Методика обучения решению математических задач

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития обучающихся, глубины освоения учебного материала. Если внимательно проанализировать содержание школьного курса математики, то можно увидеть, что он в основном состоит из теоретического обоснования способов решения различных видов задач. Поэтому естественно, что решению задач уделяется огромное внимание и значительное учебное время.

За время обучения в школе каждый ребенок решает огромное количество задач. При этом все учащиеся решают одни и те же задачи, а в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.

В чем причина?

Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа. У большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут они решить задачу на доказательство, если они не знают, в чем смысл доказательства? Многие учащиеся не знают, в чем смысл решения задач на построение, зачем и когда нужно производить проверку решения и т. д. Очевидно, что на таких представлениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения в решении задач. Наблюдения показывают, что многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. А поэтому, встретившись с задачей незнакомого или мало знакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и после нескольких неудачных попыток отказываются от этого, как они считают, безнадежного дела.

Для того чтобы научиться решать задачи, необходимо много поработать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач. Если кратко обозначить то, что нужно сделать для этого, то можно так сказать: надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение — как объект конструирования и изобретения.

Д.А. Пойа отмечает: «Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели. Решение задачи означает нахождение этого средства».

Процесс решения любой математической задачи может быть исследован с различных точек зрения:

• с математической – какова последовательность действий и как их надо совершить над данными задачи, чтобы найти искомое;
• с логической – устанавливается, из каких логических операций состоит процесс решения;
• с психологической – в чем состоят психологические особенности процесса решения задачи;
• с педагогической – определяются приемы, которые помогут ученику самостоятельно найти решение;
• с информационной – устанавливается возможность решения задачи с помощью компьютера.

Этапы работы над решением задачи

В процессе решения задачи целесообразно выделить четыре основных этапа:

Этап I. Анализ текста задачи.

Цель этапа:

• выделить объективное содержание задачи;
• выделить условие и заключение задачи;
• создать краткую запись задачи на искусственном языке, используя схемы, чертежа и т.д.

Как было указано выше, восприятие текста задачи зависит от субъективных факторов и личностного опыта, а также осложняется многозначностью языковых единиц. В ходе работы с текстом задачи, педагог должен помнить, что на основании этого текста существует три задачи:

• «задача», задуманная автором;
• «задача», которую воспринял ученик;
• «задача», которую воспринял учитель.

Трудность заключается в том, что не всегда эти «задачи» совпадают. В таком случае процесс решения задачи начинается с корректировки субъективного опыта, с приведения разных восприятий задачи к «общему знаменателю». Корректировка осуществляется посредством обучения языку математики. Чем младше ребёнок, тем выше субъективность его восприятия математического материала, поэтому на начальных этапах особенно важна работа с текстом задачи.

При реализации этого этапа важен самый первый момент — первоначальное чтение текста задачи, который часто недооценивается в школьной практике. Нередко ребенок не успевает даже прочесть текст, не то что осмыслить его, как учитель уже вызывает ученика к доске для решения задачи. Нужно отметить, что поспешный переход сразу по получении информации к ее преобразованию без предварительного анализа обедняет процесс познания. А вместе с тем внимательное предварительное прочтение текста, представление учеником ситуации, описанной в задаче, позволяет сделать много полезных выводов и предположений относительно подходов к ее решению. На данном этапе учат извлекать из текста информацию, определяющую решение задачи. Устанавливают, достаточно ли этой ин- формации для решения, устраняют лишнюю информацию. Если этого требует сюжет задачи, то определяют реальность информации. Пре образуют текст задачи (либо по заданной схеме, либо для упрощения восприятия текста), оставляя только математически значимую информацию.

Приемы осуществления анализа текста задачи

Обычно на этом этапе формируются два основных действия — чтение задачи и повторение текста задачи. При повторении текста задачи используют следующие приемы:

• абстрагирование числа от сюжета задачи;
• повторение задачи по логическим частям (этот прием используется на начальном этапе работы с задачей либо при повторении задачи с незнакомым сюжетом);
• повторение по структурным частям задачи;
• повторение полного текста задачи.

