Разложение вектора по координатным осям

трехмерной системе координат рассмотрим вектор а с помощью параллельного переноса данный вектор мы можем перемещать в пространстве в любую точку да и мы будем получать вектор равный данным так вот переместим данный вектор а так чтобы его начальная точка совпадало с началом координат вот он мой вектор а из конечной точке вектора а опустим перпендикуляр на плоскость x y так затем из получил точки опустим перпендикуляр на ось x и на ось y мы получим вот . м1 и м2 но фактически мы получим что координаты конечной точки вектора u обозначим ее через м далее проекцию вектора а покажем на плоскость x y и еще опустим перпендикуляр из точки м на ось z и достроен до параллелепипеда сейчас я попробую нарисовать это более не менее красиво значит важно чтобы были параллельны и все ребра параллельные конечная точка вектора . м пусть ее координаты будут а x и y и z дело в том что координаты вектора а как мы находим координаты вектора а от координат конца отнимаем координаты начала так как у нас начальная точка с нулевыми координатами то координаты вектора будут совпадать с координатами точки м а x и y и z длина отрезка ум-1 это первое координаты точки м то есть m1a x om2 это а y и соответственно у m3 а это координаты точки м ну и соответственно координаты вектора вот а сейчас мы воспользуемся правилом треугольника сложение векторов вспомним его треугольники a b c произвольном треугольники a b c абэ вектор a b плюс вектор bc дает вектор a и b плюс bc дает вектор a ция значит легко запоминается вектор отце это а b плюс bc то из конечная точка первого слагаемого и начальная точка второго слагаемого должны совпадать вот этим правилом и сейчас будем пользоваться значит у нас вектор о.м. мы его сейчас выразим с помощью точке м 1 то есть это будет am1 плюс m 1 м а вот я воспользовалась правилам треугольником ну вот здесь когда буковку b2 буковки б вставили а здесь и безрукавки r1 вставляем вовнутрь да и получаю правило треугольника далее значит о м1 перепишу м1м м1м точно также выражать через вот эту точку n то есть это будет m1nd ктор м1м us ным так вот м 1 н вот он вектор м1м он равен om2 значит это коллинеарны из о направленные равные по длине вектор да то есть я могу записать что это ум-1 плюс am2 соответственно м м вот этот вектор до равен у m3 до равные по длине су направленный коллинеарны у m3 вот теперь рассмотрим координатные ульты это единичные векторы в направлении осей координат вектор и единичный вектор в направлении оси x вектор g соответственно вдоль оси y и вектор к вдоль оси z так вот вектор и это единичный вектор его координаты 100 то вектор j тоже единичные 2 координаты совпадают с конечными точками да и вектор can 001 так вот вектор ум-1 калине аррен вектору u es un оправе из о направлен ему и вот вектор ум-1 можно выразить через вектор и это будет вектор и умножить на а икс икс и om2 соответственно мы можем выразить через вектор g значит это будет а y и y g и у m3 так это а зетка z.com значит вектор u м который у нас равен вектору а это am1 то есть а x и плюс 12 а y джек и плюс х m3 other и что мы получили мы получили разложение вектора по артам и коэффициенты в этом разложение это координаты вектора а далее вспомним свойства диагонали параллелепипеда значит о.м. это диагональ этот квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров это о м 1 в квадрате плюс am2 в квадрате плюс х м 3 в квадрате m в квадрате это длина вектора а квадрате ум-1 это x соответственно в квадрате ан-2 это а y и am3 это азы соответственно модуль вектора а можно найти как корень квадратный из суммы квадратов его координат далее рассмотрим углы альфа-бета гамма углы которые образуют вектор ас осями координат то есть угол между вектором а и оси x будет альпам между вектором а и сию и drink угол бета и соответственно угол между вектором а и sized гамма значит я могу вот у меня есть здесь вектор а я могу сюда перенести оси координат так вот у меня ось y и вот соответственно угол берта так вот соответственно будет ось z так и угол гамму ну и ось x и вот он угол альфа так вот углы альфа-бета гамма называются направляющими углами вектора а а косинус и этих углов после массой по косинус b косинус гамма это направляющие косинусы вектора а если из конца вектора а и с . опустить перпендикуляр на ось y вот он будет а то у нас получится прямоугольный треугольник из которого можно выразить косинус бета значит косинус бэнда это прилежащий катет а это а y и y делить на длину вектора а на гипотенузу и длину вектора а аналогично косинус гамма это будет координата третья координата z делить на длину вектора а ну и косинус альфа первая координата x имеет на длину вектора если найти сумму квадратов направляющую 880 альфа плюс косинус квадрат в это плюс косинус квадрат гамма то мы получим a x-квадрат плюс a y квадрат плюс z квадрат делить на модуль вектора в квадрате так вот в числителе у нас модуль вектора а в квадрате делить на модуль вектора а в квадрате ну то есть мы получаем единицу значит сумма квадратов направляющих косинусов вектора u равно единице то есть если рассмотреть вектор от с ноликом то есть орт вектора а то есть единичный вектор в направлении вектора а то это будет вектор координаты которого о синуса ли по озеру спектр и косинус гамма