Трёхгранный и многогранный углы

здравствуйте здравствуйте уважаемые коллеги дорогие друзья давно не виделись я надеюсь вы хорошо отдохнули за это время сегодня мы продолжаем заниматься углубленным курсом геометрии для 10 класса и тема у нас многогранные углы забегая вперед я скажу что в основном то мы будем заниматься простейшем случае момент 3 gran нам углом ну максимум 4 grand тем не менее все таки познакомимся с общим понятием многогранного угла определение такое здесь достаточно трудно нарисовать адекватную картинку поэтому вы уж меня простите значит что делается есть плоский н угольник ну и вот там что-то сколько там у него сторон а еще имеется . ну дайте мы обозначим многоугольник a1 a2 a3 и на этом кстати говоря может все закончится то есть этот многоугольник является треугольника ну вот здесь вот вершина а м которая в принципе может закончиться на тройке я имею ввиду число n а так вот есть плоский многоугольник то-то важно в данном случае и а ну курник где м ясное дело натуральное число начинающиеся с 3 а еще есть . о которой не лежит в плоскости этого и ну бой ника я ее нарисовал выше это совершенно неважно а дальше делается вот что проводятся всевозможные лучи которые пересекают ну вот луч может через точку о луч может пересекать сторону может проходить через вершину причем это именно луч на то есть он бесконечный вниз так сказать условно может пересекать во внутренней точке ну тогда вот мы считаем что его не видно вот в какой-то внутренней точке он пересек от ногу угольник дальше в какой-то момент его видно и так далее то есть мы рассматриваем объединение всех лучей я слова объединения заменю значком объединения а точку я поставлю x объединение всех лучей weeks где x принадлежит многоугольнику а1 а2 и так далее м называю это многогранном углу вот такое хитрое определение скобках я напишу что в нам случае emgrand ну надо понимать что все эти лучи вы объединения они что собственно дают во-первых они захватывают весь контур нашего многоугольника то есть пересекают для любой точки на границе это многоугольника есть луч который проведем через точку о эту точку границы но вот у меня тут одна . границы есть рассматриваются естественно все точки а раз мы еще через каждую точку x которая внутри лежит проводим такой луч то мы что получаем объединение получаем следующую вещь здесь ли я дать мне немножко . ведь мешает проведу еще лучше через a2 a3 ну через а3 можно уже не проводить то у меня тем самым для точек которые лежат на стороне а1 а2 скажем и точно так же на 2 3 и так далее за метается целиком плоский угол вот эти плоские углы которые получаются но вот например плоский угол а1 и а2 с вершины у этих плоских углов and штук правда каждый из этих плоских углов естественно он рассматривается вместе со внутренностью потому что объединение лучей которые пересекают скажем сторону а1 а2 от вершины до вершины до пробегая всю эту сторону они заметают полностью внутренности этого угла то есть угол у нас рассматривается со внутренностью эти углы называются гранями многогранного угла вот их м штук а еще их иногда называют плоскими углами многогранного угла и такая и такая терминология приемлемо то есть это синоним говорят либо грань либо плоский луг дальше лучи которые проходят через вершины нашего многоугольника ну o1.ua два и так далее уоян называются рёбрами многогранного угла . о называется вершиной многогранного угла ну и понятно что вся внутренность вот этого объекта который мы назвали многогранным углом она тоже заполнена этими лучами целиком то есть это не просто набор граней а внутри пустота да мы рассматриваем месте с внутренней областью многогранный угол может быть выпуклым но вот как на моей картинки если исходный плоский многоугольник не выпуклый ну в соответствии с общим определение выпуклости многоугольника то соответствующий ему многогранный угол тоже будет не выпуклым но мы такие углы в нашем курсе рассматривать не будем более того дополнение многогранного угла до всего пространства ну то есть вот взяли этот многогранный угол выбрось это из пространства что-то осталось мы тоже не будем считать многогранным углу это такая договоренность то есть можно договориться считать можно договориться не считать мы с вами договоримся не считать это дополнение до всего пространства многогранного угла не считать тоже многогранному что же такое исходя из общего определения трехгранный угол как он выглядит это совершенно понятно тут есть вершина о или с неважно соответствующий плоский многоугольник это треугольник a1 a2 a3 трехгранный угол не бывает ни выпуклым потому что нет ни выпуклых треугольник соответственно у него три грани вершина это . а только этот многоугольник естественно вспомогательными и он нужен только для того чтобы правильно определить этот объект тем не менее его часто рисуют иногда специальным образом выбирают для того чтобы что-то там доказывать него три грани поэтому она называется трехгранный углом вот это вот трехгранный ну не трудно догадаться что ты и гранный угол можно получить следующим образом взять тетраэдр то есть произвольную треугольную пирамиду о a1 a2 a3 да и продолжить три ребра выходящие из одной вершины и рассмотреть ту область которую получается вместе со внутренностью вот так можно представлять все трехгранный лук причем кстати говоря сена берем вот тетраэдров то из него можно устроить сколько три огромных углов ну столько сколько вершину тетраэдра правильно можно устроить четыре разных 3 грантах угла вот один из них нарисован теперь давайте обсудим некоторые важные свойства три огромных углов давайте я эти свойства выпишу сразу же мы будем говорить о величинах плоских углов да а потом будем еще и говорить о видеть о величинах 2 бранных углов трёхгранная угла что такое двугранный угол 3 гранова угла это двугранный угол образованный двумя соседними гранями две соседние грани образуют если продолжить эти полу плоскости они образуют двугранный угол соответственно у него есть линейный угол соответствующей величины и так далее давайте мы договоримся делать так вот ведем стандартное обозначение которые в дальнейшем будем использовать всегда вершину все-таки принято обозначать буквой s чаще всего так делается соответственно где то есть точки a b и c они нужны лишь ровно для того чтобы этот трехгранный угол назвать с а bc чтобы времени писать два слова трехгранный угол трехгранный угол я буду сокращать так ты у договорились да теперь давайте сделаем вот как напротив луча с.а. пусть лежит плоский угол величины альфа напротив именно напротив соответственно на против sb лежит плоский угол вот тот который сзади бетах наконец напротив sc лежит вот этот угол а с.б. мы его назовём гамма величины же двух данных углов ну вот я рисую линейные углы соответствующих двух равных углов вот этот угол мы будем обозначать а не смотря на то что обозначение совпадает вроде бы вот с точкой на луче из контекста всегда ясно что имеется в виду поэтому не смущайтесь что два разных объекта обозначены одинаковые буквы это традиция такая ну аналогично если нарисовать плоский угол то вот этот угол будет b езди здесь нарисовать плоский угол двугранного линейный угол до лучше говорить в плоский углы у нас вот эти на линейную мы нарисуем a b c и так в дальнейшем договоримся что обозначение плоских углов альфа-бета гамма вот такие альфа напротив ребра с а и так далее а обозначение 2 раны huglu фоне нам все равно потом понадобятся это такие же как обозначение точек на лучах то есть ребром двугранного угла величины а является луч с а ну на самом деле точно можно продолжать это не очень важно и так вроде бы мы договорились со стандартных обозначения некоторые свойства пока не все первое свойство состоит том что величина любого плоского угла 3 гранова угла меньше скумы величин остальных плоских углов то есть это напоминает неравенство треугольника правда только для углов каждый плоский