В зависимости от особенностей задачи, проводят математический, логический и семантический анализы текста задачи, используя следующие приемы:

• преобразование текста задачи, которое предполагает исключение из текста той части, которая не влияет на результат решения, либо дополнение текста задачи недостающими данными;
• изменение порядка слов или предложений;
• замена некоторых слов синонимами;
• замена содержательного описания термином или наоборот;
• дополнение текста пояснением; уточнение единиц измерения величин и др.

Текстовая модель задачи часто включает несущественную для решения информацию. Чтобы можно было работать только с существенными смысловыми единицами, текст задачи переводят на язык графических моделей, т.е. представляют текст с помощью невербальных средств — моделей различного вида: чертежа, схемы, графика, таблицы, символического рисунка и др.

Перевод текста на язык математики с помощью невербальных средств есть второй компонент общего приема решения задач и второй этап работы над задачей. Реализация этого этапа (второго компонента) предполагает выбор знаково-символических средств для построения графической модели, адекватной математическому содержанию задачи. Модель задачи, построенная по определенным правилам, есть аналог задачи, в котором более четко отражена структура связей и отношений между объектами либо величинами, описанными в сюжете задачи.

Перевод текста в форму графической модели позволяет обнаружить в нем свойства и отношения, которые часто с трудом выявляются при чтении. Рассмотрим примеры.

Задача 1.

Саша и Маша решили купить по одинаковому набору ёлочных украшений. Саше не хватило 1руб., а Маше 6 руб. Тогда ребята решили сложить вместе свои деньги и купить один набор игрушек на двоих, но им всё равно не хватило денег. Сколько денег было у каждого из ребят первоначально? Сколько стоил набор ёлочных украшений?

Данная задача во введении требует работы с текстом. Нужно обратить внимание на словосочетание «сколько-то денег не хватает», которое означает необходимость добавить денег, но не предполагает наличие денег само по себе, как зачастую кажется решающим.

Рассмотрим этап анализа текста задачи.

Задача 2.

Два грузовых автомобиля одновременно выезжают из пунктов А и Б навстречу друг другу.. После встречи автомобиль, выехавший из пункта А пребывает в пункт В через два часа, а автомобиль, выехавший из пункта В пребывает в пункт А через 9/8 часа. Найдите скорость автомобилей, если расстояние между пунктами 210 км?

Данная задача на равномерное движение двух объектов, которое осуществляется навстречу друг другу. Структура текста задачи: У – Т – У (условие – требование – условие). Объекты – два автомобиля, выехавшие навстречу друг другу из пунктов А и В. Они начали движение одновременно и двигались до встречи одинаковое время. В условии не сказано, что изменялись скорости, следовательно, их движение на протяжение всего пути осуществлялось с постоянной скоростью. Первый автомобиль потратил на оставшуюся часть пути 2 часа. Это путь, который проделал второй автомобиль до встречи. Второй автомобиль потратил на оставшуюся часть пути 9/8 часа. Это путь, который проделал первый автомобиль до встречи. Путь, пройденный каждым автомобилем составляет 210 км.

На основании выделенных в условии задачи данных можно сделать краткую запись условия и чертеж.

Также в результате собственно анализа текста можно получить и ответ задачи, если речь идёт о несуществовании объекта.

Этап II. Поиск решения задачи.

Цель этапа – составить план решения задачи, который может быть представлен устно или письменно, в виде текста, модели или поисковой схемы.

После того как текст задачи лаконично представлен в виде графической модели, следует перейти к анализу отношений и связей между известными значениями, а также между известными и неизвестными значениями величин. Для этого проводится детальный анализ этих отношений. Результат этого анализа позволяет выстроить план решения задачи.

Поиск плана решения задачи может быть реализован двумя путями:

• синтетическим;
• аналитическим.

