Объём усечённой пирамиды
Оценка 5

Объём усечённой пирамиды

Оценка 5
Статья
24.03.2020

Возьмём пирамиду \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).

Обозначим площадь нижней грани \(ABCDA\) как \(S_{1}\), аплощадь верхней грани \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) как \(S_{2}\) .

\(h\) - высота пирамиды.

Определение

Объём усечённой пирамиды находится по формуле

$$V=\frac {1}{3}h(S_{1}+\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2})$$

где \(h\) - высота пирамиды, \(S_{1}\) и \(S_{2}\) - площади оснований.

Пример

Найти объём усечённой пирамиды \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) высотой \(\frac {3\sqrt {2}}{2}\:см\), у которой в основаниях лежат треугольники \(ABC\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\) с площадями \(36 \:см^2\) и \(16 \:см^2\) соответственно.

Объём усечённой пирамиды находится по формуле \(V=\frac {1}{3}h(S_{1}+\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2})\)

Применяя формулу для пирамиды \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) получим:

$$V=\frac {1}{3}h(S_{ABC}+\sqrt{S_{ABC}S_{A_{1}B_{1}C_{1}}}+S_{A_{1}B_{1}C_{1}})$$

Подставим значения:

$$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac {1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot (36+\sqrt{36\cdot 16}+16)=\frac{\sqrt {2}}{2}(36+24+16)=\frac{76\sqrt{2}}{2}=38\sqrt{2}\:(см^2)$$

1 Найдите объём усечённой пирамиды высотой \(6\:см\) и площадями оснований \(25\:см^2\) и \(9\:см^2\) .
Бесплатно учителям.
Свидетельство СМИ.
Приз 150 000 руб. ежемесячно.
10 документов.