Числовая окружность

Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка \(A\) – правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу \(t\) точку окружности по следующему правилу:

Если \(t > 0\), то, двигаясь из точки \(A\) в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь \(AM\) длиной \(t\).
Точка \(M\) и будет искомой точкой \(M(t)\).
Если \(t < 0\), то, двигаясь из точки \(A\) в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь \(AM\) длиной \(|t|\).
Точка \(M\) и будет искомой точкой \(M(t)\).
Числу \(t = 0\) поставим в соответствие точку \(A;\; A=A(0)\).

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.

Условимся называть
дугу \(AB\) – первой четвертью,
дугу \(BC\) – второй четвертью,
дугу \(CD\) – третьей четвертью,
дугу \(DA\) – четвертой четвертью.
Длина каждой четверти составляет \(\frac 1 4\) часть всей окружности и равна \(\frac 1 4 \cdot 2 \pi =\frac{\pi}2\).

Пример

Найти на числовой окружности длины дуг \(AM\) и \(AP\), если известно, что \(M\) – середина дуги \(AB\), а дуга \(AP\) составляет \(\frac 3 4\) дуги \(AC\).

Пояснение

Так как вся длина дуги \(AB\) равна \(\frac{\pi}2\), а \(M\) – середина \(AB\), то длина дуги \(AM\) равна \(\frac{\pi}2:2=\frac{\pi}4\).
Длина дуги \(AP\) составляет \(\frac 3 4\) дуги \(AC\).
Дуга \(AC\) – половина окружности и равна \(\pi\), значит, дуга \(AP\) равна \(\frac 3 4 \cdot \pi=\frac{3\pi}4\).

Говорят, что числу \(x\) соответствует точка \(M\) на окружности.
Пишут: \(M(x)\).

Пример

Найти на числовой окружности точки, которые соответствуют заданным числам: \(\frac{\pi}{2};\:\pi;\:\frac{3\pi}{2};\:2\pi;\:\frac{\pi}{6};\:\frac{3\pi}{4};\:-\frac{\pi}{4};\:-\frac{11\pi}{4};\:\)

Пояснение

Так как первые \(6\) из заданных \(8\) чисел положительны, то для нахождения соответствующих им точек окружности необходимо пройти от точки \(A\) путь в положительном направлении (против часовой стрелки), равный заданному числу.
Помним при этом, что длинна каждой четверти единичной окружности равна \(\frac{\pi}2\).

Имеем: \(AB=\frac{\pi}2\), значит, числу \(\frac{\pi}2\) соответствует точка \(B\), т.е. \(B(\frac{\pi}2)\).
Далее, \(AC =\pi\), значит числу соответствует точка \((C;\; C(\pi)\).
\(AD=\frac{3\pi}2\), значит, точка \(D\) соответствует числу \(\frac{3\pi}2;\; D(\frac{3\pi}2)\).
Числу \(2\pi\) соответствует точка \(A\), т.к., пройдя по окружности путь длиной \(2\pi\), мы снова попадаем в начальную точку \(A\).
Итак, \(A=A(2\pi)\).
Число \(\frac{\pi}6\) – это \(\frac 1 3\) часть одной четверти, т.е. \(\frac{\pi}2 \cdot \frac 1 3\), значит, числу \(\frac{\pi}6\) соответствует точка \(K;\; K=K(\frac{\pi}6)\).
Число \(\frac{3\pi}4=\frac{\pi}2+\frac{\pi}4\).
Т.е. это одна четверть и еще пол четверти. Значит, это точка \(L=L(\frac{3\pi}4)\).
Для того, чтобы найти точку, соответствующую отрицательному числу \(-\frac{\pi}4\), нужно пройти от точки \(A\) в отрицательном направлении (по часовой стрелке) расстояние, равное \(\frac{\pi}4\).
Это будет точка \(S=S(-\frac{\pi}4)\).
Что такое число \(-\frac{11\pi}4\)?
\(-\frac{11\pi}4=-2\pi-\frac{3\pi}4\).
Значит, чтобы попасть в эту точку, нужно обойти всю окружность от точки \(A\) в отрицательном направлении и еще \(\frac{3\pi}4\).
Тогда это будет точка \(N=N(-\frac{11\pi}4)\).

Если точка \(M\) числовой окружности соответствует числу \(t\), то она соответствует и числу вида \(t+2\pi k\), где \(k\) – любое целое число \((k \in \mathbb{Z})\).
Действительно, \(2\pi\) – длина числовой (единичной) окружности, а целое число \(|k|\) можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или иную сторону.
Итак: \(M(t)=M(t+2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}\).

Пример

Найти на числовой окружности точки \(\frac{21\pi}{4}\) и \(-\frac{19\pi}{3}\).

Пояснение

\(\frac{21\pi}{4}=2\cdot 2\pi + \frac{5\pi}{4}\).
Значит, это равносильно двум полным оборотам в положительном направлении (по часовой стрелке) и еще дополнительному обороту на \(\frac{5\pi}{4}\), что соответствует точке \(E\).
Таким образом, \(E=E(\frac{21\pi}{4})\).
\(-\frac{19\pi}{3}=-3\cdot 2\pi \frac{\pi}{3}\).
Значит, это равносильно трём полным оборотам в отрицательном направлении (против часовой стрелки) и еще дополнительному обороту на \(\frac{\pi}{3}\), в отрицательном направлении.
Это соответствует точке \(N\).
Таким образом, \(N=N(-\frac{19\pi}{3})\).

На окружности для того, чтобы охарактеризовать все точки некоторой дуги, так же как и на прямой, используются двойные неравенства.
Но, в отличие от отрезка, на окружности точка \(M(t)\) совпадает с точкой \(M(t+2\pi k)\), то есть каждая точка имеет несколько «числовых имен».

Пример

На рисунке дуге \(AB\) соответствуют точки \(t\), удовлетворяющие неравенству:
\(0 \le t \le \frac{\pi}2 \;\;\;\;\;\;\;(1)\)
так как \(A=A(0),\; B=B(\frac{\pi}2)\).
Но так как \(A(0)=A(0+2\pi k)\) и \(B(\frac{\pi}2)=B(\frac{\pi}2+ 2 \pi k)\), то все точки дуги \(AB\) можно охарактеризовать неравенством:
\(0+2 \pi k \le t \le \frac{\pi}2+ 2\pi k,\; k\in \mathbb{Z}\;\;\;\;\;\;(2)\)

Запись \((1)\) – ядро аналитической записи дуги \(AB\).
Запись \((2)\) – аналитическая запись дуги \(AB\).