Многочлены. Стандартный вид многочлена
Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен называются членами многочлена. Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом, из трёх – трёхчленом.
Примеры многочленов:
\(2x+y\) – двучлен, состоит из одночленов \(2x\) и \(y\)
\(2ab^2-0,5bc\) – двучлен, состоит из одночленов \(2ab^2\) и \(-0,5bc\)
\(4,1xy+zy-5\) – трёхчлен, состоит из одночленов \(4,1xy;\: zy\) и \(-5\)
\(2a^2b^3c+0,1xy^2-45v-0,2\) – многочлен, состоит из одночленов \(2a^2b^3c;\: 0,1xy^2; \: -45v\)
Любой одночлен является частным случаем многочлена.
Определим, являются ли выражения \(3abc^2 +5,3ed-6-f^3\) и \(\frac{2}{x}*10\) многочленами.
Выражение \(3abc^2 +5,3ed-6-f^3\) состоит из суммы одночленов \(3abc^2;\: 5,3ed;\:-6;\:и\:-f^3\), значит это многочлен.
В выражении \(\frac{2}{x}*10\) число \(10\) является одночленом, однако \(\frac{2}{x}\) не одночлен, так как \(\frac{2}{x}=2\cdot x^{-1}\), степень переменной \(-1\) - это не натуральное число.
Значит, \(\frac{2}{x}*10\) – не многочлен.
Многочлен, который не содержит подобных слагаемых и все члены его являются одночленами стандартного вида называется многочленом стандартного вида.
Приведем многочлен \(-2xyx+0,5xy^2\cdot 4xy-0,3yz^2xz+0,25x^2\cdot 16y\) к стандартному виду (иначе говоря, упростим).
1) Приведем все члены многочлена к стандартному виду
\(-2xyx=-2\cdot x\cdot x\cdot y= -2x^2y\)
\(0,5xy^2\cdot 4xy = 0,5\cdot 4\cdot x\cdot x \cdot y^2 \cdot y = 2x^2y^3\)
\(-0,3yz^2xz=-0,3\cdot x\cdot y\cdot z^2\cdot z=-0,3xyz^3\)
\(0,25x^2\cdot 16y = 0,25\cdot16\cdot x^2 \cdot y = 4x^2y\)
2) Перепишем заданный многочлен с учетом преобразований
\(-2xyx+0,5xy^2\cdot 4xy - 0,3yz^2xz +0,25x^2 \cdot 16y=-2x^2y^3-0,3xyz^3+4x^2y\)
3) Определим и приведем подобные
\(\underline{-2x^2y}+2x^2y^3-0,3xyz^3+\underline{4x^2y} - (-2x^2y +4x^2y) + 2x^2y^3-0,3xyz^3=2x^2y+2x^2y^3-0,3xyz^3\)
Запись \(2x^2y + 2x^2y^3-0,3xyz^3\) – стандартный вид многочлена \(-2xyx+0,5xy^2\cdot 4xy - 0,3yz^2xz+0,25x^2\cdot 16y\).
Чтобы определить степень многочлена, нужно определить степень каждого из входящих в него одночленов.
Наибольшая из степеней одночленов будет являться степенью данного многочлена.
Определим степень многочлена \(2x^2y + 2x^2y^3-0,3xyz^3\).
1) Определим, из каких одночленов состоит данный многочлен
\(2x^2y\)
\(2x^2y^3\)
\(-0,3xyz^3\)
2) Определим степень каждого одночлена, для этого сложим показатели степеней входящих в него переменных
\(2x^2y:\; 2+1=3\) одночлен \(3\) степени
\(2x^2y^3:\; 2+3=5\) одночлен \(5\) степени
\(-0,3xyz^3:1+1+3=5\) одночлен \(5\) степени
Сделаем вывод
наибольшая из получившихся степеней \(–5\), значит многочлен является многочленом \(5\) степени
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