угол меньше суммы двух других вот это первое свойство второе свойство ой что я здесь написал величина сумма величин всех плоских углов 3 гранова угла меньше уходите в градусах хотите в радианах ну дайте в градусах меньше чем 360 градусов или если в радианах ту меньше вот два свойства плоских углов трехгранный ну мы их разумеется 2пи конечно спасибо мы их разумеется будем доказывать но прежде чем заниматься доказательством хотелось бы вас предостеречь от довольно распространенного заблуждения которая состоит вот в чем обычно когда вот это вот рассказываешь то говорят ну что тут такого свойств едва она же совершенно очевидно потому что 360 градусов это вот весь сказать полный плоский угол а у нас сумма величин ну вот давайте так я нарисую картинку до что обычно говорят дайте им время возьмем точки a b и c а дальше обычно говорят следующий дать спроектируем вершину на плоскости bc ортогонально что то что можно выбрать плоскость a b c так что проекция вершины попадет внутрь это оказывается в общем не очень сложно можно выбрать а тогда вот скажем получилось . из 1 соответственно дальше говорят следующие ну понятно что вот скажем угол альфа и его проекция вот это вот альфа-1 таковы что альфа меньше чем альфач ну аналогично бы это меньше чем в это один гамма меньше чем гам один сложили эти три неравенства и тогда у нас получается что здесь в сумме 360 градусов и вот она пожалуйста вам утверждение в чем здесь ошибка доказательство это ошибочная принципиально ошибочная но не все это понимают и в общем для того чтобы это понять глубоко нужно продемонстрировать следующую вещь что ортогональная проекция плоского угла на некоторую плоскость вовсе не обязательно удовлетворяют вот этому не нравится вообще да это несколько противоречит интуиции правда ну вроде казалось бы вот взяли угол спроектировали на плоскость проекций а должна увеличиться я вам сейчас приведу контрпример ну это нужно сделать для того чтобы вы не впадали в заблуждение что вот второе свойство совершенно тривиальные доказывать там ничего пока формулировки двух этих свойств пусть остаются а мы давайте рассмотрим некую конструкцию но ее довольно трудно запомнить поэтому извините я просто вот сейчас возьму есть плоскость некая из точки а вне этой плоскости проведены перпендикуляр к ней который мы назовем а у и две наклонные авиации так теперь я подсоединяю то есть собственно говоря мы будем рассматривать проекцию угла bc вот этого на нашу плоскость вот она проекция б отцы ортогонально и продемонстрируем что возможно вот бывает такое что угол b и c больше чем угол бы отце на первый взгляд это не укладывается в мозгах да тем не менее такая патология возможно пример пример стоит следующим давайте зададим такие вот длины отрезков было пусть будет единица co2 корня из 2 ну понимаете числа подбирались специально поэтому вы не удивляйтесь что они вот такие не всегда так бывает угол было c 45 градусов вот этот ведь была у нас единица co2 корни из двух но я не буду наверное подписывать это на чертеже вот все написано что нужно сделать дайте найдем наибольшую возможную величину угла бы ация решая эту задачу мы с вами покажем что этот максимум может оказаться больше чем 45 градусов ну давайте это будем делать что мы можем сотворить давайте а у будет скажем x лад чтобы я не запутаться я подпишу где у меня что здесь была единица здесь вот co2 корня из 2 угол 45 градусов есть соответственно у нас вот есть два прямоугольных треугольника б л и ц о из которых она еще один треугольник bfc которые нас очень интересует который вообще говоря не является да мне прямоугольным не равнобедренным никаким соответственно нам нужно найти вот этот угол ну давайте угол бы оце как-нибудь назовем уфе что ли попробуем попросту найти какую-нибудь тригонометрическую функцию этого угла ну что можно сделать конечно напрашивается теорема косинусов правда почему потому что из двух прямоугольных треугольников мы найдем величины отце и о бы до длины вот этих вот отрезков я редко поворачиваюсь извините андрей совершенно прав в теореме косинусов найдем bc значит мы по теореме пифагора найдем отце и абы что у нас есть дабы это квадратный корень у нас эта гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами x и 1 значит это квадратный корень из x квадрат плюс один теперь отцы это тоже гипотенуза прямоугольного треугольника здесь в квадрате 2 корня из 2 это будет 8 значит это корень квадратный ну ок отеки у них общие 2 x это x квадрат плюс 8 так ну всем понятно написано теорема пифагора я не буду это писать до теперь теорему косинусов применяем к треугольнику бы отцы что у нас получается в c в квадрате есть а b в квадрате плюс а в квадрате минус 2 а бы нация и на косинус угла fe давайте подставим значение которой у нас тут получились а b в квадрате это икс-квадрат плюс а-один а c в квадрате это x квадрат плюс 8 минус а произведение обмена цвет сделаем под общим квадратным корнем не забываем двоечку корень квадратный из x квадрат плюс 1 на x-квадрат плюс 8 на косинус фи с одной стороны а с другой стороны мы можем найти b c в квадрате опять же по теореме косинусов из треугольника bgc потому что здесь известен угол 45 градусов и известны две оставшиеся стороны то есть другой стороны по теореме косинусов опять же b c в квадрате и то есть b в квадрате плюс у в квадрате минус 2 бы он отсел на косинус 45 градусов давайте подставлять это нам все известно было у нас единичка это один цикл в квадрате это 8 минус бы он отсел это у нас 2 корня из 2 еще на двойка умножается 2 корня из 2 умножить на 2 и умножить на единицу делить на корень из 2 единицы делить на корень из двух это косинус 45 градусов вскоре не сдох у нас тут успешно сокращается в этой дроби и получается вот пожалуйста следите за моими выкладками потому что возможно арифметическая ошибка ничего не сойдется значит что получилось 9 минус 4 лишь получилось 5 вроде бы и теперь мы должны все это дело приравнять bc одним способом найдено bc на даче их квадраты другим способом здесь мы приведем подобные у нас получается 2 x квадрат плюс 9 минус 2 корня из x квадрат плюс 1 на x-квадрат плюс 8 на косинус фи который никуда конечно не денется собственно его нам нужно и найти из соответствующего равенство равно 5 и отсюда давайте искать что вот здесь у нас останется но если мы перенесём пятерку сюда а здесь место девятки останется четверка и тогда можно сократить на 2 до чтобы избежать ошибки я все-таки напишу что это x квадрат плюс 2 минус соответствующий корень ну дайте я не буду писать что под ним на косинус фи равно нулю ну соответственно я могу вот так вот написать просто перенеся вот это слагаемое со знаком минус другую часть равенства и того косинус фи сейчас я лишь лишние сотру а косинус фи выпишу вот здесь что у нас получается у нас получается что косинус и и то есть x квадрат плюс 2 поделить на тот самый корень из x квадрат плюс 1 умножить на x квадрат плюс 8 разумеется я не буду писать fi через арккосинус вот этого вот вот этой дроби довольно неприятно дело в том как ведет себя собственно косинус на соответствующем промежутке сквозь коль косинус у нас от 0 ну вообще в геометрии у нас тут что что получается вот этот угол 45 градусов до поэтому этот угол скорее всего не тупой даже если он тупой косинус отрицательным короче говоря на промежутке от 0 до пи х синус монотонно убывает да это вы знаете с точки пи пополам это у нас 0 вот соответственно вместо того чтобы искать максимум fi достаточно искать наверное минимум косинуса правильно такое рассуждение понятно раз косинус убывает то тогда вместо максимуму угла a fee мы будем искать минимум косинуса ну конечно на человеку который подобном встречается впервые начинает приходить в голову всякие безумства что я имею ввиду безумство состоит в том что вот рассматриваем эту функцию как функцию от x данные соответствующим промежутки и начинаем с помощью производной как вас учили я надеюсь на уроках алгебры и начала анализа исследовать это дело нами ним это возможно безусловно но очень громоздко есть способ гораздо лучше нужно сделать вот какую вещь догадаться до этого трудно но если знать к чему стремимся то можно на самом деле стремимся к тому чтобы применить какой-нибудь из неравенство среднем ну что либо средняя арифметическая больше лера но чем средняя геометрическая или что-нибудь в этом духе поэтому давайте мы сначала раскроем скобки и как ни странно под корни ну что у нас получается у нас получается там x квадрат то есть извините x 4 да вот x квадрат mono x квадрат умножаем плюс x квадрат плюс 8x квадро а значит плюс 9 x квадрат и плюс 8 вроде чего такого мы этим самым добились-то дальше вы не удивляйтесь потому что преобразование совершенно не очевидные то есть тут надо понимать к чему стремимся до а.