Гармонические колебания

на прошлом уроке мы с вами рассмотрели динамику колебательного движения и получили для различных колебательных систем похожие связи между ускорением тело в колебательной системе и между его смещением от положения равновесия тут у нас было помните целая такая коллекция этих результатов сейчас я ее не буду выписывать раз закон связывающие ускорение и смещение одинаковы для различных колебательных систем значит и в поведении этих колебательных систем должно быть что-то общее и действительно все те колебательные системы которые мы анализировали на прошлом уроке колеблются одинаково и колебания которые они совершают имеет свое специальное название они называются гармонические колебания и вот сегодня мы с ними познакомимся подробнее тема урока гармонические колебания гармонические колебания . физический смысл физический смысл величин я сейчас их выпишу потом мы с ними познакомимся ближе x с индексом м омега с индексом 0 efi с индексом 0 домашнее задание конспект далее по мякишево для 11 класса рангов и с 21 по 23 21-23 задачи по рымкевича номер 429 затем а гельфгат у задачу с номерами 1 4 1.4 16 17 18 гр отсеки рисовать там в условии задачи даются графики в некоторых задачах их нужно перерисовать в тетрадь обязательно графики рисовать чтобы было понятно как вы выполняете задание ковры на графике показываете те вещи которые спрашивают в условия задачи ну а теперь вернемся к тому на чем мы остановились в прошлый раз итак мы выяснили что ускорение пружинного маятника проекция ускорения на оси x вычисляется по формуле минус к деленный на n до ics для пружинного затем мы рассмотрели математический маятник тангенциальное ускорение у нас вычислялось по формуле минус же делённое на r где l длина маятника умножить на обмен такие смещение от положения равновесия математический маятник для физического маятника у нас угловое ускорение было связано с углом отклонения минус m же l делит на момент инерции умножить на альфа альфа отклонения угловое отклонение положения равновесия физический маятник и наконец мы рассмотрели еще маятник который я условно назвал электрически маятником и у нас там получилось так если заряд колеблется между двумя одноименными зарядами то ускорение его вычисляется по формуле 4 коэффициент законе кулона произведения зарядов и в знаменателе стыд м м куб м эта масса той бусинки которые колеблется это расстояние от положения бусинки до тех зарядов с которыми она взаимодействует электрический маятника и вот мы видим что в любом случае ускорения либо угловое ускорение ну давайте будем говорить о бы просто ускорения алекс прямо пропорционально смещению от положения равновесия и направлена в противоположную сторону да и умножить на x спасибо мигали умножить на x и вот а x равняется минус какой-то коэффициент c постоянная величина умноженное на x ну тоже самое можно говорить его физическом от ники только здесь у нас линейное ускорение физического маятники угловое ускорение c зависит от параметров колебательной системы вот эта цель для пружинного маятника к деленный на f для математического же деленная на для физического сюда входит масса момент инерции расстояние от центра масс до точки подвеса и вот такой вот сложный коэффициент для электрического маятника но все это числа это постоянные величины которые определяются параметрами системы а теперь давайте вот что сделаем вспомним с вами что ускорение это производная по времени скорости а скорость это производная по времени координаты вспомним а x это производная по времени скорости то есть в x с точкой производную по времени мы будем с вами обозначать дальнейшем точкой в x это производная по времени координаты то есть мы можем написать чтоб ускорение это ничто иное как вторая производная координаты по времени следовательно вот это выражение мы можем переписать вот так x с двумя точками равняется минус s умноженное на x или если речь идет о вращательном движении таком как физическом этики то мы можем написать альфа с двумя точками вторая производная по вару угла поворота по времени равняется минус с альфа вот так вот если бы c равнялась единице то у нас просто вторая производная совпадало бы самой функцией ведь альфа эта функция x эта функция функция чего времени мы же описываем движение изменения положения с течением времени и основная задача механики это найти положение тела