Построение таблиц истинности для логических выражений

построим таблицу истинности для логического выражения которая представлена на экране это выражение состоит из двух логических переменных буквы a и b и различных логических операций их значки представлены перед нами чтобы построить любую таблицу необходимо знать как минимум две вещи сколько нужно построить строк и сколько столбцов поэтому в алгоритмы построения таблиц истинности первым пунктом всегда нужно узнать количество строк которые нужны для этой таблицы для этого используется формула 2 в степени n + 1 переменная n эта переменная которая обозначает количество неизвестных или переменных логического выражения для этого нам нужно посчитать сколько разных букв используются в этом выражении такое количество этих букв точнее сколько раз они повторяются не надо считать нужно просто посчитать сколько разных букв и так у нас разных букв а и b две буквы поэтому количество логических переменных будет равно 2 это значение подставляем формулу степень получим 2 в степени 2 плюс единица это будет 4 плюс 15 то есть в будущей таблицы истинности для нашего логического выражения должно быть пять строк вторым пунктом узнаем сколько же столбцов нужно для того чтобы построить эту таблицу для этого нужно использовать формулу которая выглядит примерно так первое это количество логических переменных которые записаны в выражений и второе количество операций я их обозначил а буквой о который в этом же выражение присутствует количество логических переменных букву н да мы с вами нашли в предыдущем пункте она равна 2 это буквы a и b а количество операций можно найти следующим образом либо просто посчитать количество разных значков которые используются выражение но грамотнее будет одновременно проставить порядок этих операций из одну их пересчитать для этого мы с вами записывали порядок выполнения операций 1 всегда выполняется точно так же как в математике действия в скобках поэтому операция первая которая называется с импликация и обозначается стрелочкой или следование она будет выполняться первый а второй скобке у нас есть три операции это две операции инверсия и операция дизъюнкция или логическое сложение по порядку действий инверсия или отрицание всегда выполняется первый поэтому мы будем выполнять сначала операцию отрицания переменной а затем операцию отрицания переменной b и после этого во вторых скобках выполним операцию сложения она будет у нас 4 за скобками у нас есть всего лишь одна операция эта операция называется конъюнкция или логическое умножение поэтому мы ее единственную за скобочками будем выполнять последний итак мы пронумеровали порядок операции посчитали их количество количество переменных у нас было равно двум а количество операций стала равно 5 которую мы с вами насчитали подставляем значения в формулу и получаем что столбцов нашей таблице должно быть 2 + 72 плюс 5k ровности дальше когда мы узнали сколько у нас есть строк в таблице и сколько должно быть столбцов мы можем ее построить и так строим таблицу которая будет содержать 7 столбцов и пять строк таблица готова теперь нужно ее заполнить таблицы истинности в принципе как и остальные таблицы всегда заполняются с первой строки которая называется шапкой шапка таблицы обозначает что будет происходить столбцах для первых ячеек нашей таблицы в шапочке мы отведем как раз такие места для обозначения переменных у нас их две перемены a user page of первый столбец и переменная b и и запишем во второй столбец дальше все остальные ячейки у нас отведены для самих операций операции мы уже пронумеровали их 5 поэтому мы последовательно запишем что мы будем выполнять первой операции эта операция следования вторая операция операция отрицания а третья операция операция отрицания b 4 операции это операции сложения двух предыдущих и последняя самая последняя операция операция умножения она должна по идее быть записано в виде всего выражение то есть первые скобочки которая есть и второй которая тоже уже у нас посчитан предыдущем столбце но так как эта операция и выражения слишком большое проще записать место всего выражения просто букву f то есть значение всего выражения это будет последняя операция дальше заполняется первые столбцы солце со значениями переменных них мы должны перечислить все что может произойти с переменными а и б все варианты но есть хитрый способ как это сделать просто можно например начинать выполнять запись следующим образом мы с последнего самого правого столбца переменных то есть у нас их всего 2 вот сам и правы выбираем который еще до всех остальных операций и начинаем записывать значения переменной чередуя нолики и единички через 1 то есть с наименьшего сначала 0 затем 101 дальше переходим к следующему столпу столбцу с переменной а здесь мы будем тоже чередовать значение нулей и единиц только через два знака 0011 нам осталось заполнить все операции которые мы с вами записали в остальных столбцах значит самый первый столбец возле столбца с переменами это столбец свое с выражением которое