н. иначе ни за что не догадаешься вот я сейчас возьму и буду выносить удивительную / 2 корня из 2 делить на 7 объяснить это рационально можно будет ток в конце на самом деле я что делаю я не показываю вам так называемые строительные леса да то есть когда этого додуматься почему 2 корня из 2 на 7 я показываю такой вот лиса все уже отброшены чисто издание такое рафинированное но непонятно откуда что взялось но потом будет понятно 2 извинить корни из 6 на 7 я выношу и оказывается что здесь получается такая вещь так наверное я все-таки погорячился раскрыв скобки то не надо было их раскрывать ну да ладно значит скобки оставим потому что надо применять неравенств это ведь средняя геометрическая да правда она стоит знаменателя среднее геометрическое причем двух положительных чисел все как полагается там вот евгений уже написал что видимо с геометрической понадобится видим понадобится тогда чтобы ничего не изменилось когда мы с вами вот это вот вынесем то это все нужно умножить на следующую дробь 6 x квадрат плюс 1 плюс x квадрат плюс 8 то есть я вот эти вот x квадрат плюс 1 x квадрат плюс 8 выделяю ну правда один из них оказался сомножителя что что поделаешь давайте кстати кто не верит проверим что это будет правдой почему это будет правды ну еще тут нужно сделать вот от чего значит 2 корня из 6 x квадрат плюс 1 на x-квадрат плюс 8 вот такое вот на первый взгляд безумная совершенно преобразование на которую непонятно как догадаться тем не менее если понимать что мы стремимся использовать неравенство средних то тогда понятно мы подгоняем как раз под то чтобы вот была средняя геометрическая а вот смотрите стоит среднее арифметическое одних и тех же чисел то есть одно число это 6 умножить на x квадрат плюс один вот она второе число это x квадрат плюс 8 boт oнa сумма ну скажем это а это b a + b пополам это средняя арифметическая а корень квадратный за бы это средняя геометрическая причем числа положительные то есть мы воспользуемся неравенством я наверху его напишу что a + b пополам больше или равно чем корень isabel причем на равно достигается тогда и только тогда когда а равно б лишь при этом а больше 0 b больше 0 вот так значит в итоге что получается я хочу понять вот это выражение вот это вот что же это у нас такое это я средняя арифметическая поделил на средняя геометрическая то есть это неравенство я записал следующей форме a + b поделить на 2 корня из за бы тогда это больше или равно единице понятно откуда взялось да я просто обе части неравенства среднее арифметическое больше или равно чем средняя геометрическая поделил на средняя геометрическая теперь вопрос равенства может достигаться или нет давайте я пока оставлю этот вопрос по той простой причине что мне достаточно написать что это больше или равно наверно равенство достигается да это больше или равно значит вот то что я обвёл это больше или равно единице под неравенству которая в рамочке значит косинус фи больше или равен чем 2 корня из шести носи следовательно минимум давайте не будем проверять что достигается поверьте уж не назвала достигается до этого достаточно просто приравнять эти числа ну и знаете хорошо все таки эта часть решения поэтому приравниваем 6 x квадрат плюс 56 извините должно равняться x квадрат плюс мусь тогда что получается 5 x квадрат равно 8 до минус 62 значит x квадрат это у нас 2 5 x это у нас расстояние поэтому извлекая корень мы берем знак плюс то есть x это корень из двух пятых вот при таком x достигается минимум косинуса минимум косинуса х равен 2 корня из 6 носи а отсюда как мы уже поняли вытекает что наоборот максимум угла fe ну это уже арккосинус конечно же 2 корня из 6 на 7 ну так как я должен вас убедить в том что это больше чем 45 градусов то ну наверное придётся это делать чтож вы уж потерпите хотя пока непосредственно к 3 gran им углам это не имеет отношения но это очень-очень полезное знание что проекция плоского угла то есть угол между наклонными не обязательно меньше чем угол между ортогональными проекциями этих наклонных очень полезное знание которое противоречит интуиции вот все что противоречит интуиции всегда интересно хотя как видите здесь ума большого не понадобилась значит просто вычисления ну что я теперь могу стирать я наверное могу стирать практически все мне теперь нужно только убедиться что вот этот самый арккосинус зад немножко припомним обратные тригонометрические функции что это больше чем 45 градусов ну лучше в радианах написать наверное пины 4 как собственно доказывать такие неравенства нужно сделать вот что нужно к обеим частям применить какую-то из тригонометрических функций но делать это нужно с оглядкой вот почему потому что например синус от 0 до пи ведет себя примерно так то есть вообще говоря есть два разных угла для которых синусы одинаковые но это вы понимаете синус пи минус х равен синус уфе причина в том что синус не монотонен на этом промежутке поэтому из того что равные синусы отнюдь не следует что равны сами углы а вот косинус на этом промежутке от 0 до пи он ведет себя примерно так то есть он монотонно убывает и тут всякая горизонтальная прямая раз функция монотонно убывает пересекает ровно один раз поэтому из того что равны и косинусы следует что равные углы ну и соответственно из того что больше надо смотреть значит ну соответственно если мы применяем косинус косинус это у нас функция убывающая ну понятно что раз мы доказываем вот такое вот неравенство то эта вещь положить то есть на самом деле мы находимся на промежутке от 0 до пи пополам и вот он косинус о ну бывает что тогда ну давайте мы уже туда делаем и потом объем перерыв хорошо чуть-чуть потерпите косинус монотонен поэтому можно к обеим частям неравенства применить кассин косинус арккосинуса это 2 корня из 6 носи а здесь нужно сравнить это с косинусом пены 4 это единица на корень из 2 ну делается все стандартным образом и естественно да то есть мы сейчас что сделаем возведем в квадрат так вроде бы ничего не сокращается можно что сделать можно сразу возводить в квадрат а можно умножить на корень из двух и потом возводить в квадрат есть умножить на корень из двух то так как корень из 6 это и есть корень из 2 умножить на корень из 3 то значит появится еще одна двойка 4 корня из 3 носи надо сравнить единице или что то же самое 4 корня из трёх сравнить семью я почему эту галочку ставлю это значит я не знаю каков знак неравенства на самом деле дальше мы возводим в квадрат и здесь будет 16 на 3 правильно как 8 а вот тут вот уже можно четко писать что это меньше 49 кстати обратите внимание какой маленький зазор видите всего в единичку также здесь все на тоненького проходит то есть почти всегда верно утверждение что ортогональная проекция все-таки больше чем углы между наклонными но почти всегда есть контрпример боту на самом деле у нас получилось что если мы взяли косинус то вот 48 меньше 49 но так как косинус убывающая функция то это значит что справедливо вот это равенство потому что убывающей функции большему значению аргумента соответствует наоборот меньшее значение