Объём усечённой пирамиды

Возьмём пирамиду $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$.

Обозначим площадь нижней грани $ABCDA$ как $S_{1}$, аплощадь верхней грани $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ как $S_{2}$ .

$h$ - высота пирамиды.

Определение

Объём усечённой пирамиды находится по формуле

$$V=\frac {1}{3}h(S_{1}+\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2})$$

где $h$ - высота пирамиды, $S_{1}$ и $S_{2}$ - площади оснований.

Пример

Найти объём усечённой пирамиды $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ высотой $\frac {3\sqrt {2}}{2}\:см$, у которой в основаниях лежат треугольники $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ с площадями $36 \:см^2$ и $16 \:см^2$ соответственно.

Объём усечённой пирамиды находится по формуле $V=\frac {1}{3}h(S_{1}+\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2})$

Применяя формулу для пирамиды $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ получим:

$$V=\frac {1}{3}h(S_{ABC}+\sqrt{S_{ABC}S_{A_{1}B_{1}C_{1}}}+S_{A_{1}B_{1}C_{1}})$$

Подставим значения:

$$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac {1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot (36+\sqrt{36\cdot 16}+16)=\frac{\sqrt {2}}{2}(36+24+16)=\frac{76\sqrt{2}}{2}=38\sqrt{2}\:(см^2)$$