Синтетический путь представляет путь от условия к заключению Основной вопрос: есть это, что из этого следует?

Примерные вопросы прямого анализа задачи:

• Прочитайте вопрос задачи. Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?
• Охарактеризуйте задачу по составу. Какая она?
• Выделите первую простую задачу.
• Каким действием решается эта задача? Почему?
• Запишите решение первой простой задачи.
• Ответили ли мы на вопрос исходной задачи?
• Выделите вторую простую задачу.
• Каким действием будем решать эту задачу? Почему?
• Запишите решение второй простой задачи.
• Скажите ответ второй простой задачи.
• Ответили ли мы на вопрос исходной задачи?
• Скажите, по какому плану решается исходная задача.

Аналитический путь представляет путь от заключения к условию. Основной вопрос: что нужно знать/доказать/найти, чтобы получить это?

Примерные вопросы обратного анализа задачи:

• Прочитайте вопрос задачи.
• Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?
• Каких два (три…) значения надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи?
• Какое значение нам уже известно?
• Что неизвестно?
• Какие из этих значений мы знаем?
• Расскажите план решения задачи.

В педагогической практике чаще всего используется смешанный аналитико-синтетический путь: от заключения, но с учётом того, что имеется в условии.

Примерные вопросы смешанного анализа задачи:

• Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи? Почему?
• А можем ли узнать, сколько ….? Почему?
• Расскажите план решения задачи.

Под поиском решения задачи Л.Л. Гурова понимает отыскание принципа построения логики решения в соответствии с чем выполняются те или иные действия, о которых нельзя сказать, приведут ли они к требуемому результату или нет.

Каждый анализ задачи завершается составлением плана решения задачи, после чего записывается само решение, что, собственно, и является следующим этапом работы над задачей.

Рассмотрим этап анализа и фрагмент поисковой схемы.

Задача 2.

Два грузовых автомобиля одновременно выезжают из пунктов А и Б навстречу друг другу. После встречи автомобиль, выехавший из пункта А пребывает в пункт В через два часа, а автомобиль, выехавший из пункта В пребывает в пункт А через 9/8 часа. Найдите скорость автомобилей, если расстояние между пунктами 210 км?

Для поиска и составления плана решения продолжим анализировать и получать следствия из условия задачи. Было установлено, что до встречи автомобили двигались одинаковое время t_1AC=t_2BC. Известно время, которое они потратили на путь после встречи, известно расстояние АВ. Имеющиеся связи отразим схематично:

На этапе ознакомления учащихся со схемой поиска можно предложить им следующие задания: посмотреть на данные схемы и объяснить закономерности, которые были положены в основу их создания.

Из анализа структуры текста задачи (У – Т – У) и приведенных схем становится понятно, что решать задачу мы можем, составив схему уравнений, выразив в качестве переменных скорости автомобилей.

Этап III. Реализация плана решения и его обоснование.

Если на втором этапе была составлена схема, то на третьем этапе, мы получаем план решения задачи, двигаясь по схеме снизу верх.

Необходимо обратить внимание, что при решении геометрических задач целесообразно вести запись решения в два столбика: в левом записывать шаги решения, в правом– их обоснование. Задачи в таком случае будут служить средством обучения логическому обоснованию.

Рассмотрим этап реализации плана решения задачи 2.

Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, тогда у км/ч – скорость второго автомобиля, тогда получаем два уравнения:

1) 9/8у +2х = 210

2) 9/8у : х = 2х : у

После составления уравнений целесообразно обратиться к схемам и проследить процесс составления каждого уравнения.

Учащиеся объединяют составленные уравнения в систему и решают ее.

Этап IV. Исследование, проверка решения задачи и запись ответа.

Сущность проверки заключается в формулировании заключений по тексту задачи с выполнением арифметических действий или без них. Этот вид проверки носит неформальный характер, и сами рассуждения основаны на понимании проверяющим всех слов и соответствий, заданных в тексте задач. Четкого алгоритма проведения этой проверки не существует. Каждая задача требует особого хода рассуждений.

