Площадь поверхности конуса и усечённого конуса
Оценка 4.7

Площадь поверхности конуса и усечённого конуса

Оценка 4.7
Статья
24.03.2020

Для представления о развёртке конуса «разрежем его по образующей.

Боковая поверхность конуса в развёртке представляет собой круговой сектор.

При этом образующая конуса переходит в радиус сектора.

Длина дуги сектора равна длине окружности в основании конуса.

Определение

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки.

Обозначим образующую конуса за \(l\), \(r\) - радиус основания.

Определение

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

$$S_{бок}=\pi rl$$

Важно

По определению имеем \(S_{бок}=\frac {1}{2}l\cdot 2\pi r\), где \(2\pi r\) - длина окружности основания.

Упростив выражение, получим \(S_{бок}=\pi rl\).

Пример

В конусе с длиной образующей \(20м\) и радиусом основания \(10м\), площадь боковой поверхности равна \(200\pi \:м^2\).

$$S_{бок}=\pi rl=\pi \cdot 10\cdot 20=200\pi $$

Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо прибавить к \(S_{бок}\) площадь основания конуса.

Площадь круга находится по формуле \(S=\pi r^2\)

Тогда имеем \(S_{полн}=S_{бок}+S_{круга}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)\)

Определение

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

\(S_{полн}=\pi r(l+r)\), где \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - длина образующей конуса.

Пример

Чему равна площадь полной поверхности конуса, с длиной образующей \(12\:см\) и радиусом \(4\:см\)?

Пояснение

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле \(S_{полн}=\pi r(l+r)\).

Подставив значения получим

$$S_{полн}=\pi r(l+r)=\pi \cdot4(12+4)=64\pi \:см^2$$

1 Найдите площадь полной поверхности конуса, у которого в основании круг, радиусом \(5\:см\), а образующая равна \(8\:см\).
Бесплатно учителям.
Свидетельство СМИ.
Приз 150 000 руб. ежемесячно.
10 документов.