функции и так нужный контрпример построен и тем самым вот это тривиальная казалось бы доказательства второго свойства которые я вам поначалу привел она в корне ошибочно значит нам нужно будет делать как-то по-другому а как мы это сделаем через десять минут сейчас у нас 18 52 соответственно в 19:02 я после 10-минутного перерыва ожидаю вас на вторую часть нашего занятия ну чтож несмотря на то что мы так довольно серьезно отвлеклись я надеюсь что то что я вам рассказал было очень полезно потому что развеивать иллюзии которые подсказывают нам интуиция это всегда хорошо не все что кажется очевидным на самом деле верно и вот вы сейчас в этом только что убедились ну а теперь давайте вернёмся к 3 грамм ным углам свойствам будем доказывать прям подряд первое свойство величина любого плоского 3 гранова угла меньше сумма величин остальных плоских ну давайте мы без ограничения общности упорядочим углы первое что мы делаем мы считаем будем считать что альфа меньше или равно чем бы это и меньше или равно чем гамма совершенно ясно что это не ограничивает общности наших рассуждений по той простой причине что обозначение альфа-бета гамма не в нашей власти а если это не так мы просто поменяем обозначение таким образом чтобы это стало так вот ну теперь давайте я нарисую картиночку лучше наверное ее где-то здесь сделать надеюсь свойства вы уже запомнили что мы собственно будем доказывать сделаем картиночку вот у нас трехгранный угол здесь . а соответственно b и c мы сейчас поставим так как нам нужно соответственно альфа у нас это угол напротив да то есть bsc давайте поставим ладно ждет здесь бы дед здесь c у нас получился треугольничек маленький угол вот он ну а не каешься могут быть равны но тем ни менее доказательства конечно пройдет просто . которую мы сейчас выберем вспомогательный она совпадет с одной из . bc неважно соответственно где у нас бета это напротив sb то есть вон там вот он бета ну и вот он гамма давайте его волнистые линии обозначу а теперь мы сделаем следующее понятно что нам достаточно доказать все для наибольшим угла тогда достаточно доказать что гамма наибольший угол меньше чем alt + b тогда остальные неравенство в силу вот такого порядок упорядочивания они автоматически получаются ну в принципе также доказывается на плоскости неравенство треугольника до его достаточно доказать длины и большей стороны для остальных сторон тогда все это верно автоматически что мы делаем дальше давайте мы вот в плоскому угле без точнее говоря с абэ да не очень хорошо а с бы что сделаем мы отложим угол bed а то есть выберем отвечу такую точку культ там н что угол а сны так на а.б. возьмем н так что угол а сын равен бета почему можем силу это упорядочивания до крайнем случае n у нас совпадет просто с точкой b а если здесь неравенство строгое то тогда он лежит на отрезке абэ где-то внутри знаешь вот этот угол тогда у нас тоже стал углом бета отложили теперь что мы сделаем мы на луче sc отложим отрезок какой там а.д. равный отрезку с.м. как нам это сделать возмём с.н. ну и где-то у нас будет . да в принципе давайте считать так что вот у меня . c где то там вот внизу а нужная . да у меня вот здесь то есть я вот что делаю я беру sd так чтобы сын на луче с цех возьмем точку d такую что с d равно из извините да с и я что это можно сделать тогда у нас получились два треугольника а именно треугольника с д а с э и они равны знаете посмотрим что вдруг они равны то вот а сны а с д у них сторона а с общие стороны с м ы с д равны по построению и углы равны побед а тоже по построению следовательно по двум сторонам и углу между ними я напишу углу бета между ними с этих треугольников у нас много чего будет вытекать частности а d равно а и это стороны в этих треугольниках которые лежат напротив углов beta 1 равно а.н. и треугольник а б д нас равнобедренный свершит а а нет а м д извините а н д теперь напишем неравенство треугольника из треугольника а б д мы получаем следующую вещь что а.б. для чего я а.д. плюс db строго больше чем а б а т а д заменяем на им это мы доказали а а б это у нас что такое n + n б следует на а.м. у нас уничтожается и мы получаем неравенство db больше чем н.б. смотрите на картиночку вот этот отрезок больше этого теперь теорема косинусов применённая к треугольнику bsd давайте ее запишем что-то на нас треугольник bsd тогда у нас получается следующая вещь на d b в квадрате и то есть с b в квадрате плюс с d в квадрате минус 2 умножить на sb умножить на s d и умножить на косинус угла альфа да этот равенство обозначим первым теперь теорема косинусов примененная к треугольнику bsn вот к этому что у нас там тогда получается у нас получается что nb в квадрате есть с b в квадрате плюс s n в квадрате минус 2 сбн с.н. ну и на косинус угла вот этого нсб порой равенств получили а теперь у нас с d равно с.н. где-то я вот должен этим воспользоваться я в скобках напишу с d равно с.н. значит вот здесь вот это и вот это одинаковые штучки ну и здесь тоже одинаковые ну еще у нас db больше где-то мы это доказали db больше чем м.б. тогда из 1 и 2 учитывая то что в скобках написано следует что косинус альфа меньше чем косинус угла нсб смотрите здесь получается все одинаково и вот это вот это вот это вот это вот это вот это и только косинуса разные поэтому если у нас db больше чем mbti квадраты больше значит вот здесь знак больше силу того что здесь стоит знак минус перед косинусами то тогда получается вот это вот не нравится ну а дальше остается заметить что функция является функция косинус совсем уж надо внизу писать функция y равно косинус икс она строго убывает это показывается стрелочкой вниз вот такое обозначение строго white на соответствующем промежутке 0 пи до 1 от у бывает отсюда можно сделать вывод про углы углы наоборот то есть большему значению соответствует большему значению аргумента меньшее значение функции наоборот значит если косинус альфа меньше чем косинус угла нсб то угол нсб меньше угла альфа а что такое hama hama это у нас угол а с н смотрите на картиночку плюс угол нсб значит это меньше что такое у кого ясен это по-нашему построение угол бета а про угол нсб мы доказали что он меньше значит это меньше альфа плюс b то что и требовалось вот все сделано давайте я отойду посмотрите сожалению чистая технология просто вычисляем дальше пользуемся монотонностью точнее строгим убыванием косинуса и отсюда все у нас с вами и вырастает ну наверное тут все понятно что хочу с назад что утверждение обратно ну она тоже верно но выходит за рамки нашего курса то есть вот у нас два свойства что любой плоский угол меньше суммы двух других и что сумма всех трех плоских углов меньше чем 360 градусов на самом деле верные обратно и утверждения но они в наш курс не входят поэтому мы их не доказываем я просто вам об этом говорю и по сути дела это критерии существования 3 гранова угла с плоскими углами альфа-бета гамма то есть если верны все вот эти неравенства то тогда соответствующий трехгранный угол обязательно существует но еще раз повторяю это за рамками нашего курса более того соответствующий неравенства можно обобщить на n гранный угол это тоже выходит за рамки нашего курса но тот кто желает может попытаться это доказать ну по индукции например сводя все дело к тому что ну вот у нас есть базы для трех гранова угла и дальше надо только осуществить переход что делается достаточно просто то есть свойство обобщаются на n гранный углу так каждый плоский угол н гранова угла меньше суммы остальных а сумма всех плоских углов меньше чем 2 причем это тоже критерии существования н гранова угла заданными плоскими углами альфа-1 альфа-2 и так далее но это просто вот чтобы вы знали а так доказывать мы эти это не будем пользоваться этим не будем тоже так теперь нам нужно с вами доказать второе свойство во время первой части занятия вы убедились что то что первым бросается в глаза может оказаться неверным поэтому здесь нужно быть крайне осторожно но на самом деле все делается очень просто доказательства 2 картинку я нарисую где-нибудь вот тут is a b c где тут у нас лежат эти точки a b c неважно они нужны только для обозначения лучей с bsc ну соответственно что я теперь про делу давайте я помечу где у меня альфу где быт где гамма для начала же так альфа там бы от а вот тут гамма ну вы уже должны привыкнуть к этим стандартным обозначением вот что я сделал я возьми и продолжу скажем с а луч устроив прямую а с то есть заточку с здесь какая . 