Египетский треугольник

Часто при решении задач с прямоугольным треугольником значения длин его элементов оказываются рациональными (дробными) числами, или даже иррациональными.

Однако существует вид треугольников, у которых все элементы всегда принимают целые значения.

Определение

Геронов треугольник — треугольник, стороны и площадь которого являются целыми числами.

Среди Героновых треугольников выделяют особый вид прямоугольных треугольников, которые называют «египетские треугольники».

Определение

Египетский треугольник – прямоугольный треугольник с отношением сторон \(3:4:5\).

Пример

Треугольник \(ABC\) является египетским.

Данный треугольник прямоугольный, и его стороны имеют отношение \(3:4:5\).

Стоит отметить, что длина сторон не обязательно должна быть \(3, 4\) и \(5\) единиц измерения.
Должно сохраняться именно отношение сторон.

Это значит, что треугольник со сторонами \(15,20,25\) также будет Египетским.

Все стороны имеют отношение \(3:4:5\).

Это легко проверить, разделив длины сторон на общий множитель.

В данном случае это число \(5\).

\(\frac {15} 5 = 3, \frac {20} 5 = 4, \frac {25} 5 = 5\)

Важно

Радиус вписанной окружности Египетского треугольника всегда является целым числом.

Пример

Найдите радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\) со сторонами \(3\), \(4\) и \(5\)см.

Пояснение

Треугольник со сторонами \(3,4,5\) см является Египетским.

Значит, необходимо найти радиус вписанной окружности (\(r\)) прямоугольного треугольника.

Воспользуемся формулой для вычисления радиуса вписанной окружности.

\(r = \frac {a + b - c} 2\), где \(a, b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

Подставив значения получим:

\(r = \frac {3 + 4 - 5} 2 = 1(см)\)