Большие и малые числа в математике и физике

На первых уроках по физике в 7 классе учащиеся знакомятся с физикой как с наукой, которая изучает физические явления и процессы. Физика для исследования физических процессов использует математический аппарат исчисления. Нужно подвести детей к тому, что им придется изучить много формул, описывающие физические процессы.

Педагогу необходимо раскрыть смысл записи больших и малых чисел в стандартном виде, более того со стандартным видом числа учащиеся знакомятся на уроках алгебры в 8 классе. Для постановки проблемного вопроса на уроке алгебры при изучении темы «стандартный вид числа» рекомендуется дать опережающее задание: задачу равномерного движения с большими величинами, решаемую с помощью формулы s=vt. Например:

Задача: Земля от Солнца находится на расстоянии 150 000 000 км. За сколько секунд свет от Солнца дойдет до Земли, если скорость света 300000

Решение: По определению скорость - расстояние, прошедшее движущимся телом за единицу времени. Значит, нам нужно, 150 000 000 километров поделить на 300 000 километров. В стандартной записи 150 000 000 = 15 ∙ 10 000 000 = 15 ∙ 10⁷, а 3 000 000 =3 ∙ 10⁶. Также учащиеся умеют выполнять действия со степенями: Итак, решение задачи:

Если учитель рассматривает задачу такого типа на первых вводных уроках по физике, то ему придется объяснить детям тему «Действия со степенями», которую они будут изучать на уроках математики в 8 классе.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складываются.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени вычитаются.
При возведении степени в степень показатели степени перемножаются.

В восьмом классе по математике при изучении темы «Стандартный вид числа» предлагаем ввести названия больших малых чисел и сразу после введения определения «стандартный вид числа»:

Стандартным видом числа называется число вида:

a · 10ⁿ, где 1 ≤ a ≤ 10 и n — натуральное число.

Количество нулей
миллион	6	10⁶
миллиард	9	10⁹
триллион	12	10¹²
квадраллион	15	10¹⁵
квинтиллион	18	10¹⁸
секстиллион	21	10²¹
октиллион	27	10²⁷
нониллион	30	10³⁰
дециллион	33	10³³

Чтобы ввести понятие малых чисел, предлагаем решить следующую задачу.

Задача. Во сколько раз Земля тяжелее атома водорода? Масса Земли приближенно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, а масса атома водорода 0,0000000000000000000017 г.

Решение: Вначале ученикам нужно объяснить, что . Хотя по учебнику Макарычева Ю.Н. эту формулу рассматривают в 9 классе. А на уроках физики дети с ней сталкиваются гораздо раньше, как только начинают решать серьезные задачи.

Итак, вводим формулу: .

Вспомним, что при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени вычитаются.

На уроках математики, при изучении темы «стандартное число» или «действия со степенями» необходимо приставки СИ заучить наизусть, их надо запомнить как таблицу умножения. Хотя, уже на вводных уроках по физике нужно эту таблицу дать детям. Ведь бывает так, что учитель физики и внимания не обращает на то, что дети не знают приставок СИ.

Десятичный множитель	Приставка		Обозначение
Десятичный множитель	русская	международная	русское	международное	Пример
10¹	дека	deca	да	da	дал — декалитр
10²	гекто	hecto	г	h	гПа — гектопаскаль
10³	кило	kilo	к	k	кН — килоньютон
10⁶	мега	Mega	М	M	МПа — мегапаскаль
10⁹	гига	Giga	Г	G	ГГц — гигагерц
10¹²	тера	Tera	Т	T	ТВ — теравольт
10¹⁵	пета	Peta	П	P	Пфлопс — петафлопс
10¹⁸	экса	Peta	Э	E	ЭБ — эксабайт
10²¹	зетта	Exa	З	Z	ЗэВ — зеттаэлектронвольт
10²⁴	йотта	Zetta	И	Y	ИБ — йоттабайт
Десятичный множитель	Приставка		Обозначение
Десятичный множитель	русская	международная	русское	международное	Пример
10⁻¹	деци	deci	д	d	дм — дециметр
10⁻²	санти	centi	с	c	см — сантиметр
10⁻³	милли	milli	м	m	мH — миллиньютон
10⁻⁶	микро	micro	мк	µ(u)	мкм — микрометр, микрон
10⁻⁹	нано	nano	н	n	нм — нанометр
10⁻¹²	пико	pico	п	p	пФ — пикофарад
10⁻¹⁵	фемто	fito	ф	f	фс — фемтосекунда
10⁻¹⁸	атто	atto	а	a	ас — аттосекунда
10⁻²¹	зепто	zepto	з	z	зКл — зептокулон
10⁻²⁴	йокто	yocto	и	y	иг — йоктограмм

Также стоит поговорить с учащимися о том, где можно встретить большие и маленькие величины. В форме поисково-исследовательской работы можно получить некоторые знания о космических телах, а также о телах микромира.

Существует таблица для пересчета приставок дольных и кратных десятичных единиц измерения физических величин. Эту таблицу рекомендуем рассмотреть с учениками на первых же уроках по физике.

Для закрепления можно решить следующую задачу.

Задача: Длина волны равна 4,5 милирометров. Выразите длину волны в метрах и нанометрах.

Решение:

4,5 милиметров = 4,5 ·10^-3 метров

0,45 милиметров = 4,5 ·10⁶ нанометров

Задача (ЕГЭ по математике): При температуре 0°C рельс имеет длину L₀=10м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 3мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L(t°) =L₀(1+αt°), где α=1,2·10-5(°C)-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

Решение: Зазор - это то расстояние, которое оставляют между рельсами, для того, чтобы они могли расширяться при нагревании. А нагревание происходит вследствие трения, возникающего при прохождении поезда по рельсам. Выразим зазор в метрах: 3мм =3·10-3м. L(t°)=L₀+зазор - длина рельса при удлинении после нагревания на t°. С другой стороны L(t°)=L₀(1+α·t°). Приравняем правые части равенств, подставим данные величины, раскроем скобки, получим:

Ответ: 25°С.

Список литературы:

Ловас Л. Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии.
Физика.ру: сайт для учащихся и преподавателей физики http://www.fizika.ru