1 чтобы можно было ее называть тогда спрашивается какие у нас углы образуют эта прямая а один с двумя оставшимися ребрами 3 гранова угла здесь на картинке но не хочется захламлять да поэтому давайте напишем что угол а один с.б. это у нас что такое но в градусах или в радианах против градусах писания 360 на значит это угол смежный с углом значит с каким углом он смежный это с а с b до то есть 180 минус дома а угол а один sc нас с вами смежный с углом бета 180 градусов минус бэк ну а угол альфа мы оставили в покое а теперь давайте мы рассмотрим трехгранный угол еас б ну то здесь я кратко опишу на вот основное там рассмотрим трехгранный угол sa1 bc смотри рисунок и воспользуемся свойством 1 то есть мы напишем просто неравенство что альфа меньше чем углы плоские вот этого вот нового 3 гранова углам и их посчитали 180 минус beta + 180 минус гамма очевидно равносильно если мы перенесем минус бета и минус гамма в левую сторону то мы получаем альфу плюс beta + дома ну и сложив два раза 180 градусов получаем 360 все просто и элегантно как мне кажется я надеюсь понятно плюс ну хорошо здесь единственное что вот на догадаться заменить исходный трехгранный угол вот этим вспомогательным и тогда все сводятся к предыдущей теореме и и мы доказывали со скрипом в том смысле что там приходилось делать дополнительные построения писать теорему косинусов ну и так далее то есть доказательства не такое уж простое и весьма технично а здесь чистая идея да незамутненное просто нечем заменили угол на грубо говоря смежные назовем то есть строгого определения не даем но вот на смежный угол заменили применили неравенство из первого свойства сразу все у нас с вами получилось так но если понятная это стираю вот мы с вами познакомились с двумя свойствами на самом деле они являются критериями существование их объединения является критерием существования как я уже сказал программ угла ну а дальше мы что сделаем дальше мы еще одно забавное свойства докажем сейчас я только припомню щетки в каком порядке мы сейчас будем это делать эти свойства 3 сектор и двух данных углов 3 гранова угла пересекаются по одному лучу за банку правда на самом деле с идеи доказательства вы сталкивались кучу раз это естественно метод геометрических мест мы с вами доказывали что by сектор двугранного угла есть геометрическое место точек которые равноудалены от сторон этого двугранного угла я надеюсь в этот путь поэтому делаем все так же как в планиметрии скажем для биссектрис что там делалось когда про центр вписанной окружности доказан пересекались 2 биссектрисы ну и здесь мы сделаем тоже самое я даже не буду рисовать картинку вот давайте я попробую проговорить устно а если кому-то покажется непонятным то что я говорю то вы тогда попросите повторить уточнить или зададите вопрос хорошо потому что картинку здесь рисовать гораздо сложнее чем проговорить доказательства просто так что мы делаем ну правда надо конечно представлять себе трехгранный угол вообще но это просто давайте мы у него сколько двух разных углов ответ столько же сколько ребер до при каждом ребре есть двугранный угол то есть всего три давайте выберем два ребра и рассмотрим двугранные углы при этих ребрах и проведем by сектор и тогда они пересекаются получу 2 это совершенно понятно теперь каким свойством обладают точке этого луча так как они принадлежат первому by сектор то они равноудалены от двух граней 3 гранова угла по свойству by сектора двугранного угла так как этот луч принадлежит еще и второму by сектору то тогда все его точки равноудалены от двух других ну что наш других 1 будет общая грань потому что всего граней 3 еще одну грань и ну то есть если мы пронумеруем грани 1 2 3 да то например значит это самый луч который является пересечением by секторов 2 2 разных углов он равно удален так как есть свойство by сектора двугранного угла равноудалена от граней 1 и 2 так как он принадлежит еще одному by секту он равноудалена от граней 2 и 3 а следовательно он равноудалена от всех трех грань а раз он равноудалена от всех трех граней то третьему by сектору некуда деваться как проходить через этот луч вот и все так теперь вопрос и кстати говоря этот луч принято называть биссектрисой тиграна угла понятно какая тут мотивация да это аналог биссектрисы плоского все точки этой биссектрисы равноудалены от всех трех граней данного 3 грамма вот такая теорема если есть вопросы то пожалуйста мне кажется что я проговорил достаточно тем более что вы многократно с этой идеи сталкивались помните это называется метод геометрич пересечения геометрических месте может быть совсем точным пересекли 2 и тогда третьему некуда деваться как проходить через пересечении этих первых вот надеюсь понятно но по-крайней мере двое сказали что понятно все таки я немножечко подожду вопросов мало ли может быть что-то нуждается с вашей точки зрения в уточнении нет собственно если вы помните самая первая теорема которые доказывается таким способом который возникает курсе геометрии это что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке дальше точно так же оказывается что биссектрисы пересекаются в одной точке ну а это стерео метрический аналог теоремы а центре вписанной окружности в треугольник хотя тут конечно ну что можно сказать кстати говоря всякая . вот этого пересечении трех by секторов да то есть луча ну кроме вершины всякая точка равноудалена от грани от всех трех а это значит что существует сфера с центром в этой точке которая коснется всех граней для гранова угла и так для каждой каждой точке этого луча кроме вершины там сфер просто вырождается в точку ну хорошо давайте поедем дальше дальше тема к сожалению совсем техническая но без этой техники не обойтись потому что вот надо уметь в 3 gran нам угле вычислять всё единственное на чем я практически на 100 его состоит в следующем важны не те формулы хотя они имеют свое на и названия красивая я потом скажу какое важны не те формулы которые мы получим а скорее важен метод их получения потому что для каждого конкретного 3 гранова угла где но углы не просто в общем виде заданная там альфа-бета гамма а они заданы как-то в градусах или в радианах гораздо проще усвоив метод получения той форму повторить доказательства поэтому здесь важнее обратить внимание на доказательства чем на саму собственно вот формулу которая получается я не буду оформлять это как свойство именно по этой причине хотя получится некая формула лучше давайте рассмотрим это как задачу кстати говоря в нескольких задачниках она прям фигурирует именно как задач так что я напишу задача 1 что ясно заданной величины плоских углов и так в 3 gran нам угле известная альфа-бета гамма всюду ниже я использую наше стандартное обозначение то есть что такое альфа-бета гамма мы уже договорились найти величины его двугранные углы dito3 гранул dow2 ран ну соответственно они а b и c как мы договорились стандартных обозначениях будут думать в каком-то смысле ничем потому что эта задача чисто вычислительная тут нужно понимать технологии самое неприятное состоит следующем что в общем виде в этой задаче достаточно много случаев все зависит от того тупые или острые вот эти углы альфа-бета гамма я разберу случае один потому что остальные рассматриваются совершенно аналогично ну разве что заменяется скажем альфано и минус альфа бетона и минус бета но понятно что возникающий при этом тригонометрические