Логарифмическая функция, ее свойства и график
Функцию вида \(y=\log_ax\), где \(a > 0, a \ne 1\) называют логарифмической функцией.
График функции \(y=\log_ax\) называется логарифмической кривой.
Рассмотрим график и свойства логарифмической функции для \(a>1\) и \(0< a< 1\).
Построим график функции \(y=\log_2x\).
Составим таблицу соответствующих значений переменных.
В качестве значений переменной \(x\) удобно брать степени числа \(2\).
| \(x\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
| \(y\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
Свойства функции \(y=\log_ax, (a > 1)\):
- Область определения функции – только положительные числа: \(D(y)=(0; +\infty)\)
- Множество значений функции – все действительные числа \(\mathbb{R}\): \(E(y)=(-\infty;+\infty)\)
- не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
- график функции пересекается с осью абсцисс в точке \((1; 0)\) и не пересекается с осью ординат
- значение аргумента \(x=1\) является нулем функции
- принимает отрицательные значения на интервале \((0;1)\) и принимает положительные значения на интервале \((1;+\infty)\)
- не является ни четной, ни нечетной
- возрастает на всей области определения (на \(D(f)\))
- не является периодической
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \(y=\lg{x}, x \in [1;1000]\).
Функция \(y=\lg{x}\) возрастающая, так как основание десятичного логарифма \(\lg{x}=\log_{10}x\) больше единицы.
Значит, функция \(y=\lg(x)\)достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка \([1;1000]\).
Подставим концы отрезка в функцию \(y=\lg{x}\):
\(y_{наим}=\lg{1}=0\)
\(y_{наиб}=\lg{1000}=3\)
Получили \(y_{наим}=0,\:y_{наиб}=3\)
Решите уравнение: \(\log_2x=0\).
Решением уравнения \(log_2x=0\) является нуль функции \(log_2x\).
Согласно свойству \(5\) нулем функции является точка \(x=1\).
Ответ: \(x=1\).
Построим график функции \(y=\log_{\frac{1}{2}}x\).
Составим таблицу соответствующих значений переменных.
В качестве значений переменной \(x\) удобно брать степени числа \(\frac{1}{2}\).
| \(x\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
| \(y\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) |
Свойства функции \(y=\log_ax, (0 < a < 1)\):
- Область определения функции – только положительные числа: \(D(y)=(0; +\infty)\)
- Множество значений функции – все действительные числа \(\mathbb{R}\): \(E(y)=(-\infty;+\infty)\)
- не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
- график функции пересекается с осью абсцисс в точке \((1; 0)\) и не пересекается с осью ординат
- значение аргумента \(x=1\) является нулем функции
- принимает отрицательные значения на интервале \((1;+\infty)\) и принимает положительные значения на интервале \((0;1)\)
- не является ни четной, ни нечетной
- убывает на всей области определения (на \(D(f)\))
- не является периодической
Рассмотрим показательную функцию \(y=a^x, (a>0, a \ne 1\).
Если выразить \(x\) через \(y\) из уравнения \(y=a^x\), получим: \(x=\log_ay\); поменяв \(x\) и \(y\) местами, получим: \(y=\log_ax\).
Таким образом, функция \(y=\log_ax\) является обратной для функции \(y=a^x\), а поэтому справедливо следующее утверждение.
График функции \(y=\log_ax, (a > 0, a \ne 1)\) симметричен графику показательной функции \(y=a^x, (a > 0, a \ne 1)\) относительно прямой \(y=x\).
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \(y=\log_{0,1}x, x \in [1;1000]\).
Функция \(y=\log_{0,1}x\) убывающая, так как основание \(a=0,1\) меньше единицы.
Значит, функция \(y=\log_{0,1}x\) достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка \([1,1000]\), при этом наибольшее значение достигается на левом конце отрезка: \(x=1\), а наименьшее значение достигается на правом конце отрезка: \(x=1000\).
Подставим концы отрезка в функцию \(y=\lg{x}\):
\(y_{наим}=\log_{0,1}1000=-3\)
\(y_{наиб}=\log_{0,1}1=0\)
Ответ: \(y_{наим}=-3, \: y_{наиб}=0\).
Решите неравенство \(\log_{\frac{2}{5}}x > 0\).
График функции \(\log_{\frac{2}{5}}x\) расположен выше оси \(Ox\) при \(0 < x< 1\) (согласно свойству \(5\) логарифмической функции с основанием \(0 < a< 1\)).
Значит, решение неравенства \(\log_{\frac{2}{5}}x> 0\) имеет вид \(0< x < 1\) или \(x \in (0;1)\).
Ответ: \(x \in (0;1)\)
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