В рамках этого этапа может проводиться:

• смысловая проверка (существует ли объект);
• проверка на правильность (логических и математических операций);
• обобщение и систематизация полученного опыта;
• рефлексия.
• исследование задачи и поиск альтернативных методов и способов решения.

Проверку на существование объекта лучше сделать первым этапом или совместить с анализом, чтобы избавить себя от лишней работы.

Рассмотрим проверку решения задачи на примере задачи 2.

После решения системы уравнений учащимся следует предложить проверить правильность решения методом подстановки.

Также на данном этапе можно познакомить учащихся с решающей моделью – математической, в частности, с ее структурой:

1. содержательная составляющая (компонент структуры)
2. объяснительная составляющая (объяснение того, что значит каждая буква или число в выражении).

Проверка решения системы не является полной проверкой задачи. Для проверки задачи учитель может использовать различные приемы:

• проверка задачи по смыслу;
• решение задачи другим способом;
• составление обратной задачи.

Рассмотрим еще один пример.

Задача 3.

На книжной полке стоит двухтомник с толщиной страницы 0,05 мм и обложки 1 мм. В первом томе 320 страниц, во втором – 400. Жучок прогрыз обе книги от первой страницы первого тома до последней страницы второго. Какое расстояние он при этом преодолел?

Задача предполагает, казалось бы, одно решение. Но находятся учащиеся, которые выдвигают версию, что книги могли быть поставлены вверх ногами, и тогда получаются альтернативные ответы.

При решении задач на построение можно совместить этап исследования и этап анализа в отношении исследования количества потенциально возможных случаев.

Некоторые авторы считают нецелесообразным предлагать учащимся задачи с многозначными или неопределёнными ответами, как и задачи с несуществующими объектами. Тем не менее, задачи такого плана готовят ребёнка к таким жизненным ситуациям и проблемам, решение которых неизвестно или невозможно на данный момент. Такие задачи предполагают критический исследовательский подход.

Необходимо отметить, что вышеперечисленные этапы взаимно переплетены, и решающий может многократно возвращаться к ним. У учеников следует воспитывать потребность в выполнении всех четырёх этапов.

Способы переноса метода, приема, которым решалась задача, на решение других задач

Первостепенное значение в методике обучения математике имеет процесс решения задачи с позиций возможностей переноса метода, приема, которым решалась задача, на решение других задач. Человек, столкнувшись с новой задачей: «пытается сначала использовать такие приемы деятельности, которыми он уже владеет. При этом он, разумеется, руководствуется задачей, перенося в процессе её выполнения приемы, которые в его опыте применялись для решения аналогичных задач». Перенос следует рассматривать как активный процесс, который на основе сопоставления, сравнения, анализа изучаемого материала, приводит к обобщению тех знаний и способов деятельности учащихся, которые переносятся. Перенос знаний, то есть их использование в новых условиях, является тем действием, которое позволяет формировать у школьников взгляд на математику как на единую науку. Психологи рассматривают перенос знаний, умений и навыков не только как показатель развития, но и как условие развития учащихся.

Метод переноса - «использование усвоенных приемов (а также умений и навыков) в новых условиях – при решении новых задач, усвоение нового навыка и т. д.».

Рассмотри четыре основных способа переноса, которые характеризуются особенностями сопоставляемых задач и характером отношений между ними. Успешность переноса зависит от того, насколько верно ученик оценивает сходство задач с точки зрения способов их решения.

1. Пусть имеем задачу А, метод решения которой мы хотим использовать при решении задачи В. Первый способ переноса. Задачи А и В сходны между собой в значительной степени. В этом случае учащиеся используют метод в задаче В в том же виде, в каком он был использован в задаче А.
2. Задачи А и В значительно отличаются друг от друга. Учащиеся используют в задаче В прием в том же виде, как и в задаче А, но при этом требуется выполнение дополнительных действий с задачей В.
3. Особенности задачи В таковы, что они не дают возможностей использовать прием в том же виде, в каком он был использован в задаче А. В этом случае учащиеся задачу В оставляют без изменения, а прием используют, выполняя с ним дополнительные действия.
4. Задача В резко отличается от задачи А. Учащиеся выполняют дополнительные действия как над задачей В, так и над используемым приемом.