функции либо не меняются если синусы либо меняют знак если косинус и так что рассмотрим следующий случай мы с вами будем считать во-первых достаточно найти один трехгранный будем искать найдем двугранный угол c а и b находятся аналогично считая что углы альфа и бат острый вот такой вот случай опять же остальные случаи рассматриваются на войне уже говоря если честно вот полностью рассматривать все случаи в общем виде то их довольно много это длинное неприятно поэтому я и говорю что лучше усвоить метод доказательства да то есть метод вычисления и каждый раз его воспроизводить хотя конечно если вы запомните получившуюся форму луну никто вас за это бить не будет но чаще всего она достаточно громоздкая как вы увидите чаще всего она агаш вылетает из головы поэтому лучше помнить как она получается что 5 я вынужден сослаться на аналогию ну дайте мы нарисуем картиночку знает трасс меня будет удобно положить трехгранный угол сказать одной гранью на плоскость ну да примерно я нарисовал все три угла начну где bbc значит вот здесь вот где-то у нас будет а вот здесь будет b вот здесь будет c соответственно альфа это у нас вот этот угол бета это вот этот угол вот именно их мы считаем острыми а вот тот угол что ну скажем так в основании до напротив с цирком а он в принципе может быть и тупым каким угодно все проходит самом деле для трех разных углов есть две основополагающих конструкции из которых можно все вытащить первая конструкция она как раз работает в решении этой задачи и она такого мы просто берем и строим линейный угол при ребре sc истина вот здесь какая то выбирается . скажем f и мы должны построить перпендикуляры как вы понимаете на самом деле эту линию не видно давайте уж соблюдать политес и так вот здесь перпендикуляр вот здесь перпендикуляр вы помните как мы строим линейный угол двугранного угла соответственно это и есть угол c да потому что он при ребре sc вот он тоже обозначен буквой c ну мы договорились что мы не перепутаем точку и величину угла и тогда у нас получаются прямоугольные треугольники вот зачем я потребовал чтобы альфа и бета оказались острыми чтобы получились прямоугольные треугольники в том случае когда эти углы тупые все просто разворачивается в другую сторону и тогда возникают углы смежные с альфа и бета которые будут острыми и для них все это делается практически абсолютно точно также что мы тогда делаем давайте точки вот эти обозначим d и е там где соответствующая плоскость линейного угла c пересекает луч sbs а соответственно е д а после этого у нас есть прямоугольные треугольники из которых что-то вы хорошо выражается всегда да это ясно ну и не прямоугольные треугольники вот этот из которого конечно же все делается по теореме курс вот если это можно назвать иди и я бы не стал так громко это называет то вот идея но конструкцию над запомнить что для того чтобы выразить двугранный угол через плоские углы нужно провести линейный угол дальше воспользоваться прямоугольными треугольниками и не прямоугольными применяя теорему кусь что тогда получается еды в квадрате к теореме косинусов я не буду писать что это теорема косинусов будем считать что это очевидно значит еды в квадрате из двух треугольников можно выразить да сначала допустим из fd и что это у нас такое tf квадрате плюс f d в квадрате минус 2 ф е на fd и на искомый косинус угла c я знак угла опускаю пишу просто косинус c так принято с одной стороны теперь у нас внизу есть треугольник с d и тоже этот угол неизвестен на угол гамма нам известен соответственно по другому выражаем еды в квадрате из другого треугольника который вот в основании лежит мы получаем sd или там с с е лучше начать чтобы было симметрия в равенство с е квадрат + sd квадрат минус 2s е на sd на косинус угла гамма на что гамма нам известен оценит а теперь нам нужно убрать отрезке так чтобы остались только углы а это делается с прямоугольных треугольников и соответственно из прямоугольных треугольников с fd и с ф.е. ну во первых давайте мы приравняем правые части раз мы еды выразили разными способами то дайте мы просто приравняем правые части у нас получается ф.е. квадрат плюс fd квадрат минус 2 fnf d на косинус c равно с е квадрат + sd квадрат минус 2s е на sd на косинус гамма теперь мы это равенство немножечко причешем то есть преобразуем оно равносильно таком я вот это вот перенесу левую часть значит 2 с е на sd на косинус гамма а все остальное в другую часть и напишу так это пусть будет с е х квадрат минус ф.е. квадрат манят зачем я это делаю да вот у меня с я вот у меня ф.е. и тогда квадро разность квадратов это по сути дела дает нам котят с ef по теореме пифагора вот к чему собственно я клоню а здесь sd квадрат минус f t квадрат но еще осталась прав довесок довесок + 2 ф.е. в.д. почему блюз я просто изменил знак перенеся в другую сторону ф е р д косинус c ну а теперь по теореме пифагора вот это что такое это с f в квадрате по теореме пифагора sd квадрат минус что там fd квадрат это опять из а в квадрате то есть вот эти разности квадратов это просто общей котят двух прямоугольных треугольник тогда получается следующая вещь можно на двойку сократить потому что здесь по сути 2s в квадрате получается да поэтому это равенство можно сократить на 2 и мы получаем с е на sd на косинус гамма равно s квадрат плюс f fd косинус угла c банят что это еще не все давайте мы поделим на ssd обе части этого равенства то есть выразим косинус гамма нас получается давайте запишем так с f в квадрате это у нас с f умножить на с.ф. да и поэтому я разделю это на две дроби это с ef деленное на с е умножить на s iv деленное на sd + теперь мы делим вот это получается ф.е. деленное на и с.е. я слежу чтобы здесь были одинаковые точки fd делённое на стр ну косинус c никуда не делся живот получилось такое равенство давайте я отойду потому что по видео мне придет сейчас стирать иначе я опущусь прям самые не из доски и вам будет неудобно теорему косинусов сотру по крайней мере вот до этого момента я думаю уже все можно стереть и бы там ничего кроме двух теорему косинусов и 2 теорема пифагора нет получили вот такое утро агенство а теперь смотрим что такое сев каз е вот у нас прямоугольный треугольник с е.ф. да тогда с.ф. деленное на с.е. это у нас котят деленный на гипотенузу причем прилежащий катет к углу альфа значит это косинус альфа то есть тогда у нас получается что косинус гамма ну и аналогично для других соотношений там кое-где синус кое-где косинус значит получается косинус альфа умножить на косинус бета плюс синус альфа на синус тетта и косинус c по-прежнему никуда не делся ну вот у нас замечательно и равенство где длины отрезков отсутствуют остались только известные углы альфа-бета гамма и неизвестный угол c значно отсюда найдем косинус цену а зная косинус c можно найти саму то есть формулу принято писать находя косинус c выражая отсюда косинус c мы получаем следующую вещь что косинус цвета есть дробь в знаменателе понятно что стоит множитель который перед косинусом c то есть произведение синуса альфа на синус бета а в числителе стоит косинус гамма минус произведение косинусов вот от в общем виде но еще раз повторяю что гораздо лучше помнить как он получается результат этот имеет свое наименование это называется первая теорема косинусов для трех гранова угла ее предназначение находить двугранные углы если известной плоские вот так вопрос и потому сейчас мы сделаем перерывчик еще один ну собственно говоря вы должны понимать что это вот некая технология которые нужно просто овладеть в конкретных задачах связанных с многогранниками иногда это нужно ничего уж не поделаешь поэтому надо знать как это получается прежде чем мы сделаем перерыв я хочу дать вам маленькое упражнение но лучше конечно это все назвать задачей 2 которую я решать не хочу потому что когда вы начнете над ней думать если захотите вы сами поймёте почему я не хочу ее решать задачи 2 сформулирована