Функция y=kx^2. Её график и свойства

Построим график функции \(y = x^2\)

Посмотрим, как влияет коэффициент \(k\) на вид параболы.

Пример

Построим график функции \(y=2x^2\).

Составим таблицу соответственных значений.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(8\)	\(2\)	\(0\)	\(2\)	\(8\)

По полученным координатам построим график .

Он более узкий, чем график функции \(y = x^2\).

Пример

Построим график функции \(y = \frac 1 2 x^2\).

Составим таблицу соответственных значений.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(2\)	\(0,5\)	\(0\)	\(0,5\)	\(2\)

По полученным координатам построим график .

Он более широкий, чем график функции \(y = x^2\).

Можно сделать следующий вывод – чем больше коэффициент \(k\), тем больше график функции «сжимается» и вытягивается вдоль оси \(Oy\).

Определение

Графиком функции \(y=kx^2 (k>0)\) является парабола с вершиной в начале координат, ветви параболы направлены вверх.

Свойства функции \(y=kx^2 \;\;(k>0)\):

Область определения функции – вся числовая прямая : \((-\infty; +\infty)\)
Область значений \([0; +\infty)\)
\(y = 0\), при \(x = 0;\; y>0\), при \(x \ne 0\) – все точки графика функции кроме точки \((0;0)\) располагаются выше оси \(Ox\).
\(y=kx^2\) - непрерывная функция.
\(y_{наим}=0\) (при \(x = 0);\; y_{наиб}\) – не существует.
Функция \(y=kx^2\) возрастает при \(x \ge 0\), и убывает при \(x \le 0\).
Функция \(y=kx^2 (k>0)\) ограничена снизу и не ограничена сверху.

Функция \(y=kx^2 (k>0)\) выпукла вниз.

Пример

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \(y=2x^2\) на отрезке \([-2;0]\).

\(1\)) Построим график функции \(y=x^2\) и выделим ту её часть, которая соответствует значениям переменной на отрезке \([-2;0]\)
\(2\)) Для выделенной части графика находим \(y_{наим}=0\) (при \(x=0\)) и \(y_{наиб}=8\) (при \(x= - 2\)).

Построим теперь график функции \(y=-2x^2\).

составим таблицу соответственных значений

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-8\)	\(-2\)	\(0\)	\(-2\)	\(-8\)

По полученным координатам построим график.

Важно

Если коэффиуиент \(k\) отрицательный, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства функции \(y=kx^2 (k < 0)\):

Область определения функции – вся числовая прямая : \((-\infty; +\infty)\)
Область значений - \((-\infty; 0]\)
\(y = 0\), при \(x = 0\); \(y < 0\), при \(x \ne 0\)– все точки графика функции кроме точки \((0;0)\) располагаются ниже оси \(Ox\).
\(y=kx^2 (k < 0)\) - непрерывная функция.
\(y_{наиб} =0\) (при \(x = 0\)); \(y_{наим}\) – не существует.
Функция \(y=kx^2\) возрастает при \(x \leqslant 0\), и убывает при \(x \geqslant 0\).
Функция \(y=kx^2 (k < 0)\) ограничена сверху и не ограничена снизу.

Функция \(y=kx^2 (k < 0)\) выпукла вверх.

Пример

Решим уравнение \(-x^2= -x – 2\).

\(1\)) Рассмотрим две функции \(y = -x^2\) и \(y = -x – 2\)
\(2\)) Построим графики функций в одной системе координат
\(3\)) Найдем координаты точек пересечения графиков
\(4\)) Определим абсциссы точек пересечения графиков: \(x_1 = -1, x_2 = 2\)