Методические аспекты деятельности при решении задач

Решение задач — это работа, выполнению которой необходимо обучать детей, начиная с первых жней обучения в школе. Чтобы научиться выполнять определенную работу нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа. Следовательно, чтобы научиться решать задачи, ребенку необходимо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Учащиеся должны иметь представление о том, как возникают задачи, откуда они берутся. Первичным источником задач являются проблемные и задачные ситуации. С этой точки зрения — задачи — это знаковые модели таких ситуаций. Если центральным элементом проблемной или задачной ситуации является субъект, то в, задаче мы от него абстрагируемся. Поэтому задачи можно, переделывать, придумывать. Чтобы учащиеся в этом убедились, полезно широко использовать различные задания на составление задач.

В каждой задаче рассматривается один или несколько объектов задачи (числа, фигуры, предметы и т. д.). Относительно каждого такого объекта в задаче указываются его качественные или (и) количественные характеристики в форме высказываний, принимаемых нами за истинные – это условие задачи. Кроме условий в текст задачи входит еще вопрос или требование задачи. Очень часть текст задачи дается в свернутом, сокращенном виде. И очень важно, чтобы учащиеся научились развертывать его в систему взаимосвязанных высказываний и требований. В большинстве случаев для этого удобно вводить какие-то обозначения, чертежи в геометрических задачах и т. д.

Каждое элементарное условие имеет определенную структуру. Если в условии имеется один объект, то указывается его качественная или количественная характеристика. Если же в условии заданы два или больше объектов, то обычно указывается отношение между ними (одно больше, меньше другого и т. д.)

Очень важно, чтобы учащиеся уяснили, в чем состоит сущность решения задач: решить математическую задачу (чисто математическую или прикладную) — это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, формул и т. д.), применяя которые к условиям задачи или к промежуточным результатам процесса решения (т.е. к следствиям условий), можно удовлетворить требование задачи. Эта последовательность общих положений образует теоретическую базу решения задачи.

Для того чтобы учащиеся при решении сложной задачи имели возможность сосредоточить все свои способности и внимание на главном — на поиске способа решения, нахождении теоретической базы решения, они должны иметь прочные умения и навыки в выполнении всех элементарных действий и операций, которые придется применять в процессе решения, с тем чтобы они не отвлекали внимание и силы учащихся от главного.

Поэтому одновременно с овладением учащимися указанными знаниями они должны приобрести прочные, хорошо развитые умения и навыки в выполнении указанных элементарных действий и операций. Эти умения и навыки отрабатываются учащимися с помощью системы соответствующих учебных заданий.

Приведем примеры заданий, которые используются в качестве материала для выполнения задания:

1. Дан текст какой-то задачи. Расчленить ее на условия и требования.
2. Дан текст задачи. Построить ее символическую модель.
3. Дана задача и запись ее решения. Проделать всеми возможными способами проверку решения.

Очень полезным видом учебных заданий является самостоятельное составление учащимися математических задач. Составление задач способствует лучшему уяснению самих задач, их структуры и механизма решения. Например:

1. по данной схематической записи задачи (ее символической модели) составить текст задачи;
2. по данному чертежу составить текст задачи — и им подобные помогут учащимся уяснить сущность схематической (символической) модели задачи и способов ее построения.

Общие методы решения математических задач

У большинства учеников в результате решения огромного числа задач складывается представление, что существует необозримое число различных методов и способов решения математических задач и разобраться в этом многообразии очень сложно.

В первую очередь учащиеся должны уяснить следующую общую идею, лежащую в основе всех методов и способов решения задач: чтобы решить какую-либо новую задачу, надо свести ее к одной или нескольким ранее решенным задачам.