будет стандартных обозначениях нужно доказать следующее равенство что косинус c есть минус косинус а умножить на косинус b плюс синус а на синус b и умножить на косинус гамма это называю вторая теорема косинусов для трех гранова угла я абсолютно не настаиваю на том чтобы вы прямо уж обязательно это делали ну кому интересно попробуйте это получить сейчас на моих часах 2000 соответственно через десять минут в 2010 я вас жду на маленькую получасовую заключительную часть нашего с вами занятия перерыв ну я надеюсь что вот эту задачку вы записали она еще раз повторяя не обязательно и кому хочется решайте кому не хочется кому скучно можете не решать единственное что я могу сказать что ни один нормальный человек эти формулы не запоминает потому что их проще вывести чем запомнится вот и вам советую делать то же самое перегружать свою память лишними сведениями это не нужно и дело потому что доказательства вот этих вот первые 2 теорему косинусов они не такие уж сложные до чтобы их не суметь воспроизвести главное идею помнить устроить парочку прямоугольных треугольников да и не прямоугольные треугольники из прямоугольных убрать все отрезки заменив их на углы жизни прямоугольных как раз эти отрезки написать с помощью теоремы куси все ну наверное ни для кого не будет удивительным что кроме теоремы косинусов для трех гранова угла существует теорема синусов для трех гранова угла вот она-то как раз запоминается крайне легко давайте задача 3 стандартных обозначениях это и есть теорема синусов для трех гранова угла вот она-то как 1 запоминается легко правда отношение синуса плоского угла к синусу соответствующего ему двугранного угла постоянно неприятность в геометрическом доказательства я вам сегодня привожу геометрически доказательство но они мне просто больше нравятся потому что можно все сделать векторами но там уж совсем технологии технология здесь мы все-таки немножко чего-то строим достраиваем додумываем дальше уже считаем а векторами там и думать-то не надо в чем неприятность геометрического доказательство этой теоремы лет в том что тоже куч случаев и связано это все с тем какие углы тупые какие углы острые и нужно просто тупо перебрать эти случаи убедиться что все нормально разумеется я сейчас покажу ну только один и случаев до скажем что мы это 2 конструкция для выбранного угла извините для 3 грамма 1 было при доказательстве первые теоремы косинусов а сейчас мы сделаем вот что вот у нас трехгранный угол стандартной as a b c мы возьмем какую-нибудь точку м на луче с а и проектируемые на плоскость 3 грани sbc понятно что проекция совершенно необязательно устроено так как у меня правда основании вот этой высоты может быть где угодно и поэтому нужно рассматривать кучу случаев они рассматриваются аналогично я напишу так рассмотрим случай изображенные на рисунке остальные аналогично но это еще не вся конструкция то есть мы опустили перпендикуляр да ну назвали основании скажем буквы h а теперь из точки аж мы еще опустим перпендикуляр и на ребра назовем их h&m и hk а дальше отсоединить мсн и мск ну соответственно у нас что получается мы просто sm обозначим как нибудь ну допустим ах да обозначили с.м. а давайте выразим em h двумя способами просто вот из нашего рисунка единственное что надо нарисовать где у нас тут чего при ребре с.б. вот здесь конечно же тоже перпендикуляр по теореме о трех перпендикулярах и здесь перпендикуляр по теореме о трех перпендикулярах и получилось кучу прямоугольных треугольников из которых нам надо все по выражать вот это у нас линейный угол при ребре с.б. это угол b вот там угол c соответственно напротив sc у нас лежит гоман на против sb лежит бета ну и напротив с а лежит альфа вот наше стандартное обозначение соответственно мы двумя способами из прямоугольных треугольников начнем это все дело выражать из треугольников mh м.и. msn мы двумя способами выразим м.н. час mn сейчас я сейчас м м здесь и м м здесь как как лучше поступить щас одну секунду давайте моим аж найдем вот значит mh это что такое т м н умножить на синус угла b двугранного а м н с другой стороны из второго треугольника это sm синус гамма ирис треугольников и машка все они прямоугольные поэтому тут нет никаких проблем и мск давайте опять mh выразим аналогично получается что эта ямка синус c сразу можно описать а м к находим из второго треугольника да значит itsm синус бета синус c большого ну приравнивая из равенств 1 и 2 [музыка] получается что синус гамма ну действительно дайте вот их сравним до mh приравниваем sm тогда сокращается значит мы получаем что синус гамма на синус угла b равен синусу бета на синус угла c ну следовательно теперь осталось поделить и мы получаем вот это равенство последняя синус бета поделить на синус b равно синус гамма поделить на синус c аналогично получается 2 родства в общем вам надо запомнить две стандартные конструкции да когда мы проводим линейные строим линейный угол двугранного угла при ребре и когда мы проектируем точку на ребре на противоположную грань а проекцию на оставшиеся два ребра в этом случае кстати говоря для теоремы синусов куда бы . аж не попадала все время там появляются прямоугольные треугольники единственное что там может случиться что какие-то углы смежные с альфа бы эта гамма ну соответственно их синусы синус 180 градусов минус любой угол это синус вот этого самого угла поэтому довольно понятно что куда бы чего-то мне попала вот это вот основания высоты когда углы меняются на смежные синусы их не меняются и поэтому ясно что остальные случаи рассматриваются действительно аналогично все что там может измениться это угол заменяется на смежной а синус и смежных углов равны вот такая такая вот штука здесь я надеюсь гораздо более все прозрачно чем предыдущем случае но я на все и случай сделаю паузу друг есть какие то вопросы ну я очень рад что все понятно вы главное запомните вот и вот эти две конструкции эти две конструкции убивают любой трехгранный угол все можно посчитать теперь дайте вот у нас с вами осталось минут нам 20 примерно 15 на самом деле давайте отвлечемся вот от этой технологии то есть я вот должен научить был вас расчету трехгранный huglu совокупность этих вот 3 задач позволяет что называется рассчитать любой трехгранный угол то есть по плоским углам найти двугранные решить обратную задачу и так далее так далее еще раз повторяю что лучше всего в каждом конкретном случае действовать заново не перегружая свою память лишними формы усвоите принцип и тогда вам будет легко что меня теперь предложение такой давайте мы отвлечёмся от этой технологии потому что ну скучновато это понятно есть здесь некоторые интересные идеи если вы помните значит когда мы последний раз встречались я вам показывал забавную задачку когда трехгранный угол над был нарисовать на кубе все помнят наверное да эту красивую задачу или я не оказывал мне кажется что показывал будьте добры напомните до показывал назад очень люстрируют очень хорошую идею глобально что в пространстве ничего не должно висеть когда мы просто рисуем трехгранный угол тасс ну вот в этих конструкциях уже понятно что она пространство но когда мы просто нарисовали три луча выходящие из одной вершины что это такое трехгранный угол или просто три прямые на плоскости по картинке так как она по определению плоская мы рисуем на бумаге или на доске так как она плоская то мы не можем понять о чем идет речь поэтому зачастую очень важно связывать трехгранный угол в каким с многогранником пример такой задачи я приводил ну давайте мы теперь немножко все-таки отвлечемся в том смысле что мы решаем такие более или менее качественные задачи вот не вычислительные а качественно например сейчас появятся четырёхгранных и что мы все углы считаем выпуклыми я напоминаю поэтому отдельно оговаривается что он выпуклый я не буду лет у нас задача получается номер четыре если я не сбился в нумерации надо чуть-чуть уже ослабить