Тела вращения

[музыка] на этом уроке мы ночь ознакомиться с телами вращение такое название эти пространственные фигуры получили потому что они могут быть получены вращением плоской фигуры вокруг какой-то прямой которая принадлежит плоскости фигуры мы рассмотрим такие тела вращения которые получаются вращением плоской фигуры вокруг одной из сторон начинаем на изучение круглых тел с цилиндра цилиндрической поверхностью называется поверхность образованная прямыми проходящими через все точки окружности перпендикулярна плоскости в которой лежит эта окружность сами прямые называют образующими цилиндрической поверхности прямая проходящая через точку о перпендикулярной плоскости называется осью цилиндрической поверхности так как все образующие и ось перпендикулярной плоскости альфа то они параллельно друг другу по теореме о параллельности двух прямых перпендикулярны плоскости если построить еще одну плоскость бета которая будет параллельна плоскости альфа то отрезке образующих заключенные между плоскостями бета и альфа будут параллельны и равны друг другу отрезке параллельных прямых заключенные между параллельными плоскостями равны точки являющиеся концами отрезков параллельных прямых и лежащих плоскости бета дают окружность равную окружности лежащей в плоскости альфа круги называются основаниями цилиндра отрезке образующих заключенные между основаниями образующими цилиндра а образованная имя часть цилиндрической поверхности боковой поверхностью цилиндра оси цилиндрической поверхности называется осью цилиндра длина образующий называется высотой цилиндра все образующие равны и параллельны а радиус основания радиусом цилиндра также цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из сторон тогда эта сторона вокруг который происходит вращение будет совпадать с осью цилиндра противоположная сторона будет образовывать боковую поверхность а две оставшиеся стороны образуют верхнее и нижнее основание одновременно являясь радиусами цилиндра приведем примеры реальных объектов и имеющих форму цилиндра одним из примеров являются трубы кружки шляпы батарейки катушки свечи пуфик колонны бочки и многие другие предметы теперь рассмотрим сечение цилиндра различными плоскостями пусть секущая плоскость проходит через пусть цилиндра такое сечение называют осевым она представляет собой прямоугольник две стороны которого образующие а две другие диаметры основание цилиндра если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра то сечение является кругом если секущая плоскость проходит параллельно оси цилиндра но не содержат саму ось то сечение является прямоугольником две стороны которого образующие а две другие отрезки соединяющие эти образующие верхнем и в нижнем основании заметим что эти отрезки меньше диаметров основание цилиндра если плоскость сечения цилиндра не параллельно не оси цилиндра не его основанию и составляет счастью цилиндра острый угол то в сечение цилиндра образуется эллипс поясним что эллипсом называется множество точек плоскости сумма расстояний которых до двух заданных точек постоянно если же секущая плоскость пересечет основания цилиндра то сечение будет представлять собой часть эллипса рассмотрим основные величины связанные с цилиндром если представить что боковую поверхность цилиндра развернули таким образом что все образующие оказались в одной плоскости то получится прямоугольник который называют развертка и боковой поверхности цилиндра основании этого прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра 2 pi r а высота прямоугольника равна образующей цилиндра эль за площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки вычислить площадь боковой поверхности цилиндра можно по формуле 2 pi r эл то есть площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания цилиндра на его высоту площадь полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и 2 оснований в виде формулы это можно записать так площадь полной поверхности равна 2пи r умножить на сумму r + l рассмотрим задачу квадрат с диагональю 6 корень из двух вращается вокруг прямой проходящей через середины его противоположных сторон найдите площадь боковой поверхности тела которое образуется при вращении площадь осевого сечения и площадь сечения перпендикулярного оси вращения решение пусть abcd квадрат его диагональ равна 6 корень из 2 . м является серединой стороны а б.т. середина стороны cd квадрат вращается вокруг прямой mt сделаем чертеж и выделим элементы полученного тела вращения а.д. образующие а.м. радиус основания abcd осевое сечение круг с центром в точке о сечение параллельно и основанием цилиндра теперь найдем элементы полученного цилиндра по условию задачи от c равна 6 корень из 2 поэтому сторона квадрата равна 6 так как м середина стороны абэ та-а-м равен 3 площадь осевого сечения равна площади исходного квадрата площадь сечения параллельного основания равна площадь основания площадь боковой поверхности найдем по формуле 2 pi r эл теперь запишем ответ итак мы познакомились с понятием круглого тело узнали что такое цилиндр выделили его элементы а также узнали по какой формуле можно вычислить площадь его боковой и полной поверхности