Определимся с некоторыми понятиями:

• способ — совокупность действий для решения конкретной задачи;
• метод — общая схема (алгоритмическая или эвристическая), на основе которой строятся способы решения отдельных задач.

С этой точки зрения все математические задачи следует разделить на алгоритмические, или стандартные, и на эвристические, или нестандартные. Алгоритмические, или стандартные, задачи — это те, для решения которых в курсе математики имеется определенный алгоритм, и способ решения задач состоит в применении алгоритма к условиям решаемой задачи.

Для того чтобы ученик мог применить алгоритм к решению конкретной задачи, он должен:

• уметь вычленить этот алгоритм из определения, теоремы и увидеть его в правиле, формуле;
• уметь развертывать этот алгоритм в пошаговую программу.

Для решения же нестандартных задач учащиеся должны сами изобрести (составить) способ их решения.

Чтобы поиск и изобретение способа решения таких задач производились учащимися разумно, по определенному плану, они должны знать и владеть общими эвристическими методами решения математических задач. Эти общие методы следует сообщать учащимся постепенно, иллюстрируя их достаточным числом примеров. К разбору этих методов необходимо возвращаться неоднократно при встрече с новыми задачами, где эти методы используются.

Рассмотрим основные методы.

Разбиение задачи на подзадачи

Суть метода: сложную задачу разбивают на несколько более простых, по возможности стандартных, задач, при последовательном решении которых можно решить данную задачу.

Этот метод имеет три разновидности:

• разбиение условий задачи на части: решение текстовых (сюжетных) задач «по вопросам»; используется и при решении очень многих других задач;
• разбиение требования задачи на части: часто требование задачи (вопрос) бывает таким сложным, что сразу ответить на него очень трудно, тогда, если возможно, целесообразно разбить его на несколько более простых вопросов.
• разбиение объекта задачи на части: объект задачи сложный или представляет собой бесконечное множество, то иногда полезно разбить его на части и решать задачу для каждой части отдельно.

Рассмотрим пример:

Задача 4.

Докажите, что не существует на плоскости таких четырех точек А, В, С и О, что треугольники АВС, ABD, ACD и BCD все остроугольные (предполагается, что никакие три из этих точек не лежат на одной прямой).

Объект этой задачи — четверки точек. На плоскости имеется бесконечное множество таких четверок точек. Разобьем их на части следующим образом. Первые три точки А, В и С могут образовать остроугольный треугольник АВС. Теперь остается доказать, что, где бы ни находилась точка D относительно ~ ABC, образующиеся при этом четыре треугольника не могут быть все остроугольные, т. е. по крайней мере один из них не остроугольный. Четвертая точка D может находиться: а) внутри АВС; б) в одном из углов, вертикальных по отношению к внутренним углам АВС; в) в одном из незамкнутых трехсторонников, образующихся стороной ~ АВС и продолжениями двух других сторон.

Таким образом, мы разбили исходную задачу на три более простые задачи, каждую из которых нетрудно решить.

Преобразование задачи

Суть метода: с помощью какого-либо приема мы преобразуем данную задачу в более простую, знакомую нам, эквивалентную задачу.

Данный метод очень широко применяется, так что трудно перечислить все те приемы, которые используются при этом. Наиболее известными являются прием замены неизвестных (метод подстановки), прием (метод) геометрических преобразований и т.д.

Кодирование объектов задачи

Суть метода: заменить данную задачу эквивалентной ей. Но в отличие от метода преобразования задачи, где замена происходила в пределах одного, и того же языка задачи (алгебраическая задача заменялась также алгебраической; геометрическая — геометрической) данный метод предполагает переход от одного языка к другому с помощью кодировки объектов задачи. Например, текстовая задача заменяется уравнением или системой уравнений, геометрическая задача с помощью введения системы координат заменяется алгебраической задачей и т.д.

