Определение производной

здравствуй тема данного видеоурока определения производной давайте рассмотрим график некоторой функции y равна f от x здесь у нас ось x ось y возьмем значение этой функции в некоторой точке x соответствующее значение функции это f от x дадим аргументу x приращение получим точку x плюс дельта x а значение функции соответствующие будет f от x плюс дельта x теперь если мы будем постепенно уменьшать вот это приращение то есть . x + 2x у нас будет все время смещаться сюда тогда соответствие зачем функция тоже будет стремиться к f от x рассмотрим приращение функции дельта y при вращении функция это разность значений функции в точке x плюс дельта x и f от x теперь рассмотрим вот такой предел будем устремлять дельта x к нулю то есть постепенно его уменьшать и найдем отношение приращения функции приращение аргумента так вот согласно определению приращение функции отношение приращения функции к приращению аргумента когда это приращение стремится к нулю называется производной функции и обозначается как y штрих давайте рассмотрим пример пусть у нас есть функция y от x равна и x графики как мы знаем это просто прямая дадим прижечь аргументу x некоторые превращение x плюс дельта x и найдем значение функции в точке x плюс дельта x то есть сюда вместо икса мы должны поставить x плюс дельта x это будет x плюс дельта x отсюда мы можем найти приращение приращение функции это разность вот этого значение и вот этого мы получим дельта x а теперь найдем предел дельта x стремится к нулю отношение приращения функции к приращению аргумента как мы сказали по определению это есть производная это будет равняться предел дельта x стремится к нулю дельта y мы вычислили равняется дельта x делим на дельта x dx деленное дельта x сокращается получаем 1 значит этот предел будет равняться одному значит производной этой функции равняется 1 так как у нас y это x то мы можем записать первая формула производная икса это единица рассмотрим теперь вот такую функций пусть у нас есть прямая y равна и к x плюс b это у нас y от x найдем y от x плюс дельта x то есть найдем значение функции точки в точке x плюс z и x мы получим к вместо икса ставим x плюс дельта x плюс b теперь найдем превращения превращение это разные соответствующего от этого значение и вот этого если мы распишем мы получим что kx уничтожится ска xd уйдет бы останется к дэльта икс тогда предел при дэльта икс стремящейся к нулю от отношения приращения функции к приращению аргумента дельта x будет равняться как а это означает что производная данной функции будет равняться как иначе говоря производной от kx + b будет равняться к хотя рассмотрим пример попробуем найти производные функции и рекламные x квадрат для этого y штрих у нас равняется предел дельта x стремится к нулю а вот отношение приращения функции к приращению аргумента приращение функции это будет значение функции в точке x плюс дельта x в квадрате минус значение функции в точке x x квадрате деленный на дельта x давайте преобразуем данное выражение раскроем квадрат мы получим что x квадрат минус x квадрат уйдет останется 2 x дельта x плюс дельта x квадрате деленное на дельта x мы можем сократить на дельта x тогда здесь у нас уйдет dtx здесь идет квадрат здесь будет дельта x останется 2 x плюс bx если дельта x стремится к нулю это останется 2 x таким образом мы получили что производная от x квадрат равняется 2 x давайте рассмотрим другой пример найдем производную функции y равен единице x также находим предел дельта x стремится к нулю y от x плюс дельта x значит вместо икса оставлю x плюс x минус 1 на x деленная на дельта x преобразуем это выражение здесь надел общий знаменатель и этот знаменатель отправим вниз общий знаменатель будет x на x плюс дельта x умноженное на дельта x этого то дельта x сверху получим икс минус икс минус дельта x теперь икс минус икс у нас взаимно уничтожается дельта x сокращается с дельта x тогда сверху мне останется просто -13 дельта x стремящемся к 0-лю у нас вот это будет 0 останется минус 1 деленное на x умноженное на x то есть -1 на x квадрат таким образом мы получили что единица деленное на x производная это -1 на x-квадрат производное имеет несколько важных приложений первая из них это следующая пусть у вас есть некоторое тело которое движется согласно закону y равна и с от их то есть это некоторая функция тогда скорость этого тела будет находиться как производная этой функции то есть скорость тела есть лишь штрих от x таким образом зная как движется тело мы можем найти с помощью производной его скорость второй смысл производной это геометрический пусть у нас есть некоторая функция y равна f от x и пусть к некоторой точке этой функции мы хотим провести касательную прямую это касательно прямая наклонена к оси x под некоторым углом альфа так вот производная этой функции в точке касания пусть это . скажем x 0 то есть производная функции f от x точке x0 и то есть тангенс угла наклона соответствующий касательной в этом заключается геометрический смысл производной на этом данный видео урок и хочет