Площадь поверхности конуса и усечённого конуса
Для представления о развёртке конуса «разрежем его по образующей.
Боковая поверхность конуса в развёртке представляет собой круговой сектор.
При этом образующая конуса переходит в радиус сектора.
Длина дуги сектора равна длине окружности в основании конуса.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки.
Обозначим образующую конуса за \(l\), \(r\) - радиус основания.
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
$$S_{бок}=\pi rl$$
По определению имеем \(S_{бок}=\frac {1}{2}l\cdot 2\pi r\), где \(2\pi r\) - длина окружности основания.
Упростив выражение, получим \(S_{бок}=\pi rl\).
В конусе с длиной образующей \(20м\) и радиусом основания \(10м\), площадь боковой поверхности равна \(200\pi \:м^2\).
$$S_{бок}=\pi rl=\pi \cdot 10\cdot 20=200\pi $$
Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо прибавить к \(S_{бок}\) площадь основания конуса.
Площадь круга находится по формуле \(S=\pi r^2\)
Тогда имеем \(S_{полн}=S_{бок}+S_{круга}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)\)
Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле
\(S_{полн}=\pi r(l+r)\), где \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - длина образующей конуса.
Чему равна площадь полной поверхности конуса, с длиной образующей \(12\:см\) и радиусом \(4\:см\)?
Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле \(S_{полн}=\pi r(l+r)\).
Подставив значения получим
$$S_{полн}=\pi r(l+r)=\pi \cdot4(12+4)=64\pi \:см^2$$
© ООО «Знанио»