Введение (построение) вспомогательных элементов

Данный метод используется для придания задаче определенности, если в ней имеются явно или неявно заданные неопределенные неизвестные, а также тогда, когда связь (отношение, зависимость) между данными и искомым непосредственно из условий задачи не видна (не может быть установлена). Классическим примером использования этого метода является решение задач «на бассейны». Например:

Задача 5.

Через первую трубу бассейн заполняется водой за 10 ч, а через вторую — за 15 ч. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы?

При решении многих задач приходится использовать не один какой-то метод, а несколько.

Педагогу следует помнить, что учащиеся решают задачи не для того, чтобы найти их ответы, а для того, чтобы чему-то научиться, чем-то овладеть.

Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения есть процесс изобретательства. Чтобы этот поиск осуществлялся более эффективно, учащимся следует предложить следующие рекомендации:

Рекомендации для поиска решения математических задач.

1. Прочитайте задачу. Попытайтесь установить, к какому виду задач она принадлежит.
2. Если вы узнали в ней стандартную задачу знакомого вида, то примените для ее решения известное вам общее правило.
3. Если же задача не является стандартной, то действуйте в следующих направлениях:
• вычлените из задачи или разбейте ее на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);
• введите в условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (способ вспомогательных элементов);
• переформулируйте задачу, замените ее другой равносильной задачей (способ моделирования).
4. Для того чтобы легче было осуществлять указанные способы, предварительно постройте наглядную вспомогательную модель задачи — ее схематическую запись.
5. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.

Организация обучения решению математических задач

Фронтальное решение задач

Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной:

Устное фронтальное решение задач. Данный прием наиболее часто применяется учителями математики в среднем звене или начальной школе (IV-VII классах). Сюда можно отнести устные упражнения на вычисления; задачи-вопросы, истинность ответов которая подтверждается устными доказательствами. Данный прием должен стать обязательным элементом каждого урока, так как одной из задач обучения математике является обучение быстрым устным вычислениям. Данная задача должна решаться на всех этапах обучения - если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии освободится значительная часть времени, которое расходуется на нерациональное выполнение вычислений. В ходе организации устного фронтального решения задач учителю необходимо использовать различные средства обучения (таблички, таблицы, презентации, средства программированного обучения, ИКТ, SMART-технологии), что позволит значительно сэкономить время, отведенное на выполнение устных упражнений, повысит познавательную активность и плотность урока.

Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель, либо ученик по указанию учителя.

Наиболее эффективным является письменное решение задач с записью на классной доске в следующих случаях:

• при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами;
• при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса;
• при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего варианта;
• при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задачи и т.д.

В ходе проектирование урока учитель должен предусмотреть и возможность одновременного решения задачи разными способами, вызвав сразу нескольких учеников к доске. Педагогу следует помнить, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких однотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения, воспитывает у учащихся гибкость мышления.

При этом следует учесть, что руководство решением задачи в этом случае требует от учителя определенного мастерства: правильно распределить свое внимание между учащимися, решающими задачу у доски, и остальными учениками класса; организовать внимание учащихся класса, решающих задачу, которое не должно рассеиваться действиями учеников у доски.

Письменное самостоятельное решение задач.Наиболее эффективной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Самостоятельное решение учащимися задач на уроках математики имеет многие преимущества:

• повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу, что способствует повышению эффективность урока;
• развивает мыслительную деятельность учащихся;
• не имея возможности списывать решение задачи с доски, ученик вынужден сам осуществлять поиск решения задачи;
• выполняет контролирующую функцию и сокращает время, необходимое для опроса учащихся, повышая плотность урока;
• учитель получает возможность индивидуализировать и дифференцировать процесс обучения, выявляя индивидуальные ошибки, подбирая задачи различного уровня сложности.

В ходе организации самостоятельного письменного решения задач учитель может предложить учащимся самостоятельно изучить небольшой теоретический материал, разобрать образцы решения задач, предложенные учителем, а потом самостоятельно решать аналогичные задачи.

