Существование плоскости,параллельной данной плоскости

[музыка] введем понятие параллельных плоскости определение плоскости которые не пересекаются называются параллельными параллельные плоскости альфа и бета обозначаются плоскость альфа параллельно плоскости бета любая конструкция с полом потолком и стенами дают нам представление о параллельных плоскостях пол и потолок как 2 параллельной плоскости боковые стены как параллельные плоскости теперь разберем признак параллельности плоскостей если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости паралельны сделаем чертеж и докажем его пусть альфа и бета данные плоскости а1 и а2 пересекающиеся прямые в плоскости альфа а b1 и b2 соответственно параллельны и им прим и в плоскости бета допустим что плоскости альфа и бета не параллельны то есть они пересекаются по некоторые прямой c прямая а один параллельна прямой b1 значит она параллельно и самой плоскости бета прямая а два параллельна прямой b2 значит она параллельно и самой плоскости бета по признаку параллельности прямой и плоскости прямая c принадлежит плоскости альфа значит хотя бы одна из прямых а один или два пересекает прямую c то есть имеет с ней общую точку но прямая c также принадлежит и плоскости бета значит пересекая прямую c прямая а один или два пересекает плоскость бета чего быть не может так как прямые а 1 и а 2 параллельно плоскости бета из этого следует что плоскости альфа и бета не пересекаются то есть они параллельны теорема doc зона разберем пример на применение данного признака три отрезка а1 а2 b1 b2 и c1 c2 не лежащие в одной плоскости имеют общую середину докажите что плоскости а 1 b 1 c 1 и а 2 b2c два параллельно докажем параллельность а 1б 1 и а 2 b2 рассмотрим плоскость проходящую через прямые а1 а2 и b1 b2 она существует и единственное так как прямые пересекаются в этой плоскости лежит четырехугольник а один b12 b2 диагонали которого точкой пересечения делятся пополам следовательно данный четырехугольник является параллелограммом по признаку параллелограмма значит а 1 d 1 и а 2 b2 параллельны аналогично доказывается параллельность b 1 c 1 и b2c два из вышеперечисленного следует что плоскости а 1 b 1 c 1 и а 2 b2c два параллельно по признаку параллельности плоскостей а теперь давайте разберем свойства параллельных плоскостей теорема первое если две параллельные плоскости пересекаются 3 та линия их пересечении параллельны доказательства пусть альфа и бета параллельная плоскости агама плоскость пересекающие их плоскость альфа пересекается с плоскостью гамма по прямой а плоскость бета пересекается с плоскостью гамма по прямой б линии пересечения а и b лежат в одной плоскости гамма и потому могут быть либо пересекающимися либо параллельными прямыми но принадлежат двум параллельным плоскостям они не могут иметь общих точек следовательно они параллельны рассмотрим теорему 2 отрезки и параллельных прямых заключенных между двумя параллельными плоскостями равны до скажем это свойство доказательства пусть альфа и бета параллельная плоскости а а и b параллельные прямые пересекающие их через прямые а и b можно провести плоскость эти прямые параллельны значит определяют плоскость причем только одну проведенная плоскость пересекается с плоскостью альфа по прямой а б а с плоскостью бета по прямой cd по предыдущей теореме прямые абэ и cd параллельны четырехугольник abcd есть параллелограмм у него противоположные стороны параллельны а раз это параллелограмм то противоположные стороны у него равны то есть b c равно а.д. рассмотрим еще одну теорему теорема 3 если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей то она пересекает и другую доказательства пусть плоскость альфа параллельно плоскости бета прямая пересекает плоскость альфа в точке а выберем в плоскости бета любую точку c через эту точку и прямую а проведем плоскость гамма так как плоскость гамма имеет с плоскостями альфа и бета общей точки a и c соответственно то она пересекает эти плоскости по некоторым прямым b и c который проходят соответственно через точки a и c по предыдущей теореме прямые b и c параллельны тогда в плоскости гамма прямая пересекает в точке а прямую б которая параллельно с прямой значит прямая пересекает и прямую c в некоторой точке б так как прямая c лежит в плоскости бета то . b является точкой пересечения прямой а и плоскости бета теорема доказана рассмотрим теорему 4 если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей то она пересекает и другую плоскость доказательства пусть плоскость альфа параллельно плоскости бета плоскости альфа и гамма пересекаются докажем что плоскости бета и гамма пересекаются проведем в плоскости гамма прямую а пересекающую плоскость альфа в некоторой точке б тогда по теореме 3 прямая пересекает и плоскость бета в некоторой точке а следовательно плоскости бета и гамма имеет общую точку а то есть пересекаются теорема доказана рассмотрим еще одну теорему теорема 5 через точку не лежащую в данной плоскости можно провести плоскость параллельную данный и притом только одну рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств пример номер один даны две пересекающиеся прямые a и b и . а не лежащие в плоскости этих прямых докажите что через точку а проходит плоскость параллельна я прям i'm a и b и притом только одна доказательства прямые а и b пересекаются по условию следовательно последствия из аксиомы а один эти прямые единственным образом определяют плоскость альфа известно что через точку а не принадлежащую плоскости альфа проходит единственная плоскость параллельная альфа то есть параллельная прямым а и б по теореме 5 пример номер два плоскости альфа и бета параллельны прямая m лежит в плоскости альфа докажите что прямая m параллельна плоскости бета доказательства предположим что прямая m пересекает плоскость бета в точке м тогда . им принадлежит плоскости альфа так как прямая m лежит в плоскости альфа и им принадлежит плоскости бета значит плоскости альфа и бета пересекаются но они параллельны по условия очевидно прямая m не пересекает плоскость альфа то есть параллельно ей итак на этом уроке мы рассмотрели возможные случаи взаимного расположения плоскостей в пространстве познакомились с понятием параллельных плоскостей и их основными свойствами изучили и доказали признак параллельности плоскостей