Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными

Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными:

- графический метод
- метод подстановки
- метод сложения

Способрешения системы уравнений графическим методом:

на координатной плоскости построить графики первого и второго уравнений системы
по расположению построенных прямых сделать вывод о количестве решений системы

Взаимное расположение прямых. Если прямые:	Решение системы:
пересекаются в одной точке \((x,y)\)	пара чисел \((x,y)\)
пара чисел	решений нет
совпадают	бесконечно много решений

Пример

Решим систему \[\left\{ \begin{matrix} 5x-6y=9 \\ 4x+3y-15=0 \\ \end{matrix} \right.\]

1) на координатной плоскости построим графики первого и второго уравнений системы.
Это можно сделать с помощью таблицы соответствия.
Для каждой прямой достаточно двух точек.

2) по расположению построенных прямых сделаем вывод о количестве решений системы

система имеет одно решение–координаты точки пересечения прямых

3) запишем ответ

Ответ:\((3;1)\)

из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую
полученное выражение подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной
решить получившееся уравнение с одной переменной
подставить в любое уравнение значение найденной переменной и найти
значение другой переменной
записать ответ

Пример

Решим систему уравнений \[\left\{ \begin{matrix} 2x-y=8 \\ 3x+2y=5 \\ \end{matrix} \right.\] методом подстановки.

Запишем систему и определим нумерацию уравнений

\[\left\{ \begin{matrix} 2x-y=8 \;\;\;\;\;\;\,(1)\\ 3x+2y=5 \;\;\;\;\;(2)\\ \end{matrix} \right.\]

1) из любого уравнения системы выразим одну переменную через другую (в данном случае из первого уравнения);

Выразим \(y\)

\((1): \;\;\;\;\;\left\{ \begin{matrix} 2x-y=8 \\ 2x-8=y \\ y=2x-8 \\ \end{matrix} \right.\)

2) полученное выражение подставим в другое уравнение системы вместо этой переменной;

В выражение \(3x+2y=5\) вместо \(y\) подставим его значение \(y=2x-8\)

\((2): \;\;\;\;\;\;3x+2(2x-8)=5\)

3) решим получившееся уравнение с одной переменной;

\(3x+2(2x-8)=5\)
\(3x+4x-16=5\)
\(7x=5+16\)
\(7x=21\)
\(x=3\)

подставим в любое уравнение (например, в первое) значениеx и найдём значение \(y\)

\(2{\cdot}3-y=8\)
\(6-y=8\)
\(-y=8-6\)
\(-y=2\)
\(y=-2\)

Ответ: \((3;-2)\) .

преобразовать одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из
переменных стали противоположными
сложить почленно левые и правые части полученных уравнений
решить полученное уравнение
подставить в любое уравнение значение найденной переменной и найти
значение другой переменной
записать ответ

Пример

Решим систему \[\left\{ \begin{matrix} x-3y=5 \\ 4x+9y=41 \\ \end{matrix} \right.\] методом подстановки.

1) преобразуем одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными
Заметим, что коэффициенты при у равны \(-3\) (в первом уравнении) и \(9\) (во втором уравнении).
Умножив \(-3\) на \(3\), получим \(-9\), т.е. число противоположное \(9\).

\[\left\{ \begin{matrix} x-3y=5 \;\;\;\;|{\cdot}3 \\ 4x+9y=41 \;\;\;\;\\ \end{matrix} \right.\]
\[\left\{ \begin{matrix} 3{\cdot}x-3{\cdot}3y=3{\cdot}5 \\ 4x-9y=41 \;\;\;\;\;\\ \end{matrix} \right.\]
\[\left\{ \begin{matrix} 3x-9y=15 \\ 4x+9y=41 \\ \end{matrix} \right.\]

2) сложим почленно левые и правые части полученных уравнений;

\[\require{cancel} +\;\underline{\left\{ \begin{matrix} 3x-\cancel{9y}=15 \\ 4x+\cancel{9y}=41 \\ \end{matrix} \right.} \\ \;\;\;\;\;\;\;7x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=56\]

3) решим полученное уравнение;

\(7x=56\)
\(x=8\)

4) подставим в одно из уравнений значение \(x\) и найдём \(y\)

\(8-3y=5\)
\(8-5=3y\)
\(3y=3\)
\(y=1\)

5) запишем ответ.

Ответ: \((8;1)\).