До начала проведения самостоятельной работы по решению математических задач необходимо провести инструктаж, в котором четко указать, что должны выполнить учащиеся в работе, каков порядок ее выполнения, сроки выполнения и критерии оценивания. После проверки правильности самостоятельных решений проанализировать с учащимися результаты работы.

Комментирование решения математических задач.

Все учащиеся работают на одной задачей, при этом один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Ученик должен не только рассказать последовательность выполнения действий, а объяснить, на каком основании (зачем) выполняется то или иное действие или преобразование. При этом каждый шаг в решении задачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. Такое объяснение требует от учащихся не только формального решения задачи, но и понимания существа выполняемого преобразования, активной работы мысли. Учащиеся, имеющие низкий уровень обученности по математики или пробелы в знаниях, услышав объяснение каждого этапа решения задачи, могут попытаться выполнить решение самостоятельно. Но ведь этого и следует добиваться при решении задач.

Индивидуальное решение задач

Фронтальное решение учебных математических задач не всегда приводит к желаемым результатам в обучении математике. При фронтальной работе все ученики класса решают одну и ту же задачу, и не осуществляется дифференцированный подход к обучению. А ведь для одних учащихся эта задача может оказаться очень легкой, и они при решении такой задачи практически не почерпнут ничего нового, а для других ― вызвать серьезное затруднение. Поэтому необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, учитывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности развивались.

Задача учителя — организовать решение математических задач с учетом уровня подготовки каждого ученика, что позволит овладеть необходимыми умениями и навыками слабым ученикам и в значительной степени совершенствоваться более сильным.

Поскольку в классе есть примерно равные по уровню учебных достижений ученики, то можно подбирать задачи не для каждого ученика в отдельности (это было бы затруднительно для учителя), а для отдельных групп обучающихся. Подбор индивидуальных заданий преследует цель для каждой выбранной учителем группы учащихся составить систему задач. Эти группы не должны иметь постоянного состава: учащиеся по мере овладения необходимыми знаниями должны иметь возможность перехода из одной группы в другую.

Индивидуальные формы работы более эффективны (по сравнению с фронтальными) и в ходе работы по устранению пробелов знаний. Пробелы можно выявить выполнением проверочных и контрольных и индивидуальных работ. При этом сильным ученикам достаточно сказать о неверности результата, некоторым ученикам следует подчеркнуть ошибки, а слабо подготовленным - исправить. В ходе осуществления коррекционной работы задачи необходимо подбирать, учитывая причины, вызвавшие ошибку.

Индивидуальное решение задач продолжается и в ходе выполнения домашней работы. Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Это не означает, что для домашнего решения должны предлагаться лишь задачи, аналогичные решенным в классе. Ведь домашнее задание имеет целью не только закрепление изученного на уроке, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков.

Поскольку ученики обычно имеют индивидуальные особенности, различную подготовку, следует индивидуализировать домашние задания. Так домашнее задание может быть направлено на устранение пробелов, закрепление и совершенствование знаний, приобретенных на уроке, углубление изученного. Следует отметить, что ученики с большим желанием решают задачи, предложенные им в индивидуальном порядке.

Список литературы:

1. Кабанова-Меллер Е.Н. Роль обобщений в переносе // Вопросы психологии. –№ 2. – 1972. – 55 – 66 с.
2. Калинина Г.П., Ручкина В.П. Формирование общего приема решения задач. http://elar.uspu.ru/bitstream/uspu/2374/1/speo-2015-03-04.pdf
3. Методика обучения математике в 2 ч. Часть 1 : учебник для академического бакалавриата / Н. С. Подходова [и др.] ; под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой. — М. : Издательство Юрайт, 2017. — 274 с.
4. Общая психология / Под ред. А. В. Петровского. – 2-е изд. –М.: Прсвещение, 1976. – 479 с
5. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. – М.: Наука, 1970. – 452 с
6. Фридман Д.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред, шк,— 3-е изд., дораб.— М.: Просвещение, 1989.— 192 с: ил.