Функция y= a^x, её свойства и график

Определение

Функцию вида \(y=a^x\), где \(a > 0, a \ne 1\) называют показательной функцией.

Например, \(y=2^x\) - показательная функция, т.к. показатель степени – переменная \(x\).

График показательной функции рассматривается в двух случаях – когда \(a > 1\) и когда \(0 < a < 1\).

Построим график показательной функции \(y=a^x\) для \(a> 1\).

Для построения графика, надо составить таблицу значений функции.
Для примера возьмем функцию \(y=2^x\)

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(-1\)	\(2\)	\(-2\)	\(3\)	\(-3\)
\(y\)	\(2^0=1\)	\(2^1=2\)	\(2^{-1}=2\)	\(2^2=4\)	\(2^{-2}=\frac 1 4\)	\(2^3=8\)	\(2^{-3}=\frac 1 8\)

По полученным данным построим график.

Свойства функции \(y=a^x, (a > 1)\):

Область определения функции – все действительные числа \(\mathbb{R}:\;\; D(y)=(-\infty;\; +\infty)\)
Множество значений функции – только положительные числа: \(E(y)=(0; \;+\infty)\)
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
график функции пересекается с осью ординат в точке \((0;\; 1)\) и не пересекается с осью абсцисс
функция не имеет нулей
принимает положительные значения на всей области определения; все точки ее графика лежат выше оси \(Ox\) в \(I\) и \(II\) координатных четвертях
не является ни четной, ни нечетной
возрастает на всей области определения
не является периодической

Пример

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции \(y=9^x,\; x\in [\frac 1 2;\;3]\).

Функция \(y=9^x\) возрастающая, так как основание \(a=9\) больше единицы. Значит на данном отрезке, функция \(y=9^x\) имеет наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка \([\frac 1 2;\;3]\).

Подставим концы отрезка в функцию \(y=9^x\):
\(y_{наим}=9^{\frac 1 2}=\sqrt{9}=3 \\ y_{наиб}=9^3=729\).

Ответ: \(y_{наим}=9^{\frac 1 2}=\sqrt{9}=3, \; y_{наиб}=9^3=729\).

Встречаются задачи, когда уравнение функции неизвестно.

Пример

Зададим уравнение функции \(y=a^x\) при условии, что ее график проходит через точку \(A(2;\;9)\).

Так как график функции \(y=a^x\) проходит через точку \(A(2;\;9)\), то ее координаты удовлетворяют уравнению функции: \(\y=a^x).

Подставляем координаты точки \(A\) в уравнение функции: первую координату (число \(2\_) вместо \(x\), а вторую координату (число \(9\)) – вместо \(y\).
Получим уравнение относительно \(a: \: 9=a^2\).
Решая это уравнение, получим, что \(a= \pm 3\). Но, так как функция \(y=a^x\) определена только для положительных \(a\), то \(a=3\).
Значит, функция задается уравнением: \(y=3^x\).

Построим график показательной функции \(y=a^x\) для \(0 < a < 1\).

Для построения графика, надо составить таблицу значений функции. Для примера возьмем функцию \(y=\left(\frac 1 2\right)^x\).

При \(x=0:\; \left(\frac 1 2\right)^0=1\)
При \(x=1:\; \left(\frac 1 2\right)^1=\frac 1 2\)

Аналогично находим значения \(y\) для всех точек.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(-1\)	\(2\)	\(-2\)	\(3\)	\(-3\)
\(y\)	\(1\)	\(\frac 1 2\)	\(2\)	\(\frac 1 4\)	\(4\)	\(\frac 1 8\)	\(8\)

По полученным данным построим график.

Свойства функции \(y=a^x, (0 < a < 1)\):

Область определения функции – все действительные числа \(\mathbb{R}:\;\; D(y)=(-\infty;\; +\infty)\)
Множество значений функции – только положительные числа: \(E(y)=(0; \;+\infty)\)
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
график функции пересекается с осью ординат в точке \((0;\; 1)\) и не пересекается с осью абсцисс
функция не имеет нулей
принимает положительные значения на всей области определения; все точки ее графика лежат выше оси \(Ox\) в \(I\) и \(II\) координатных четвертях
не является ни четной, ни нечетной
убывает на всей области определения
не является периодической