должно быть посчитано то есть операция исследований импликации для операции импликация точно так же как и для остальных операций существует специальная таблица истинности по которым можно определить значение для этого нужно посмотреть у нас получается первое это а она записана в первой строке и в первом столбце 2 в переменной b она у нас записано ее значение во втором столбце и результат этой операции можно посмотреть по таблице истинности и так я смотрю чему должна быть равна моя операция в первой ячейке которую нужно заполнить итак ноль следование 0 по таблице истинности это будет единичка поэтому в моей чей я записываю 1 следующая строка у меня уже я смотрю опять же по таблице буду смотреть чему будет равно значение 0 следует один это вторая строка таблицы здесь тоже будет единичка а с третьей строке нужно поглядеть чему будет равна операций когда с единицей следует 0 по таблице это значение равно нулю поэтому я записываю в мою таблицу истинности 0 и последняя строка из единицей следует один будет равна одному мы заполнили столбец с операция исследования следующая операция это операция отрицания для нее точно так же как и для остальных операций существуют специальные таблицы истинности а мы смотрим значение переменных в первом столбце таблицы результат операции во втором и так так как мне нужно отрицать значения переменной а я буду брать значения начальной из столбца с переменной а то есть первое значение я буду отрицать 0 по таблице истинности если я буду отрицать 0 значение будет моей операции будет равно единичке поэтому единицу я записываю мою ячейку следующее я также отрицаю 0 в следующей строке значение будет равно 5 1 когда я буду брать значения противоположной единицы не ни один это будет 0 по таблице истинности это хорошо вид поэтому две остальные строки у меня также будут записаны как нули столбец значение не б это столбец в котором нужно брать значение противоположной столбцу бы то есть если был записан 0 мои ячейки я бы написать единицу и наоборот если изначальное значение был один я запишу 0 таким образом я заполню все а строчки моего столбца дальше переходим к следующей операции эта операция называется дизъюнкция или слова логическое сложение здесь мы должны складывать два значения значение столбца не а и значение и столбца не б это то что мы посчитали только что операция дизъюнкция или сложения тоже имеет свою таблицу истинности и по ней мы узнаем что же получится в нашей таблице которую мы составляем итак первая строка мне нужно сложить значения 1 со значением 1 по таблице истинности это последняя строчка результатом это операции будет единица я пишу 1 дальше складываю один с нулем значение будет равно 1-му по таблице истинности я записываю результат 1 0 + 1 по таблице истинности это единица я пишу 1 и 0 + 0 по первой строчки таблицы истинности операции это будет равно нулю поэтому записываю в моей таблице также 0 теперь мне осталось вычислить последний результирующий столбец который будет являться значением всего логического выражения в этом столбце я должна посчитать операцию умножения двух скобочек скобочки которая нас посчитано в первом столбце то есть следования это вот этот столбец и скобочки которого посчитали только что в последнем столбце поэтому я буду по таблице истинности операции умножения логического смотреть что же получится итак мне нужно умножить 1 на 1 а таблицы истинности это будет равно единице я еще результат один дальше значение из первого столбца один из из последнего тоже один также будет равно единице 0 умножить на 1 по таблице истинности эта строчка равна будет нулю я записываю 0 и последнее значение единица должна умножить на 0 1 умножить на 0 равна нулю логическое умножение запрос запомнить проще всего она высчитывается точно также как обычное наше умножение мы с вами посчитали таблицу истинности для логического выражения которая нам задали последний столбец в котором написано и значение нашей нашей логической функции для любые значения переменных является главным которые мы хотели получить по нему можно узнать значение логической функции для кого мы захотим для любых значений переменных а и б но к сожалению редко бывает что функции заданные логически состоят только из двух переменных обычно их больше как минимум три поэтому мы построим следующую логическую до таблицу для логического выражения состоящего из трех переменных по той же самой схеме которую делали и сейчас итак для таблицы любой сначала нужно вычислить количество строк по той же самой формуле 2 в степени n + 1 мы вычисляем количество строк для нашего логического выражения н переменная это количество разных букв которые мы используем в логическом выражении здесь это а b и c второй раз и считать не надо то есть их всего три дальше мы представляем это значение формулу изначально у нас будет два в третьей степени плюс 1 это будет равно 9 в нашей таблице должно быть 9 строк вторым пунктом ищем количество столбцов для нашей таблице той же самой формуле количество переменных плюс количество