в любой момент времени основная задача механики колебательных движений основная задача механик них теории механических колебаний скажем так теории механических колебаний найти зависимость координаты тело от времени ну или угла поворота от времени это это характеризует положение тела вот теперь давайте вспомним что мы с вами изучали на прошлой неделе по математическому анализу нам уже встречалась ситуация когда вторая производная совпадает с самой функций с точностью до знака было когда x с двумя точками равнялся минус x только x теперь у нас функция они аргумент то есть можно было бы уточнить x с двумя точками равняется минус x от t скажите пожалуйста какая функция совпадает со своей производной второй производной с точностью до знака косинус и синус мы с вами встречали уже две функции мы знаем что синус ну скажем альфа два штриха равняется минус синус альфа и косинус альфа два штриха равняется минус косинус альфа а здесь у нас x два штриха равняется минус x так значит вот этому уравнению а кстати это уравнение называется дифференциальное уравнение второго порядка потому что она связывает вторую производную в самой функцией вот решением такого дифференциального уравнения могут быть две функции синус и косинус то есть мы можем написать следующее x в любой момент времени t равняется синус x синус t700 а изгадили синус тыыы кс в любой момент времени t равняется косинус то тогда у нас получится что x с точкой равняется производная синуса косинус 3x с двумя точками равняется минус косинус это действительно минус x с двумя точками да здесь одна . а здесь две точки вот мы два раза продифференцировать а здесь будет минус синус правильно минус синус вот первая производная синуса косинус вторая производная минус синус х минус синус это как раз минус x равняется минус x вот она и работает у нас получилось то же самое касается и косинуса x с точкой равняется производная косинуса минус синус т-ты перь у нас время независимо и пили x с двумя точками это производная минус синус а минус выносится за знак производной производная синуса косинус получается минус косинус т то есть минус x все хорошо но нам нужно подобрать немножко другую функцию нам нужно придумать такую функцию чтобы вторая производная совпадало не самой функции отличалась бы от нее на какое-то постоянное число на вот этот коэффициент с каким же должна быть зависимость x от t давайте вспомним правила дифференцирования произвол и правила дифференцирования сложной функции производная сложной функции равняется производная сложной функции равняется произведению производной внешней функции по внутренней на произведе на производную внутренней функции по аргументу какой должна быть внутренняя функция чтобы у нас появился коэффициент при дифференцировании скажите пожалуйста чему равняется производная ну например по иксу икса единица а чему равняется производная cx по иксу c умножить на единицу так вот давайте мы сейчас в качестве такой внутренней функцией возьмем какое-то число умноженное на время пробуем пусть x от t равняется не просто синус т.а. синус а внутреннюю функцию мы возьмем в виде константы умножить на время они просто времени эту константу мы обозначим пока непонятно почему но если мы это сделаем дальше будет этим удобно пользоваться обозначим омега нулевое вот так теперь продифференцируем эту функцию x с точкой равняется производная внешней функции по внутренней внутренняя функция наша вот омега т производная синуса косинус омега 0 ты теперь это надо умножить на производную внутренней функции по аргументу аргумент у нас т производная бот омега 0 и я его напишу вот здесь омега 0 теперь ищем вторую производную их с двумя точками равняется надо продифференцировать вот это выражение у нас получится омега нулевое она выйдет у нас за знак производной производная косинуса минус синус омега 0 и еще надо умножить на производную внутренней функции внутренняя функция мира или войта ее производная омега 0 амида 0 и это получается если навести порядок равняется минус омега 0 квадрат умножить на синус омега 0 т то есть на синус на сам x на x это была вот такая пробная функция возьмём в качестве про данной функции косинус икс от r равняется косинус омега 0 это первая производная x с точкой равняется минус синус омега 0 т на производную внутренней функции омега 0 а вторая производная x с двумя точками равняется