Равносильные уравнения. Использование уравнений при решении задач

Определение

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

Пример

Уравнения \(3x=15\) и \(6x=30\) являются равносильными, так как имеют один и тот же корень \(x\).

Чтобы получить уравнение равносильное данному, можно прибавить к
обеим частям уравнения одно и тоже число или перенести слагаемое из одной
части уравнения в другую с противоположным знаком.

Пример

Возьмём уравнение \(3x-2=7\).
Прибавив к обеим частям уравнения число \(2\), получим.
\(3x=7+2\).
\(3x=9\)
Уравнения \(3x-2=7\) и \(3x=9\) – равносильные.

Чтобы получить уравнение равносильное данному можно разделить (умножить)
обе части уравнения на одно и тоже число, не равное нулю.

Пример

Возьмём уравнение \(5x=35\).
Разделим левую и правую части на число \(5\).
\(x=35:5\)
\(x=7\)
Уравнения \(5x=35\) и \(x=7\) – равносильные.

Чтобы получить уравнение равносильное данному можно выполнить
тождественные преобразования в левой и правой частях уравнения.

Пример

Возьмём уравнение \(2(x+4)=16\).
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.
\(2x+8=16\)
\(2x=8\)
Уравнения \(2(x+4)=16\) и \(2x=8\) – равносильные.

Уравнения часто используются при решении текстовых задач.
Как правило, меньшее из чисел обозначают с помощью буквы \(x\).
Буквенные выражения для остальных неизвестных чисел составляют, используя
связи между ними.
Используя условие задачи, составляют и решают уравнение.
После решения уравнения надо внимательно перечитать условие задачи, чтобы
ответить на все вопросы, поставленные в задаче.

Пример

Возьмём задачу.

В корзине было некоторое количество яблок. После того, как в нее положили еще
\(19\) яблок, их стало \(45\).
Сколько яблок было в корзине?

Составим уравнение к этой задаче.

Пусть в корзине было \(x\) яблок.
После того, как в нее положили \(19\) яблок, в корзине стало \(x+19\) яблок.
Так как яблок стало \(45\), то \(x+19=45\) .
Решая уравнение, получим \(x=45-19\) , \(x=26\) .
В корзине было \(26\) яблок.

Пример

Решим с помощью уравнения следующую задачу.
Одно из чисел на \(8\) меньше другого. Их сумма равна \(100\). Найдите эти числа.

Пусть \(x\) – меньшее число,
тогда другое число \(x+8\) .
Так как сумма двух чисел равна \(100\), то составим уравнение:
\(x+x+8=100\)
\(2x+8=100\)
\(2x=100-8\)
\(2x=92\)
\(x=46\) - первое число.
Найдем второе число \(46+8=54\)
Ответ: \(46\) и \(54\)