Объём частей шара

Определение

При пересечении шара радиуса \(R \:ед\) плоскостью \(\alpha\) получен шаровой сегмент высотой \(h \:ед\).
Его объём равен \(V=\pi h^2\cdot (R-\frac{h}{3})\:ед^3\)

Пример

При пересечении шара радиуса \(1 \:ед\) плоскостью \(\alpha\) получен шаровой сегмент высотой \(0,5 \:ед\).
Объём полученного сегмента находится по формуле \[V=\pi \cdot 0,5^2\cdot (1-\frac{0,5}{3})=\pi \cdot (\frac{1}{2})^2\cdot (1-\frac{1}{6})=\pi \cdot \frac{1}{4}\cdot (1-\frac{1}{6})=\pi \cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5\pi}{24}\:ед^3.\]

Определение

Объём шарового сектора радиуса \(R\) и высотой \(h\) вычисляется по формуле \(V=\frac{2}{3}\pi R^2h.\)

Пример

Шаровой сектор радиуса \(2 \:ед\) и высотой \(1 \:ед\) имеет объём \[V=\frac{2}{3}\pi \cdot 2^2\cdot 1=\frac{8\pi}{3}\:ед^3\]

Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёма шара и двух шаровых сегментов, которые получены в пересечении плоскостью шаром.

Пример

Радиус шара равен \(2 \:ед\).

Две разные плоскости отсекают в нём два одинаковых шаровых сегмента высотой \(1 \:ед\)

Объём шара равен \(V=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{32\pi}{3}\:ед^3\).
Объём каждого из шаровых сегментов равен \[V_{segm}=\pi \cdot 1^2\cdot(2-\frac{1}{3})=\frac {5\pi}{3}\:ед^3\].

Объём шарового слоя можно вычислить следующим образом: из объёма сферы вычесть объём каждого шарового сегмента. Тогда объём шарового слоя равен: \(\frac {32\pi}{3}-\frac {5\pi}{3}-\frac {5\pi}{3}=\frac {22\pi}{3}\) .