Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

здравствуйте тема данного видео урока и разложение вектора по данным не коллинеарны виктора для начала давайте докажем следующую лемму кстати ли мы называется некоторые вспомогательной теоремы наша лема следующее что если у вас есть 2 коллинеарные вектора то можно представить один из них можно представить в виде некоторое число к умножено на другой вектор точно так же мы можем сказать что вектор a равняется некоторое число х умноженное на вектор b давайте это докажем если у нас два векторы коллинеарны то у нас возможны два случая а именно они со направлены либо противоположно направлены рассмотрим первый случай они со направлены тогда возьмем число к равное следующему равное длине вектора b день деленная на длину вектора а это у нас не какое-то конкретное число и тогда вектор b действительно можно представить в таком виде давайте проверим как умножить на вектор а мы получим вот такой вот вектор этот вектор так как число к у нас положительность сон направлен с вектором b теперь найдем длину этого вектора то есть найдем длину такого вектора к а если это вина кажется равна длине vectra b получается эти два вектора со направлены и имеет одинаковую длину значит они действительно равны мы знаем по определение что это будет длина модуль к умножить на длину вектора но длина модуль к это длина вектора b делена длину вектора а умножаем на длину вектора а это сокращается это будет длина вектора b таким образом эти два вектора вот этот вектор и вектор b сон оправленный имеет одинаковую длину значит они равны это действительно b равняется вот этому вектору k умножить на что я требую заказать второй случай оказывается практически аналогично когда виктора противоположно направлены единственное отличие что отличие что в этом случае мы берем к равное минус и тоже самое попробуйте дальнейшие доказательства проделать сами доказывается аналогично таким образом для двух календарных викторов один из них всегда можно представить в виде k умножить на вектор на другой вверх пусть она заданы три вектора а бойцы говорят что вектор c разложен по векторам а и б если он представлен виде некоторое число x на вектор а плюс некоторое число y на вектор b тогда говорят что числе cтарт цель разложен по векторам а и b x и y называется коэффициентами разложения докажем следующий теорему любой вектор на плоскости можно разложить по двум данным не коллинеарны виктором то есть представить в виде x плюс y б где они коленями вектру б причем коэффициенты разложения и xxi века определяется единственным образом то есть у нас есть вектор некоторые а не коллинеарны ему вектор b есть произвольный вектор c которые нам нужно разложить по этим двум векторам для того чтобы доказать мы рассмотрим два случая первый случай довольно простой когда вектор c коли не ори одному из этих векторов например вектору а то есть вектор c кольнем вектору а вот только что доказанной lime мы можем вектор c представить в виде к умноженное на а если мы добавим к этому 0 умноженное на вектор b от этого ничего не изменится но получается что мы вектор c разложили по векторам а и b что это ребус доказать данном случае коэффициенты разложения это к и 0 теперь рассмотрим второй случай второй случай когда вектор c николини аррен вектору а и и не калинин вектору b в этом случае делаем следующее берем нектар точку от него откладываем вектор а от него же откладываем вектор b и вектор c надо попробовать разложить вектор c по этим двум векторам поступать следующим образом через конец vectra c проводит прямую которая параллельна прямой параллельно вот этому вектору продолжаем прямую которая содержит вектор b и они пересекаются в некоторой точке теперь давайте обозначим эту точку а b и c тогда вектор c мы можем представить в виде вектор a b плюс вектор bc ну вектор а б у нас калинин вектору b потому что они лежат на одной прямой вектор bc калине аррен вектору а потому что эти две прямые параллельны таким образом и вектор b и вектор bc мы можем выразить через а и b допустим вектор bc выражается коэффициенты икс а вектор а б с коэффициентом y таким образом вектор c мы разложили по двум не коллинеарны виктором что и требовалось доказать теперь как я сказал коэффициенты разложения определяется единственным образом то есть нам нужно доказать что нет других чисел x y которая дает нам вот такое равенство доказывается это от противного предположим что есть и другое разложение другими коэффициентами то есть вектор c мы можем представить в виде некоторые x1 а плюс некоторые y 1б теперь найдем разность этих двух выражений давайте перейдем сюда слева у нас получится вектор c минус вектор c это у нас нулевой вектор равняется x а минус x1 а мы можем вылез вынести вектор а будет икс минус икс один а плюс аналогично игрек минус игрек один б тогда мы можем отсюда выразить допустим вектор а и вектор а будет равняться игрек минус игрек один деленное на x 1 минус x умножить на вектор b мы просто перенесли и разделили на коэффициент и забыли про знак минус таким образом у нас вектор а представляется в некоторое число умноженное на вектор b причем это число не 0 потому что у нас видеть коэффициенты различные ну тогда получается вектор а коли не ори вектору b а у нас полуслове вектор a и b не коллинеарны поэтому это невозможно то есть мы пришли в противоречие значит коэффициенты икс игрек определяется единственным образом и того любой вектор на плоскости можно разложить по двум данным не коллинеарны виктором причем коэффициенты разложения определяется единственным образом давайте рассмотрим такой пример пусть у нас есть параллелограмм abcd пусть вектор а б у нас равен вектору а и вектора d равен вектору b давайте отметим на стороне b цвет середину допустим е и попробуем выразить вектор b и скажем е д и например а.е. через вектора а и b смотрим вектор a и b у нас не коллинеарны естественно они не корням они исходят из одной точки и не лежат на одной прямой значит под предыдущей теореме мы можем выразить все эти вектора через эти два вектора причем коэффициенты разложения будут единственными начнем с вектор b и вектор b и выражается очень легко так как и мы сказали это серединка если она середина тут длина б и в два раза меньше чем pc а в вектор bc равен вектору b таким образом бы ей это половина вектора b но мы хотим выразить еще через а поэтому у а будет коэффициент просто ноль то есть это 0 на вектор а плюс 1 2 на вектор b вот мы выразили вектор b и попробуем выразить вектор еды как можем выразить вектор еды его мы можем выразить различными способами один из них следующий иди будет равняться и c + cd вектор яйце плюс вектор cd чему будет равняться вектор яйце он как и вектор b и это равняется 1 2 б чему равняется вектор cd вектор cd мы видим что он противоположный к вектору а то есть он равняется минус вектор а таким образом еды мы снова выразили через вектора а и b коэффициент разложения данном случае -1 и 1 2 и осталась вектор ае ае мы можем выразить через а b&b и либо можем выразить через например ad&d и давайте в данном случае легкий способ это а b&b и потому что у нас известно иа b&b и но я хочу давайте попробуем сделать его через ad&d и то есть и это а.д. плюс вектор дает теперь вектор а.д. это у нас b теперь мне нужно вектор d и как я получу вектор d и у нас есть вектор d он равняется такому а вектор дай ему противоположны значит вектор d и я могу предстать как и тот же вектор только с противоположными знаками минус 1 2 б тогда минус минус будет плюс а отсюда легко получить что это будет а плюс 1 2 б такой же результат мы бы получили если вы пошли этим путем а b&b и таким образом вот мы выразили три вектора через два данных где коллинеарные вектора причем коэффициент у нас везде по теореме определяется единственным образом она этом данный видео урок окончен [музыка]