Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников

[музыка] правильны многоугольником называется выпуклый многоугольник у которого все углы равны и все стороны равны примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник многоугольник 1 и квадрат многоугольник 2 многоугольники 3 4 5 и 6 соответственно являются примерами правильного 5 6 7 и восьмиугольника зная что сумма всех углов такого н угольника равна произведению количества сторон уменьшенного на 2 и 180 градусов можно получить формулу для вычисления угла альфа innova правильного и наугольника разделив общую сумму на количество равных между собой углов докажем теорему об окружности описанная около правильного многоугольника около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну пусть a1 a2 a3 и так далее а.н. правильный многоугольник а точка пересечения биссектрис углов а3 и а2 докажем что отрезок оаодин равен х2 равен х3 и так далее равен а а.н. так как многоугольник правильный то угол а 2 равен углу a3 а значит угол 1 равен углу 3 отсюда следует что треугольник о a2 a3 равнобедренный и следовательно равные отрезки о а3 и а2 треугольник о a2 a3 и треугольник о а2 а1 равны по двум сторонам и углу между ними a2 a3 равен a1 a2 a2 о общая сторона и угол 3 равен углу 4 следовательно у а3 равен х1 аналогично можно доказать что он 4 равен h2o опять равен х3 и так далее таким образом мы доказали что точка о равноудалена от всех вершин многоугольника поэтому окружность с центром в точке о и радиусом оаодин является описанной около многоугольника докажем теперь единственность окружности рассмотрим какие нибудь три вершины многоугольника например a1 a2 a3 через эти три точки проходит только одна окружность то около многоугольника a1 a2 a3 и так далее а.н. можно писать только одну окружность теорема доказана теорему об окружности вписанной в правильный многоугольник любой и правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну пусть a1 a2 a3 и так далее а.н. правильный многоугольник о центр описанной окружности в ходе доказательства предыдущий теоремы мы установили что равны треугольники о a2 a3 а1 а2 и так далее о а один а.н. поэтому высоты этих треугольников проведенные из вершины а также равны то есть о age1 равно а аж два равно и так далее о h&n отсюда следует что окружность с центром o и радиусом а h1 проходит через точки h1 h2 и так далее h&n и касается сторон многоугольника в этих точках то есть эта окружность вписан а в данный правильный многоугольник докажем теперь единственность окружности предположим что наряду с окружности с центром o и радиусом а h1 есть и другая окружность вписанная в данный многоугольник тогда ее центр u1 равноудалена от сторон многоугольника то есть . а один лежит на каждый из биссектрис углов многоугольника и следовательно совпадает с точкой о пересечении этих биссектрис радиус этой окружности равен расстоянию от точки о до сторон нога угольника то есть равен а h1 таким образом 2 окружность совпадает с первой теорема доказана так как в равнобедренных треугольников о a2 a3 а1 а2 и так далее о один а.н. проведенные высоты а h1 и h2 и так далее а h n являются и медиа нами то имеем место следствия 1 нужность вписанная в правильный многоугольник касается сторон многоугольника в их серединных при доказательстве теоремы вписанное в правильный многоугольник окружности была установлена следствие 2 центр окружности описанные около правильного многоугольника совпадает с центром окружности вписанный в тот же многоугольник эта точка называется центром правильного многоугольника рассмотрим задание номер 3507 95 из открытого банка а.г. a b c d e f g h i правильный 9 угольник найдите угол е.а. и ответ дайте в градусах найдем угол правильного 9 угольника воспользовавшись выведенные формулой нахождения угла получаем что угол правильного unica равен 140 градусам рассмотрим выпуклый шестиугольник а.е. f g h i в нем четыре угла f g h i по 140 градусов оставшиеся углы равны между собой в силу того что 9 угольник правильный воспользуемся известной формулой для нахождения суммы углов выпуклого шестиугольника а.е. f g h i получаем что сумма углов выпуклого шестиугольника равна 720 градусов для нахождения искомого угла нужно найти половину разности 720 градусов и четырех углов по 140 градусов получаем что искомый угол равен 80 градусам