давление на мозги же не на мозги а вот перегруженность этой технической работой у нас сегодня было очень много технической работы поэтому в конце давайте чего-нибудь такое более менее качественно вот качественная задача когда не надо ничего считать надо только сообразить доказать что любой четырехгранный угол на имеется ввиду выпуклый можно пересечь плоскостью что в сечении получится параллелограмм очень забавный результат согласитесь угол ты любой имеет цвету 4 грамма и вот все равно можно получить параллелограмм так что в сечении получится параллелограмм ну по крайне мере хоть одну задачу под конец сделаем которая требует немножко небольших раздумий об так сказал как всегда даю вам время поразмыслить и порисуйте тут конечно над ним немножко немножечко догадаться да себя нам на тоже картинку нарисую точки abcd это просто для того чтобы обозначить лучи то есть ребра четырехгранная угла но это я точно не показывал я в этом уверен я думаю что вы быстро догадаетесь поэтому пока я сейчас на всякий случай следующую задачку подберу шел на всякий случай если время останется еще одну неплохую задачу только не пугайтесь тут ничего сложного нет правда при условии что вы не забыли то что я рассказывал вам довольно давно всякие теоремы плоскостях пространстве немножечко подсказан эту задачу можно было давать много раньше чем мы стали изучать многогранные углы объяснить что такое четырехгранный угол просто но у нас как-то вот не хватило времени на эту задачу она на самом деле достаточно симпатично нет не обязательно помнить что означает этот значок квантов любой четырехгранный угол ну правда выпуклый мы договорились что мы не выпуклые не рассматривать ну а раз произвольный то с чего вдруг двугранные углы одинаковые между собой изя неодинаковы между собой то проблем никаких конечно это я вас понимаю более того если они будут одинаковы между собой то там вообще квадрат может получить жду гранные углы произвольная совершенно но еще минутку вам даю дальше подсказываю я думаю мы вместе и и добьем и будем потихонечку заканчивать там что нас с вами осталось шесть минут когда необходимо доказать частью денег я посмотрю на свой чертеж значит бдд нет ну дело в том что точки я же сказал что abcd они вообще непонятно где находится и нужны только для того чтобы обозначить ребра этого самого 4 гранова угла к как вы докажете это эти точки вообще произвольно там расположена выпуская они в одной плоскости упускай но дело в том что эти плоскости то могут быть ну грубо говоря давайте выберем плоскость горизонталь да вот назовем некую плоскость горизонтальной то тогда плоскость abcd может быть под каким угодно практически углом горизонт острым углом к этой самой горизонтальной плоскости еще всегда параллелограмм будет получаться но я в этом сильно сомневаюсь и вы я думаю тоже понятно что эту плоскость можно шевелить да и шевеление но этот параллелограмм и спорт ну 5 минут осталось подсказывал давайте сделаем вот что выпуклого 4 грантового угла есть противоположные грани что значит противоположно это значит они кроме вершины с больше не имеют общих точек таких пар противоположных граней ровно 2 2 пары плоскости этих граней пересекаются по прямой это у нас с вами аксиома пересечение плоскостей извините ведь и куда мы забрались до в самое начало раз у нас но смотрите скажем плоскость а sb и противоположное есть плоскость csd а они имеют общую они разные и имеют общую точку значит они пересекаются по прямой ну и как нам известна эта прямая как устроена она проходит через эту точку и дайте мы рассмотрим я уберу пока точку с вот пусть у меня вот эта прямая а скажем есть линия пересечения а это пересечение плоскостей так сейчас неудачно ставлю точку линия пересечение плоскостей а с b и c sd теперь давайте возьмем и устроим приму б которые являются линии пересечения двух других противоположных с костей что такое прямая b обоснование такое же до плоскости не совпадают и имеют общую точку пересекаются по прямой проходящей через эту точку по xiaomi прямой плоскость пересечение плоскостей простите меня это у нас пересечение а сцы какая там у нас ещё осталось плоскость сейчас а сцб sd а теперь так как эти прямые пересекаются и совершенно очевидно что они не являются одной и той же прямой не являются параллельными в противном случае четырехгранный угол вы рождался бы ждет у нас пересекающиеся прямые и тогда мы опять возвращаемся к простейшим следствием язык seem а именно мы можем провести плоскость альфа альфа проводим через а и b это одно из и следствия из аксиом что через пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость вода на плоскости а теперь я думаю все понятно не что дальше-то над сделать забыли похож забыли знаете если у вас что-то вот забывается старого нужно к этому старому время от времени возвращаться и повторять потому что все таки стереометрии устроено так что одно нанизывается на другое ну давайте вспомним теорему о том как две параллельные плоскости пересекают третью плоскость вы это помните как две параллельные плоскости пересекают третью плоскости я с что по прямым по каким прямым по параллель надеюсь что в эту теорему теперь вспомнили эта теорема линии пересечения двух параллельных плоскостей 3 плоскостью мы пользовались там сто тысяч раз когда сечение встроили и так далее так далее то есть я не знаю как это можно было забыть дальше что делаю давайте построим плоскость которая будет параллельна плоскости альфа ну как то сотворить взять какую-нибудь точку м скажем до на прямой допустим с а тогда я право хожу параллельна прямой а через m и сейчас а это у нас что всб извините знач параллельна прямой б надо проводить так дальше ясно нам нужно плоскость которая параллельна плоскости альфа и пересекает наш четырехгранный ну вот мы строим параллельна прямой б соответственно здесь какая-то там появляется новая . дальше в противоположной грани тоже параллельна прямой бы точнее говоря так дальше нужно построить параллельна прямой а вот здесь единственное что вот главное не спутается так и восставших тогда в этой снова параллельно а здесь снова параллельным бы вот получился мкм я утверждаю что это параллелограмм почему потому что линии пи вот плоскость этого параллелограмма но мы еще не знаем что это параллелограмм а вот эта плоскость и мкл та которая является сечением построенном через точку м параллельно alpha начнёт плоскости альфа и вот эта новая плоскость сечения они параллельны как их пересекает плоскость ну скажем вот и особы и противоположная по параллельным прямым да эти прямым логично параллельны что это означает это означает что мы получили параллелограмм ну вроде все понятно или непонятно мы используем теорему о том что две параллельные плоскости пересекают третью по параллельным прямым вот и всё соответственно у нас противоположные стороны получившуюся четырехугольника параллельны значит это параллелограмм по определению чем таких параллелограммов бесконечно много сами понимаете да мы можем эту точку м двигать получу из а как угодно и для каждой новой точки мы снова будем получать параллелограмм ну все дорогие друзья на этом сегодня наше занятие завершено я чуть-чуть остаюсь как обычно вдруг у вас есть какие то вопросы пока вы думаете я напоминаю что есть домашнее задание которые неплохо бы решить кроме того напоминаю что на нашем сайте вы в любой момент можете посмотреть полную запись этого занятия если что-то вы там недопоняли то можно попытаться разобраться посмотрев соответствующий кусок так ну все пишут что ясно-понятно не вот то что он он взорвался это плохо знаешь надо отдохнуть после этого хорошо ну что же до следующего раза встретимся ровно через неделю спасибо что пришли до свидания центр онлайн-обучения foxxhard курсы по всем предметам подготовка на разных уровнях лучшие преподаватели интерактивный учебник обучение онлайн [музыка] поступай foxmart начни обучение бесплатно [музыка]