Свойства функций

здравствуйте тема данного видеоурока свойства функции в этом уроке мы повторим с вами некоторые свойства функции которые мы изучали ранее пусть у нас за дана функция y равна f от x на некоторые множестве x и язык большого и первое свойство функция y равна f от x называется возрастающей если выполняется следующее если из того что x1 больше x2 следует что значения функции в этих точках f1 f от x 1 больше чем f от x 2 иначе говоря большему значению аргумента соответствует большее значение функции аналогично вводится понятие убывающей функцией функцию убывающая если из того что x1 больше x2 следует что f от x 1 наоборот меньше чем f от x 2 или иначе говоря большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции давайте рассмотрим пример пусть нас функция y равна 1 минус 2x исследуем ее на монотонность возьмем некоторое x1 который больше x2 и найдем разность f от x 1 минус f от x 2 чему будет равняться f от x 1 значит в это выражение вместо x ставим x 1 будет 1 минус 2 икс один минус f от x 2 минус 1 плюс 2 x 2 минус 1 плюс 2 x 2 единицы у нас взаимно уничтожатся вынесем минус 2 за скобку скобках останется x1 уже будет минус x 2 теперь давайте посмотрим на это выражение так как x1 у нас больше чем x2 то вот эта скобка положительно но положительное число умножается на отрицательное число минус 2 значит результат будет отрицательным меньше 0 таким образом мы получаем что f от x 1 минус f от x 2 меньше 0 или f от x 1 меньше чем от f от x 2 а это означает что данная функция будет убывающей рассмотрим следующие свойства пусть у нас также за дана функция y равна f от x эта функция говорят ограничена сверху если выполняется следующая если найдется такое число m что f от x меньше равно m для всех x из области определения аналогичная функция y называется ограничено снизу если найдется такое число что f от x для всех иксов больше о ночи это число m дать рассмотрим пример пусть назад именно такая функция y равная корень из x минус 3 будет ли эта функция ограничены давайте посмотрим наименьшее значение которое может принимать корень из x а это ноль значит наименьшее значение всей этой функции это 0 минус 3 минус 3 получается что для всех значений икса у нас y больше rave чем -3 тогда эта функция ограничено снизу рассмотрим ещё один пример пусть у нас теперь заданная функция y равно минус x квадрат плюс 4x минус 5 будет ли эта функция ограничены мы знаем что это у нас пара была на ветви которой направлены вниз и наибольшее значение она принимает вершине тогда чтобы найти вершину мы пользуемся таким выражением это будет равняться 4 деленное на 2 2 тогда y будет равняться подставляем двойку это будет минус 4 плюс 8 минус 5 минус 1 значит данная функция при всех значениях x а удовлетворять следующим неравенство y будет меньше равно чем -1 тогда эта функция будет ограничена сверху следующие свойства эта четность функция y равна f от x называется четный если выполняется следующее если f от x равняется эф от минус x для все значения икса из области определения иначе говоря что если мы поменяем знак аргумента функции от этого не поменяется если у нас функция определена в точке x для четной функции то она должна быть определена и в точке минус x тогда это означает что область определения должна быть симметричны множеством аналогичная функция f от x будет нечетное если выполняются следующие если f от минус x будет равняться минус f от x то есть есть мы поменяем знак аргумента то функция меняет свой знак в этом случае функция нечетная напомню что четная функция и ее график симметричен относительно осей и y а нечетная функция график симметричен относительно начала координат давайте рассмотрим пример пусть у нас есть функция эрик равная 2 x в кубе проверим будет ли эта функция четной или нечетной для того чтобы проверить чётность первым делом смотрим на область определения данном случае область определения от минус бесконечности до плюс бесконечности то есть это симметричное множество тогда имеет смысл проверить вот это выражения найдем вход минус x это значит сюда вместо икса мы ставим минус x это будет 2 умножить на минус x кубе минус кубе это все равно минус остальное остается 2 x купить ну если мы минус оставим то выражение 2x кубе и то есть сама функция то есть это минус f от x значит эта функция будет нечетный рассмотрим ещё один пример пусть у нас есть функция эрик равная 1 деленное на x минус 1 посмотрим на область определения область определения данной функции это будет все числовое множество кроме точки 1 тогда мы смотрим на это множество мы видим что относительно 0 1 несимметрично потому что справа у нас . 1 вы кого-то а слева . 1 не вы кого-то это множество несимметрично тогда ней можно не проверять данную функцию на четность или не четность а сразу сказать что она не является ни четной не нечетные рассмотрим последний пример пусть у нас функция следующего вида эрик равная 1 деленное на x квадрат минус 1 плюс x в четвертой степени и надо исследовать ее на четность или нечестность найдем и сначала область определения аббас определения будет являться числа от минус бесконечность плюс бесконечности кроме x равна плюс минус 1 или если я изображу это на числовой прямой это будет следующим образом здесь у нас 0 . 1 вы кого-то и . -1 вы кого то тогда относительно нуля область определения симметрично значит имеет смысл проверять эту функцию отчетность или нечестность найдем значение f от минус x подставляем получим единице минус x в квадрате минус 1 плюс минус x в четвертой степени но минус в четной степени даст плюс таким образом это будет один на x квадрат минус 1 плюс x в четвертой степени а это есть f от x значит у этой функции области определения симметричное множество и f от минус x равняется f от x значит эта функция будет четной на этом данный урок окончен [музыка]