минус омега нулевое на производную синуса по его аргументу по внутренней функции то вот просто косинус омега 0 т и умножить на производную внутренней функции омега 0 т при дифференцированию даст нам омега 0 снова у нас получается минус омега 0 квадрат и здесь косинус омега 0 то это есть наш x вот так то есть если мы возьмем и попытаемся описать колебания вот такой функции в виде синуса или вот такой функции в виде косинуса нас ждет успех но этого мало можем сделать следующий шаг и смотрите если я добавлю вот сюда еще постоянное слагаемое возьму вот такую запись x от t равняется оставим здесь свободное место синус а здесь я напишу омега 0 т плюс какое-то постоянное слагаемое и нулевое производная внутренней функции от этого же не изменяется потому что производная константы 0 то есть добавление такого слагаемого не нарушит вот это равенство кроме того а что если мы перед синусом поставим какой-то коэффициент постоянное число постоянно величину обозначим x максимальное если мы введем такой коэффициент то у нас во столько же раз увеличится и вторая производная и функцией вторая производная увеличится в x максимальное число 1 значит равенство вот это слово будет сохраняться отлично то же самое можно сделать и если использовать функцию косинус икс r равняется x максимальная на косинус омега 0 плюс fi 0 если вы эти функции подставить вот в это уравнение то есть возьмете в производную я сейчас этого делать не буду вы увидите что у вас уравнение превращается в тождество так вот оказывается каким законом описываются колебания если ускорение прямо пропорционально смещению от положения равновесия и направлена к положению равновесия колебания описываемые законом синуса или косинуса носят названия гармонически либо не давайте запишем колебания происходящее по закону синуса или косинуса колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармонические значит вот это и это закон движение при гармонических колебаниях закон движения при гармонических колебаниях закон движения при гармонических колебаний хоть то есть те две зависимости которые мы сейчас с вами записали это и есть решение основной задачи механики для того случая когда выполняется вот это условие то есть для гармонических колебаний система в которой происходит гармоническое колебание называется гармонический осциллятор гармонический осциллятор гармонический осциллятор и так колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармоническими то что я сейчас сказал это просто кинематика мы не интересуемся когда колебания будут гармоническими мы утверждаем что если колебания происходят по закону синуса и косинуса мы присваиваем им название гармонических колебаний а теперь следующий шаг скажите пожалуйста в каком случае колебания будут гармоническими в каком случае то есть при выполнении каких условий это уже динамика это уже причины движения рассматривать нужно в каком случае с динамической точки зрения колебания будут гармоническими замкнутой системе ну хорошо да ну это не обязательно будет гармонические колебания периодически это свойство колебания что можно сказать о силе ведь подождите если речь идет о динамике мы должны подумать о силах какой должна быть сила для того чтобы колебания были гармоническими квази упругая умница и так запишите пожалуйста колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы ну а теперь какой же выбрать закон движение синусный или косинусные оказывается не имеет никакого значения давайте договоримся что мы с вами будем рассматривать колебания в косинус и синус тоже годится но надо же на чем-то определенном останавливаться и так закон движения при гармонических колебаний мы выбираем в косинус най форме то есть он будет таким x м делить умножить на косинус омега 0 это плюс fib нулевое и теперь нам нужно разобраться а что же кроется за этими величинами x м омега 0 финале давайте разберемся прежде всего мы знаем что косинус омега 0 это плюс fi 0 каким бы ни был аргумент по модулю всегда будет меньше либо равен единице косинус не бывает больше единицы и синус тоже на самом деле бывает но только если аргумент не относится к действительным числам синус может быть хоть 50 косинус тоже если аргумент комплексное число но мы еще не знаем что такое вот в нашем случае в наших задачах здесь числа действительно поэтому косинус по модулю не превышает единицы отсюда следует