Формула Герона и другие формулы для площади треугольника

здравствуй тема данного видео уроков формула герона давайте рассмотрим некоторые треугольника bc и обозначим его стороны как а b и c и докажем формулу герона формула герона помогает нам найти площадь треугольника по трем заданным сторонам оно равняется p p мало это полупериметр то есть сумма всех сторон пополам умноженное на p минус а b минус b в минус c давайте попробуем доказать эту формулу для начала выразим площадь этого треугольника через стороны об отце и угол а площадь треугольника будет равняться 1 2 произведение сторон то есть bc на синус угла между ними на синус угла а теперь нам нужно найти синус угла а чтобы найти синус угла а мы выразим сначала косинус угла косинус угла а мы найдем по теореме косинусов а именно применим теорему косинусов для стороны bc это будет сторона bc то есть а квадрат равняется сумме квадратов двух других сторон b квадрат плюс c квадрат без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними отсюда мы идем косинус косинус будет равняться b квадрат плюс c квадрат минус х квадрат деленное на 2 pc теперь мы с вами знаем косинус воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем из косинуса синус а именно синус угла а будет равняться 1 минус косинус в квадрате а вообще говоря у нас здесь должен появиться плюс-минус но так как угол у нас меньше чем 180 то синус будет положителен подставим 1 минус вот это выражение в квадрате теперь преобразуем вот это подкоренное выражение давайте я уберу лишнее здесь вынесем из-под знака корня знаменатель 1 деленное на 2 pc получим следующее 1 деленное на два bc а под корнем останется один на два быстрых квадрате то 4 значит вместо горки будет 4 b квадрат квадрат минус вот это выражение в квадрат распишем разность квадратов кратность квадратов это у нас будет два bc минус b квадрат минус b квадрат плюс х квадрат и то же самое только с противоположным знаком 2 pc + b квадрат плюс z квадрат минус а квадрат теперь преобразуем каждую скобку а именно вот это выражение мы можем записать как минус b минус c в квадрате здесь же вот это выражение мы можем записать как b + c в квадрате тогда в каждой скобки мы снова получим разность квадратов здесь у нас будет а квадрат минус b минус t квадрат распишем как разность квадратов это будет а минус b + c и a + b минус c здесь у нас снова как разность квадратов это будет а плюс b + c и b + c минус а теперь посмотрим на выражение под корнем обратите внимание что a + b + c и то есть периметр его мы можем представить как 2 умноженное на полупериметр например выражение a + c минус b мы по такой же логике можно представить как 2 умноженное на полупериметр минус b действительности мы внесем двойку 2 умножить на полу периметра это будет а плюс b + c и минус 2b тогда у нас получится bad минус 2b как раз таки минус бэк аналогично это у нас представиться как 2 п минус c и вот это выражение как 2 п минус а теперь мы выразили синус и поставим этот синус в эту формулу мы получим 1 2 bc вместо синус оставим это все выражение то есть одна вторая снизу bc здесь обратим внимание у нас есть 2 на 2 на 2 на 2 то есть мы можем вынести 4 зак из-под корня а под корнем останется как раз таки выражение p p минус а b минус b и минус c теперь двойка двойкой четвёрка сократится bc сократится sbc значит площади switel на равняется вот это выражение то есть формула герона верно рассмотрим пример пусть у нас есть треугольник со сторонами 13 14 и 15 требуется найти его площадь воспользуемся формула герона для этого сначала вычислим полупериметр это будет 13 + 14 + 15 пополам 13 14 это у нас 27 27 + 15 это у нас 42 42 деле на 2 это 21 мы нашли полупериметр теперь воспользуемся формулой площадь равняется корень из там идет по формуле полупериметр то есть 21 умножаем полупериметр минус 21 минус 13 это восемь теперь полупериметр минус b 21 минус 14 это 7 и 21 минус 15 это 6 останется вычислить вот это выражение я советую не перемножать а разложить на множители например 21 мы можем представить как 7 умноженное на 3 8 мы представляем как 4 умноженное на 2 семерку оставляем и шестерку представляем как 2 умножить на 3 теперь чтобы вычислить корень смотрим у нас есть здесь 7 умноженное на 7 5 7 в квадрате из под корни выйдет просто 7 есть 3 на 3 значит под корнем будет три здесь у нас четыре и два и два мы можем почитать что это вместе 16 из под корни выйдет 4 таким образом это у нас 12-12 умножаем семь это у нас 84 то есть площадь треугольника со сторонами 13 14 15 равняется 84 давайте дополнительно попробуем на height допустим высоту опущенные к стороне 15 вот эту высоту h как можно найти высоту мы знаем площадь треугольника равняется 1 вторая сторона умноженная на высоту из этого мы можем выразить высоту как 2s деленное на а тогда нашем случае 2 умножаем на площадь 84 и делим на соответствующую сторону то есть на 15 мы можем сократить 84 и 15 на 3 здесь останется у нас 5 здесь останется у нас 2828 умножаем на 2 это 56 пятых то есть мы нашли высоту аналогично мы можем найти высоту которая проведена и другим сторонам а на этом данный видео урок окончен [музыка] мы