Объём усечённой пирамиды

[музыка] здравствуйте уважаемые ученики начинаем наш сегодняшний урок и наша тема усеченный конус усеченная пирамида их объем и сегодня мы рассмотрим сами усеченный конус усеченную пирамиду рассмотрим формула объема данных фигур а также порешаем задачи что касается усеченного конуса с этим предметам мы встречаются в жизни практически каждый день посмотрите на это ведро или перевернутое ведро если мы заполним ведро водой заморозим затем перевернем вы берём ведро то получим усеченный конус мы с вами уже рассматривали конус это тело вращения а также объем конуса имеют следующий вид 1 3 площадь основания конуса площадь круга 1 драть умноженное на высоту конусом что касается усеченного конуса это когда мы проводим параллельную плоскость к плоскости основания конуса сверху у нас тоже получается конус если уберем этот верхний конус то у нас получится усеченный конус основании круг меньшее основание имеет меньшую соответственно больше оснований мид польши радиус и высота усеченный конус это расстояние между центрами оснований или кругов ну и конечно же как наверно мы уже поняли объем усеченного конуса и то есть объем полного конуса минус объем верхнего конуса если мы все роста на свои места и правильно вычислен то у нас получится следующую форму формула когда не объемы для усеченного конуса давайте теперь рассмотрим усеченную пирамиду и перед нами четыре угольные усеченные пирамиды и треугольное усеченная пирамида точно так же как и для конуса формула объема для усеченной пирамиды равняется одной трети аж и у нас в скобочках с 1 это площадь основания меньшего основания пирамиды с 2 это площадь большего основания и под корнем s1 и s2 все это в сумме нажатием на высоту с коэффициентом 1 3 получаем объем усеченной пирамиды давайте теперь порешаем задачи в треугольной усеченной пирамиде большим основанием служит равносторонний треугольник значит меньше основание также является равносторонним треугольником высота этого равносторонний треугольник a равна 18 а высота меньшего основания равна 6 определите объем усеченные пирамиды есть ли его высота то есть высота пирамиды равна 10 сантиметрам записали сразу форму объема усеченная пирамида на 3 умножить на высоту высота у нас имеется и мы должны найти величины которые находятся у нас скобках то есть площади верхнего и нижнего основания давайте отдельно рассмотрим треугольники то есть треугольник который расположен нас в нижнем основании то есть равносторонний треугольник высота известно равна 18 сантиметров так как это равносторонний треугольник все углы тоже равны и они равны 60 градусам здесь у нас и высота и медианы и биссектрисы значит вы владелец попала на значит этот угол равен 30 градусам давайте запишем и так данную вы у нас половина 60 лет 30 градусов и рассмотрим прямоугольный треугольник расположенные здесь с правой стороны нашего право стороны треугольника и мы знаем теорему а катите и нам известно теорема о том что катит лежащий напротив 30 градусов прямоугольный треугольник a равняется половине гипотенузы то есть вот у нас гипотенуза этот катет равняется половине то есть если мы его обозначим как а то гипотенуза будет два раза больше 2 а тогда потерями форм можем вычислить значение а а затем найти площадь нашего равностороннего треугольника ну давайте построим теоремы пифагора для такого прямоугольных треугольника возведем в квадрат гипотенузу 2 а если возвести в квадрат после 4а в квадрате возведем в квадрат меньший катет и вычтем от квадрату гипотенузы 4 а в квадрате минус а в квадрате это будет равно больше и котят нашем случае высота 18 в квадрате 4а в квадрате минус а в квадрате 3 а в квадрате равно в 18 квадрате давайте запишем как 18 умножить на 18 и разделим на 3 с двух сторон получим а в квадрате равно 18 лет на 3 будет 6 умножить на 18 ну 8 нас я могу разложить на множители как 6 умножить на 3 это а в квадрате если вам нужно эти значения извлечем корень и а будет равно 6 корней из 3 как видите а это половина основания данного треугольника значит здесь 2 половин тоже равна 6 корней из 3 либо сторона равна струн только равна двум а по нашим обозначениям и мы получаем 2 у нужно 6 корней из 3 основным будет равна 12 корней из 3 если мы помним формулу площади для равностороннего треугольника то мы можем сразу подставить значение стороны и найти по данной формуле либо можно использовать классическую форму нахождения площади треугольника то есть умножить высоту на основании и взять половину данной величины то есть 18 умножить на 12 корней из 3 