Площадь поверхности конуса и усечённого конуса

Для представления о развёртке конуса «разрежем его по образующей.

Боковая поверхность конуса в развёртке представляет собой круговой сектор.

При этом образующая конуса переходит в радиус сектора.

Длина дуги сектора равна длине окружности в основании конуса.

Определение

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки.

Обозначим образующую конуса за $l$, $r$ - радиус основания.

Определение

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

$$S_{бок}=\pi rl$$

Важно

По определению имеем $S_{бок}=\frac {1}{2}l\cdot 2\pi r$, где $2\pi r$ - длина окружности основания.

Упростив выражение, получим $S_{бок}=\pi rl$.

Пример

В конусе с длиной образующей $20м$ и радиусом основания $10м$, площадь боковой поверхности равна $200\pi \:м^2$.

$$S_{бок}=\pi rl=\pi \cdot 10\cdot 20=200\pi $$

Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо прибавить к $S_{бок}$ площадь основания конуса.

Площадь круга находится по формуле $S=\pi r^2$

Тогда имеем $S_{полн}=S_{бок}+S_{круга}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$

Определение

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

$S_{полн}=\pi r(l+r)$, где $r$ - радиус основания конуса, $l$ - длина образующей конуса.

Пример

Чему равна площадь полной поверхности конуса, с длиной образующей $12\:см$ и радиусом $4\:см$?

Пояснение

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн}=\pi r(l+r)$.

Подставив значения получим

$$S_{полн}=\pi r(l+r)=\pi \cdot4(12+4)=64\pi \:см^2$$