что x от t всегда по модулю меньше либо равно x с индексом м так что же значит тогда индекс м maximum ix с индексом м это модуль максимального отклонения тело от положения равновесия xm носит название амплитуда колебаний амплитуда колебаний амплитуда колебания запишем определение амплитудой колебаний называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия амплитудой колебаний называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия теперь займемся то кстати в каких единицах измеряется амплитуда в метрах если это колебания линейные а если колебательное движение вращательное как у физического маятника то в радианах но можно в градусах лучше вроде она теперь заглянем сюда вот в эту скобку вот эта скобка я ее так вот и отдельно выпишу омега 0 т плюс fi 0 а то что стоит под знаком косинуса и синуса называется фаза колебаний фаза колебаний фаза колебаний фаза неуклонно растет с течением времени причем по линейному закону видите то входит сюда и она постоянно увеличивается значит фаза становится все больше и больше с течением времени другими словами эта величина показывает насколько далеко зашел процесс колебать колебаний но это не очень интересная величина однако обратите внимание вот на что и косинус и синус функции периодические насколько надо увеличить аргумент синуса или косинуса чтобы он снова стал таким как был на 2пи а значит если фаза увеличится на 2пи или на 2пи нгн любое целое число но нас интересует только первое значение 2 пи если фаза увеличится на 2пи что будет сексом он будет таким же как был при значении t но если косинус увеличился на если аргумент косинуса увеличился на 2пи а система вернулась в исходное положение то как называется промежуток времени за которой произошло это изменение период значит если мы ко времени добавим период та фаза увеличится до 2п условия периодичности условия периодичности x-code т плюс период равное x от t влечет за собой следующий факт что фаза омега нулевое когда на часах будет т плюс период плюс fi нулевое минус старое значение фазы омега 0 т плюс 0 должно равняться 2 пи это минимальное время за которая система придет в то же самое состояние то есть это период т найдем отсюда и как-то свежим и вас омега нулевым раскрываем скобки омега 0 тыс омега 0 т большой плюс fi 0 равняется нет минус минус омега нулевое минус 0 равняется 2 пи омега 0 а ты маленькая вот с плюсом вот с минусом взаимное уничтожение fi нулевое здесь с плюсом здесь с минусом тоже происходит взаимное уничтожение что остается омега 0 3 равняется 2 pin отсюда омега 0 равняется 25 делить на период эта формула связывает вот эту самую величину омега нулевое с периодом но давайте ещё вспомним одну вещь вспомним что период связан с частотой помним что единица на т это ничто иное как частота колебаний не то есть количество колебаний в не несу времени тогда вот эту формулу можно переписать так омега 0 равняется 2 пи new обе эти формулы надо помнить величина омега 0 связано с частотой колебаний у нее тоже название частота но только не просто частота от циклическая частота величина омега нулевое называется циклическая частота колебания циклическая частота колебаний циклическая частота колебаний какую впечатлил вот просто частота что это такое количество колебаний в единицу времени отлично а сколько должно смотрите чистота это количество колебаний за ну а за одну секунду а в таком случае а в 2 пи раз большее значение это будет число колебаний за 2 пи раз большее число секунд то есть мы можем записать что циклическая частота колебаний численно равна запишите пожалуйста циклическая частота колебаний численно равна количеству колебаний за промежуток времени 2 пи секунд циклическая частота колебаний численно равна количеству колебаний за промежуток времени 25 секунд в каких единицах измеряется циклическая частота просто частота измеряется в герцах но размерность это обратная секунда и поскольку 2пи тоже безразмерная величина то циклическая частота имеет ту же размерность что и линейная чистота new но для того чтобы не путать циклическую частоту с линейной линейную частоту измеряют в герцах а циклическую измеряют в радианах в секунду радиан в секунду почему радиан потому что фаза стоит под знаком косинуса по знакам косинуса стоят величины измеряемой в радианах угловые величины отсюда видно что для того чтобы аргумент косинуса был радиан нужно