Преобразование выражения Asinx+Bcosx к виду Csin(x+t)

Рассмотрим следующее преобразование.

\(A\sin x+B\cos x=C\sin(x+t)\), где \(C=\sqrt{A^2+B^2}\), \[\left\{ \begin{matrix} \sin t=\frac{B}{C} \\ \cos t=\frac{A}{C} \\ \end{matrix} \right.\]

Значение угла \(t\) можно найти как \(t=arcsin\;\frac{B}{C}\) или \(t=arccos\;\frac{A}{C}\) с учетом знаков \(\sin t\) и \(\cos t\) и формул приведения.

Алгоритм преобразования выражения \(A\sin x+B\cos x\) к виду \(C\sin(x+t)\)

1. Определение для заданного выражения \(A\sin x+B\cos x\) конкретных значений \(A,B,x\) .
2. Нахождение значения \(C=\sqrt{A^2+B^2}\).
3. Преобразование исходного выражения к виду: \(C\cdot(\frac{A}{C}\sin x+\frac{B}{C}\cos x)\) .
4. Полагаем \[\left\{ \begin{matrix} \sin t=\frac{B}{C} \\ \cos t=\frac{A}{C} \\ \end{matrix} \right.\] и находим значение угла \(t\) относительно четвертей.
5. Определяем значение угла \(t\) как \(t=arccos\;\frac{A}{C}\) или \(t=arcsin\;\frac{B}{C}\) с учетом формул приведения.
6. Записываем конечный результат согласно формуле \(A\sin x+B\cos x=C\sin(x+t)\) .

Формула \(A\sin x+B\cos x=C\sin(x+t)\) получена на основе синуса суммы аргументов: \(\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\) , умножения и деления исходного выражения \(A\sin x+B\cos x\) на \(C=\sqrt{A^2+B^2}\) и представления \(\frac{A}{C}=\cos t\) и \(\frac{B}{C}=\sin t\) .