и разделим на 2 давайте запишем сюда это у нас площадь нашего треугольника что произойдет конечно можем сократить 18 едва к примеру идей пир нужно 12 корней из 3 тогда мы получим 108 корней из 3 это у нас площадь большего основания нашей усеченной пирамидой что касается площади меньшего основания смотрите мы имеем два подобных треугольников вспомним подобие фигур если коэффициент подобия равняется к кассе подобие это отношения соответствующих сторон или отрезков в двух треугольник например здесь если высота равна 18 здесь высота равна 6 мы понимаем что это высота в три раза больше чем данная высота сторона этого треугольника в три раза больше чем в сторона этого треугольника но мы так же знаем что если известен коэффициент подобие то отношения площадей это и будет квадрат данного коллекция на подобе то есть мы видим что высота в 3 раза больше тогда площадь будет больше в 9 раз то есть 3 в квадрате мы можем разделить на 9 найденную площадь большого треугольника тогда у нас получится получить меньшего треугольника здесь мы использовали именно подобие треугольник вы могли аналогичным образом потери им пифагора вычислить сторону через высоту и точно также как здесь вычислить площадь но я хочу показать вам другой способ через подобие 108 разделим на день получим 12 корней из 3 это площадь меньшего основания теперь мы должны расставить формула объема то есть рассмотреть суммы площадей 108 корней из 3 + 2 носками из 3 мм 120 корней из 3 и т с одним из 2 а также под корень и должны перемножить их площади что значит переносит под корнем эти две величины 12 корней из 3 какой же ответит получилось когда 108 разделили на 9 значит 108 можно записать как 9 умножить на 12 камней в 3 это площадь большого треугольника умножен на 12 камней есть люк это площадь меньшего треугольника и все это под корень что означает мы ищем величину s1 можно с 2 под общим корни как видите когда два одинаковых число умножается и все это берет под корень мы берем это число без кормит а с 12 кому из трех и корень из 9 будет 33 умноженного на скамью строф получим 36 корней из 3 это у нас корень из s 1 умножить на s 2 суммы с одним с 2 мы получили 120 корней из 3 120 сложим 36 хормейстера получим 150 6 корней из 3 это и есть все что у нас скобках учителем диппер объем 1 3 умножить на высоту на 10 и на то что у нас получилось скобках то есть 108 кратеров вблизи nascar метров плюс 3 6 корней из 3 получаем 156 вы можете сократить 156 и 3 получить 52 корней из 3 умножить на 10 у вас просят 520 корней из 3 кубических сантиметров это будет объем нашей усеченной пирамиды давайте теперь рассмотрим задачу на нахождение объема усеченного конуса определите объем истину конца есть ли его высота равна 8-ми сантиметрам радиус верхнего основания равен четырем сантиметрам образующая равна 10 сантиметров записали все числовой величины и давайте решим формула объема усеченного конуса выглядит следующим образом меньший радиус нам известен он равен 4 но нет большего радиуса радиуса основания как мы вычислили смотрите рассмотрим такой прямоугольник у прямоугольника противоположной стороны равны если здесь 4 то нижний тоже будет равна 4 если здесь 8 то эта сторона справа в данном прямоугольника тоже будет равна 8 теперь рассмотрим данный прямоугольный треугольник потерям пифагора мы можем вычислить вот этот вот катит который обозначен времена за микс так как гипотенуза у нас равна 10 больше катет равен 8 тогда потерями пифагора мы получаем x квадрате будет равно 10 в квадрате гипотенуза квадрате минус 8 в квадрате и получим 100 минус 436 это x в квадрате 36 значит x будет равен 6 запишем сюда вместо из 6 тогда радиус большего основания нашего усеченного конуса будет равна 6 плюс 4 либо 10 итак у нас имеются радиусы имеется высота то есть мы можем вычислить объем v объем равен 1 3 умноженное на пи умноженное на высоту h что равняется 8 а теперь скобки напишем r в квадрате больший радиус квадрат 10 в квадрате давайте сразу запишем результат 100 + r на r радиус больше оснований умножить на радиус меньше основание 10 на 4 у нас получается 40 и + r в квадрате либо радиус меньшего основания 4 в квадрате будут 16 ну рассмотрим сумму 100 + 40 + 40 + 16 156 получаем 1 3 на пи на 8 и на 156 конечно теперь можно сократить 156 и 3 как в предыдущей задаче у нас получится 5252 умножим на 8 почему 416 и оставим пи кубических сантиметров вот такой объем у данного усеченного конуса уважаемые ученики на этом мы завершаем наш сегодняшний урок желаю вам всем полезных знаний спасибо до свидания [музыка]