Площадь треугольника

Определение

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведённую к нему.

$$S = \frac 1 2 a \cdot h,$$

где $a$ -сторона треугольника, $h$ - высота, проведённая к данной стороне.

Рассмотрим, каким образом получается данная формулировка. Возьмём для начала прямоугольный треугольник.

Если любой прямоугольник разрезать по диагонали, получится два равных прямоугольных треугольника.

$\triangle ABC = \triangle ABD$
Площадь прямоугольника находится по формуле $S_{ABCD}=AD \cdot CD$.
Треугольник $ACD$ в два раза меньше прямоугольника, а значит его площадь равна половине площади прямоугольника.
То есть $S_{ACD}=\frac{1}{2}AD \cdot CD$

Определение

Площадь прямоугольного треугольника находится как половина произведения двух сторон, образующих прямой угол.

Пример

Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если его стороны, образующие прямой угол, равны $8см$ и $5см$.

Пояснение

Обозначим стороны, образующие прямой угол как $a$ и $b$.
Тогда $a=8см, b=5см$.
Применяя формулу, получим $S=\frac{1}{2}a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 4 \cdot 5 =20(см^2)$

Если треугольник не прямоугольный , в нём необходимо провести отрезок, называемый высотой.

Определение

Высота треугольника – это отрезок, проведённый из вершины треугольника к противоположной стороне под прямым углом.

Отрезок $BH$ - это высота треугольника $ABC \:(\angle CHB = 90^{\circ})$.
Высота обозначается так: $h$.

Отсюда получаем формулу нахождения площади любого треугольника.
$S=\frac{1}{2}BH \cdot AC$ или $S=\frac{1}{2}ah$, где $h$ - высота, $a$ - сторона, к которой проведена высота.

Пример

Найти площадь треугольника $ABC$, у которого $AC=6см$. $BH=5см$ - высота.

Пояснение

Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника $S_{\triangle}=\frac{1}{2}a \cdot h$.
Подставляя значения, получим:
$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 5(см^2)$