Степенная функция с натуральным чётным показателем

Степенной функцией с натуральным показателем называется функция \(y=x^n\), где \(n\) - натуральное число.

Показатель степени может быть четным или нечетным числом.

Например, \(y=x^2\), \(y=x^6\), \(y=(x-3)^4\) функции с четным натуральным показателем;
\(y=(x-3)^5\) , \(y=x^7\) – функции с нечетным натуральным показателем.

Определение

Степенной функцией с натуральным четным показателем называется функция \(y=x^n\), где \(n\) - натуральное четное число.

Рассмотрим свойства функции \(y=x^n\), \(n\) - натуральное, четное число.

Область определения – множество всех чисел: \(D(f)=(-\infty;\:+\infty)\).
Функция четная.
Функция убывает на промежутке \((-\infty;\:0)\) и возрастает на промежутке \((0;+\infty)\)
Функция ограничена снизу осью \(Ox\) и не ограничена сверху;
Наименьшее значение функции \(y_{наим}=0\), наибольшего значения \(y_{наиб}\) не существует;
Функция непрерывна;
Область значений функции \(E(f)=[0;+\infty)\)
Графиком функции является парабола.

Может встречаться запись «дана функция \(y=f(x)\), где \(f(x)=\ldots»\).

Эта фраза равнозначна записи «дана функция \(y= \ldots\)»

Таким образом, \(y=f(x)\), где \(f(x)=x^4\) следует понимать как \(y=x^4\)

Пример

Построим график функции \(y=(x-2)^4-1\).

Для того, чтобы построить график функции \(y=(x-2)^4-1\), нужно сместить график функции \(f(x)=x^4\) на \(2\) единицы вправо вдоль оси \(Ox\) и на \(1\) единицу вниз вдоль оси \(Oy\).

1. Построим график функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=x^4\).
Функция четная, график будет расположен симметрично относительно оси ординат, поэтому целесообразно взять противоположные значения \(x\)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y=x^4\)	\((-2)^4=16\)	\((-1)^4=1\)	\(0^4=0\)	\(1^4=1\)	\(2^4=16\)

2. Сместим полученный график на \(2\) единицы вправо вдоль оси \(Ox\) и на \(1\) единицу вниз вдоль оси \(Oy\).
После перемещения получим график функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\)

Пример

С помощью графика функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\), найдем \(f(2)\).

Построим график функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\) .

Для того, чтобы найти \(f(2)\) проведем прямую \(x=2\) и найдем точку ее
пересечения с графиком функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\).

По графику определяем \(y=-1\).

Пример

С помощью графика функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\), найдем корень уравнения \(f(x)=-2\).

Построим график функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\).

Для того, чтобы определить корень уравнения \(f(x)=-2\), проведем прямую \(y=-2\) и найдем точки пересечения с графиком функции:

Прямая \(y=-2\) и график функции не имеют общих точек, значит уравнение \(f(x)=-2\) не имеет корней.

Пример

С помощью графика функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\), найдем решение неравенства \(f(x)>0\).

Построим график функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\).

Для решения неравенства \(f(x)>0\) отметим часть графика, расположенную выше оси \(Ox\):

Решением неравенства будет множество точек, принадлежащих графику и
Решением неравенства будет множество точек, принадлежащих графику и
множество точек, принадлежащих промежутку \((-\infty;1]\cup[3;+\infty)\)

Пример

С помощью графика функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\), найдем наибольшее и
наименьшее значение функции на отрезке \((-\infty;2]\)

Построим график функции \(y=f(x)\), где \(f(x)=(x-2)^4-1\).

Отметим часть графика, расположенную на промежутке \((-\infty;2]\).

Из графика видно, что \(y_{наим}=0\), \(y_{наиб}\) не существует.