Функция у=х^,её свойства и график

[музыка] тема урока функция y равно k x в квадрате ее свойства и график на этом уроке мы познакомимся с квадратичной функции вида y равняется к x в квадрате и и свойствами рассмотрим принципиальные примеры когда k меньше 0 и к больше 0 и увидим закономерность построения графиков функций для таких двух случаев рассмотрим функцию y равняется к x в квадрате при значениях к равно единице к равно 2 и к равно 1 2 составим таблицу значений для каждой функции y равняется x в квадрате y равняется 2 x в квадрате y равняется 1 2 x в квадрате из таблицы легко заметить такую закономерность для всех значений аргумента x значение функции y равно 2x в квадрате в два раза больше чем значение функция y равняется x в квадрате а значение функция y равняется 1 2 x в квадрате в два раза меньше чем у функции y равняется x в квадрате изобразим в одной системе координат графики всех трех функций y равняется x в квадрате y равняется 2 x в квадрате y равняется 1 2 x в квадрате очевидно графики рассматриваемых функций похожий каждый из них называются параболой при этом точку с координатами 00 называют вершины параболы а ось y осью симметрии параболы также для любой другой функции вида y равняется к x в квадрате при значении к больше нуля графиком является парабола с вершины в начале координат ветви которой направлены вверх причем тем круче чем больше коэффициент к то есть коэффициент к показывает степень кривизны во сколько раз растягивается или сжимается график функции y равняется к x в квадрате ось y является осью симметрии параболы кратко осью парабола выясним как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента к построим например график функции y равняется минус x в квадрате к равно минус единица и график функции y равняется x в квадрате к равно единице в одной системе координат составим таблицу значений этих двух функций как видим из таблицы значение функция y равняется минус x в квадрате отличаются от значений функция y равняется x в квадрате только знаком это говорит о симметрии графиков функций относительно оси x поэтому график y равняется минус x в квадрате получаем из графика y равняется x в квадрате отражая его симметрично относительно оси x вообще график функции y равняется минус f от x симметричен графику функции y равняется f от x относительно оси абсцисс на рисунке видно что построены график функции y равняется минус x в квадрате это тоже парабола с вершиной в точке 0 0 ось y и ось симметрии параболы но ветви ее направлены вниз так же обстоит дело для любой другой функции вида y равняется к x в квадрате при отрицательных значениях коэффициента к и так графиком функции y равняется к x в квадрате при значениях к не равна нулю является парабола с вершины в начале координат ось y является осью параболы ветви параболы направлены вверх при к больше 0 и вниз при k меньше 0 опишем свойства функции y равняется к x в квадрате приказ больше нуля опираясь на график парабола с ветвями направленными вверх касающаяся оси x в точке 0 0 область определения функции вся числовая прямая то есть x принадлежит от минус бесконечности до плюс бесконечности действительно любое число можно возвести в квадрат y больше 0 3x не равным нулю весь график расположен выше оси x y равно нулю при x равно нулю точка касания графика с осью x вершина параболы функция убывает при x меньше или равно нулю функция возрастает при x больше или равно нулю наибольшее значение функции не существует наименьшее значение функции достигается при x равно нулю функция непрерывна функция ограничено снизу и не ограничена сверху функцию называют ограниченной снизу если все ее значения больше некоторого числа или геометрически график функции расположен выше некоторые прямой параллельной оси x область значений функции луч от 0 до плюс бесконечности или y больше или равно нулю функция выпукло вниз на примере один найдем наибольшее и наименьшее значение функции y равняется 2 x в квадрате на отрезке от минус 2 до минус единицы для удобства изобразим график данной функции на отрезке от минус 2 до минус единицы функция монотонно убывает в диапазоне от in greek равно 8 до y равно 2 то есть наименьшее значение y при минус единица равно 2а наибольшая y при минус 2 равно 8 выделим теперь основные свойства функции y равняется к x в квадрате при k меньше 0 опираясь на ее график парабола с ветвями направленными вниз касающиеся оси x в точке 0 0 область определения функции вся числовая прямая то есть x принадлежит от минус бесконечности до плюс бесконечности y меньше 0 когда x не равно нулю весь график расположен ниже оси x функция равна нулю при x равном нулю функция возрастает при всех не положительных значениях функция убывает при всех неотрицательных значениях x наименьшее значение функции не существует наибольшее значение функция достигается при x равном нулю y наибольшее равно y от 0 равно нулю функция непрерывна функция ограничена сверху и неограниченно снизу функцию называют ограниченной сверху если все ее значения меньше некоторого числа или геометрически график функции расположен ниже некоторые прямой параллельной оси x область значений функции луч от минус бесконечности до 0 функция выпукло верха решим пример 2 необходимо изобразить схематически графики функций y равняется минус x в квадрате где k равно минус единица y равняется минус 4 умноженное на x в квадрате где k равно -4 и y равняется -1 4 умноженное на x в квадрате где k равно минус 1 4 построим указанные графике это параболы а так как их коэффициенты отрицательны ветви их направлены вниз мы знаем что коэффициент к показывает степень крутизны параболы получаем что относительно графика функции y равняется минус x в квадрате степени крутизны графика функции y равняется минус 4 на x в квадрате выше в 4 раза аналогично для графика функции y ровняя минус 1 4 умноженное на x в квадрате степень крутизны в 4 раза меньше относительно графика функции y равняется минус x в квадрате и так мы изучили свойства функции при отрицательных и при положительных значениях к построили графики соответствующих функций и выяснили что от коэффициента к зависит скорость устремления ветвей параболы вверх к больше нуля или вниз к меньше 0 [музыка]