой равен μ.

Решение: Ускорения грузов относительно стола одинаковы по величине и равны а', так как они связаны нерастяжимой нитью. Ускорение груза m₂ направлено по вертикали и равно а₂=а'–а. Ускорение груза m₁ имеет две составляющие: вертикальную а_1в=а и горизонтальную а_1г = а'.

Спроектируем силы и ускорения на координатные оси и напишем второй закон Ньютона:

для первого груза массой m₁:

на ОХ: Т–F_тр=m₁a_1г ;

на ОУ: N-m₁g=m₁a_1в ; F_тр=μ N или Т–μN=m₁а'; N–m₁g=m₁a;

для второго груза массой m₂ на ось ОУ: m₂g–T=m₂a₂ или m₂g–T=m₂(а'–а). Решая полученную систему, получаем выражение для силы натяжения нити .

Также координатный метод широко используется при решении статических задач. Если тело находится в равновесии под действием сходящейся системы сил, то условие равновесия записывается в виде следующих соотношений: ΣF_ix=0 и ΣF_iy=0.

Задача: Заряженный алюминиевый шарик радиуса r подвешен на тонкой нерастяжимой нити и находится между двумя параллельными вертикальными пластинами. Расстояние между пластинами равен d. Пространство между пластинами заполнено керосином. При подаче на пластины напряжения U угол отклонения нити равен α. Каков заряд шарика?

Решение: В положении равновесия шарика нить образует угол α с вертикалью. Силовые линии электрического поля параллельны друг другу и направлены перпендикулярно поверхностям пластин от пластины с большим потенциалом (+) к пластине с меньшим потенциалом (-). Вектор напряжённости Е параллелен силовым линиям, его величина определяется соотношением: Е=U/εd, где ε – диэлектрическая проницаемость керосина.

На шарик действуют силы: mg - сила тяжести, F_A - архимедова сила, T - сила натяжения нити и F_E - сила, действующая на заряд шарика со стороны электрического поля.

Запишем условия равновесия шарика в виде проекций сил на координатные оси:

на ось ОХ: Тsinα–F_E=0;

на ось OY: Tcosα+F_A–mg=0.

Преобразуем эти уравнения: Тsinα=F_E; Tcosα=mg-F_A. Или tgα=F_E/(mg–F_A).

Выразим силу F_E: F_E=(mg–F_A)⋅tgα.

По законам электростатики эта сила определяется по формуле: F_E=Eq=Uq/εd, где q - заряд шарика. В результате получим уравнение, из которого можно найти заряд шарика: Uq/εd=(mg–F_A)⋅tg α.

Подставим в это уравнение выражения для силы тяжести и силы Архимеда, связав их с плотностями алюминия и керосина, получим уравнение Uq/εd=(4/3)πr³g(ρ_a-ρ_k)⋅tgα.

Из этой формулы найдём заряд шарика q=4πr³gεd(ρ_a-ρ_k)⋅tgα/3U.

Пусть в неподвижной системе отсчёта два тела А и В имеют скорости V_A и V_B. Скорость VBA тела В в системе отсчёта, связанной с телом А, определится как векторная сумма векторов V_B и (-V_A), а скорость тела А в этой системе становится нулевой. Это явление позволяет нам осуществить для некоторого тела переход в систему отсчета, связанную с одним из движущихся тел.

Задача: Колонна спортсменов длиной L бежит со скоростью v. Навстречу со скоростью u (u<v) бежит тренер. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью v. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернуться?

Решение: Определим систему отсчёта, связанную с тренером. В ней тренер неподвижен, а спортсмены имеют скорость равную (v+u). После встречи с тренером спортсмен имеет скорость (v–u). Время, за которое все спортсмены, поравнявшись с тренером, повернут назад равно t=L/(v+u). Длина новой колонны – это расстояние L₁, на которое удалится первый, поравнявшийся с тренером спортсмен за это время. .

Список литературы:

1. Кудрявцев Ю.Н. Методы решения физических задач. – Ульяновск, Ульяновский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования, 2010 г.
2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика-11. - М: Просвещение, 1993.
3. http://www.ctege.info/knigi-po-fizike