чтобы омега 0 имела размерность радиан в секунду тогда секунды сократятся останутся радианы и так не путайте линейная частота измеряется в герцах циклическая в radiant секунду кстати вам ничего не напоминает обозначение где там и буквой омега уже что-то обозначали угловая скорость скоро вы увидите что вращательное движение и гармонические колебания теснейшим образом связаны но сейчас пока об этом говорить не будем следующая величина которая нас интересует fi нулевое fi нулевое входящая в фазу величина фаза равняется fi нулевое когда время равно нулю время равно нулю в начальный момент поэтому fi нулевое получила название начальная начальная фаза начальная фаза какой физический смысл начальной фазы что она характеризует она на действительно характеризует положение тела в начальный момент времени вот давайте рассмотрим несколько примеров допустим у нас есть маятник математически вот он ну это не математически но вполне на него похоже положительное направление у нас вправо и вот мы отведем этот ник и в начальный момент времени запускаем секундомер его отпустим как описать движение этого маятника вот положение равновесия вот направлении вдоль которого происходят колебания это будет наша ось x скажем так мы и буквой s обозначали вот маятник отклонен вот на такое положение это значение мы обозначим x максимально то есть его отклонили до амплитудного значения при t равном нулю x в этот момент когда на часах 0 равен x максимальному значит мы можем написать x максимальная равняется я вот это просто сейчас использую x максимальное равняется x максимально на косинус омега 0 0 ли в плюс fib нулевое вот я записал закон движения для одного момента времени начального какое должно быть fi нулевое чтобы это работало чтобы это работало косинус должен равняться единице поскольку первое слагаемое 0 то аргумент должен равняться нулю значит fi 0 равно нулю вот так вот в таком случае начальная фаза равна нулю это у нас положительное это отрицательное направлении а теперь возьмем другую ситуацию маятник в начальный момент времени отвели назад на величину x максимально минус плюс наши направлении x при t равном нулю отклонение равняется минус x максимальная с одной стороны а с другой стороны она должна подчиняться вот этому закону равно x максимально на косинус омега 0 0 плюс fi 0 в этой ситуации косинус должен быть минус 1 какой будет аргумент пи либо минус пик fi 0 равняется пи то есть начальная фаза при таком способе возбуждения колебаний будет равна пи мы можем по-другому поступить мы можем например запускать маятник щелчком в начальный момент маятник находится в положении равновесия но обладать скоростью в этом случае начальная фаза будет минус пи пополам если мы его в обратную сторону толкнем то есть его скорость будет направлена в сторону отрицательных значений то оказывается что начальная фаза bot plus пополам подробнее мы об этом ещё будем говорить сейчас я из ну на этот тратить времени она заслуживает большего внимания чем сейчас хочу заключить наш сегодняшний разговор вот чем мы с вами записывали в самом начале что x с двумя точками равняется минус c ix и выяснили что то же самое можно записать так x с двумя точками равняется минус омега 0 квадрат x отсюда смотрите следует прямая связь между циклической частотой и коэффициентом который связывает вот эти две величины с параметрами системы следовательно омега 0 а зависит от параметров системы от жесткости пружины от длины маятников циклическая частота определяется параметрами системы а вот величина x максимальная и fi 0 чем определяется тем как мы колебания запустили то есть определяется начальными условиями определяется начальными начальными условиями и последняя вот это уравнение x с двумя точками равняется минус омега 0 квадрат x можно записать еще вот так красиво записать плюс омега 0 квадрат x это что же самое равняется нулю это уравнение физики и математики впрочем той называют уравнение гармонических колебаний уравнение гармонических колебаний уравнение гармонических колебаний оказывается что здесь может быть и не 0 эти случаи мы тоже с вами будем рассматривать в дальнейшем но пока что оставим как есть уравнение гармонических колебаний дифференциальное уравнение линейной а производная функция вход в первой степени второго порядка потому что производная здесь 2 вот с чем нам предстоит иметь дело урок окончен