Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называют последовательность,
отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго
равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \(q\).
Выражения
\(2,4,8,16,32,64, \ldots\)
\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32}, \ldots\)
\(3,9,27,81,243, \ldots\)
являются геометрическими прогрессиями, так как в них каждый
член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному
одно и тоже число.
В виде формулы данное определение выглядит так
\[b_{n+1}=b_n{\cdot}q,\] где \(b_n \ne 0\).
Число \(q\) называют знаменателем геометрической прогрессии.
Если все члены геометрической прогрессии положительны, то
каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен
среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.
То есть \[b_n=\sqrt{b_{n-1}{\cdot}b_{n+1}}\]
Запишем первые пять членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1=12\), \(q=2\)
| \(q\) | Формула \(b_{n+1}=b_n{\cdot}q\) | \(b_1 \\ n=1\) | \(b_2 \\ n=2\) | \(b_3 \\ n=3\) | \(b_4 \\ n=4\) | \(b_5 \\ n=5\) |
| \(2\) | \(b_{n+1}=b_n{\cdot}2 \\ b_{n+1}=2b_n\) | \(b_1=12\) | \(b_2=2b_1=2{\cdot}12=24\) | \(b_3=2b_2=2{\cdot}24=48\) | \(b_4=2b_3=2{\cdot}48=96\) | \(b_5=2b_4=2{\cdot}96=192\) |
Получили первые пять членов последовательности:
\(12,24,48,96,192\)
Найдём пятый член геометрической прогрессии, если \(b_1=4, q=-2\).
По формуле для \(b_5\) имеем \(b_5=b_1{\cdot}q^4\) .
Подставив значения, получим \(b_5=4{\cdot}(-2)^4=4{\cdot}16=64\) .
Если попробовать найти \(2,3,4\) элементы прогрессии, можно
заметить одну особенность.
\(b_2=4{\cdot}(-2)^1=4{\cdot}(-2)=-8\)
\(b_3=4{\cdot}(-2)^2=4{\cdot}4=16\)
\(b_3=4{\cdot}(-2)^3=4{\cdot}(-8)=-32\)
Получили прогрессию \(4,-8,16,-32,64, \ldots\)
Знаки членов этой прогрессии чередуются.
Если \((b_n)\) геометрическая прогрессия, то для любoго члена
геометрической прогрессии справедливо равенство
\(b_n=b_1{\cdot}q^{n-1}\).
Это равенство называется формулой n-го члена геометрической прогрессии.
Найдите \(b_6\), если \((b_n)\) – геометрическая прогрессия и \(b_1=2\), \(q=3\).
Применим формулу \(b_n=b_1{\cdot}q^{n-1}\).
Для \(b_6\) имеем: \(b_n=b_6, n=6\).
Тогда \(b_6=b_1{\cdot}q^{n-1}=b_1{\cdot}q^{6-1}=b_1{\cdot}q^5\)
Подставим в формулу значения \(b_1=2\) и \(q=3\).
\(b_6=2{\cdot}3^5=2{\cdot}243=486\)
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