операций мы будем вычислять ее и так количество переменных у нас известно с первого пункта оно равно 3 а вот количество операций мы сейчас посчитаем по тому же принципу которой было в прошлые таблице мы делаем сначала приоритет операций узнаю то есть узнаем какая операция выполняется первый а всегда выполняется точно так же как его выбрита как у нас всего две операции умножения и сложения будет выполняться в первом умножение поэтому операцию умножения мы будем выполнять последовательно начиная с самого первого до последнего итак первое второе умножение и третье по порядочку выполняется дальше осталось две операции сложения операция сложения логического выполняется тоже по порядочку с начала в конец итак 4 5 операция и так наших операций 5 считаем сколько будет столбцов количество переменных плюс количество операций 3 плюс 5 будет равно 8 строим таблицу которая будет состоять из 8 столбцов и 9 строк заполняемые по тому же принципу первые из ячейки шапки таблицы отводится на перечисление переменных эта переменная а переменная b переменная c остальные ячейки шапки таблицы а трудятся для обозначения операций не обязательно записывать эти операции как мы делали в прошлый раз можно если вы разбираетесь в том что происходит им и вас хорошо все с логическим мышлением то можно записать пост а сами номера отцу операции если вы пронумеровали порядок операций прямо как я вот так вот логическом выражении я запишу операция 1 2 3 четвертое и пятое последние а теперь самое интересное для таблицы истинности которые состоят из трех переменных заполнять значение переменных нужно примерно так же точно так же как мы делали для двух но опять же начиная с столбца с самого правого самый правый столбец до операции переменная c мы ее будем заполнять как и ранее а чередуя нули и единички через 10 10 10 10 1 2 переменная которая находится в столбце чуть левее заполняется чередуясь нулями и единицами по два знака 0 0 1 1 0 0 1 1 переменная 3 которая у нас последнее эта переменная а самом первом столбце будет чередоваться уже по 4 знака или у чередования всегда увеличивается в два раза то есть здесь будет 4 0 и 4 единицы нетрудно догадаться если переменах будет больше например будет 4 то следующая переменная которая бы стояла раньше она бы чередовалась уже по восемь нулей и 8 единиц и так а в самом первом столбце операций мы должны выполнить операцию умножения переменной а на переменную b операции умножение выполняется точно также как и в математике при умножении на 0 все будет равна нулю а 1 умножить на 1 будет равно 1-му поэтому я так и запишу умножая 0 на что угодно первые четыре строчки у меня будут однозначно 0 я запишу 0000 дальше я буду умножать переменную а которая равна единице на значение b следующей строке и нагрев двух строчках переменная b будет также равна нулю поэтому 0 умножая на единицу я получу еще два нуля и две последние строки 1 умножается на 1 получаем один и еще раз один умножается на 1 получаем 1 мы заполнили первую операцию вторая операция это уже умножение переменной а на значение переменной b то есть первое значение 100 столбец и значений из 3 столбца 0 умножая опять же на кого угодно мы получим 40 а как в первом столбце если я обнажаю единицу на 0 я получаю 50 iq единицу на единицу 1 единицу на порой значение 0 у нас получится 0 единицу на единицу получим 1 операция 3 эта операция умножения значения переменных столбца b и значений переменной c это второй и третий столбец точно также 0 умножая на калугу на будет ноль и единицу на единицу 1 итак 0 умножить на 0 0 0 на 1 0 1 на 0 0 1 на 1 единица 0 на 0 0 0 на 1 0 1 на 0 0 и последняя строчка 111 операция 4 эта операция которая складывать значение первой операции и операции 2 то есть вот эти два столбца с переменной которые обозначены цифрами 1 и цифрой 2 при сложении вы выбираете всегда наибольшее число то есть если были нули мы оставляем равное нулю но как только встречается хотя бы одна единичка значение логического сложения будет равно 1-му здесь легко видеть что практически ну значит нас получается пять первых строчек будет равны 0 и к потому что 0 складывается с нуля значит следующая строка у нас 6 будет получается и 7 и 8 будут равны единичка потому что там встречаются единицы и операция 5 последние она должна будет сложить значения всей вот этой вот большой 4 операции посчитаны в предыдущем столбцы и значение операции 3 которая записана в цэлт c под номером три при сложении я напомню нужно будет выбирать наибольшее итак ноль плюс ноль ноль ноль плюс ноль ноль ноль плюс ноль ноль один плюс ноль один ноль плюс ноль ноль ноль плюс 110 плюс 11 и 1 плюс 1 1 я напомню что при сложении двух единиц в алгебре логики получается один потому что в ней не существует других значений кроме 0 единиц и то есть истина единица и ложь 0 последний столбец который мы получили это столбец результирующий тех значений которые нам были нужны вот таким образом строится таблица истинности для логических выражений состоящих из трех логических переменных спасибо за внимание