Математическое понятие: характеристика, классификация, определение

Развитие личности средствами математики невозможно без овладения ею определённой системой научных знаний. Одной из главных составляющих системы научных знаний любого предмета, в том числе и математики, являются понятия. Не оперируя понятиями, нельзя сформулировать ни один закон и без усвоения соответствующих понятий не может быть ни усвоения законов, ни усвоения теорий. Это обусловливает ведущую роль понятий при формировании в сознании учащихся системы научных знаний в соответствующей предметной области. Процесс формирования системы знаний выступает как процесс овладения понятиями.

Оперирование понятиями требует от учащихся активной мыслительной деятельности, поскольку только в этом случае можно обеспечить глубокое понимание сущности изучаемых предметов и явлений теории, отражённой в системе научных понятий. Умение мыслить включает и умение оперировать понятиями. Процесс усвоения понятий влияет и на развитие логического мышления учащихся, так как именно они составляют его фундамент.

Таким образом, развивающие функции обучения математике реализуются и в процессе овладения понятиями. Умственное развитие ребёнка при обучении математике можно рассматривать и как развитие его способностей к осмыслению понятий, оперированию ими и конструированию новых понятий. Перечисленные способности и являются, в сущности, показателями математического развития ученика.

В процессе обучения математики перед учителем стоит задача — формирование понятийного аппарата темы.

Понятие — форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.

Каждое понятие имеет содержание и объем. С помощью определения раскрывается содержание понятия, а с помощью классификации — объем.

Содержание понятия — это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем понятия — множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Рассмотрим пример. Понятие треугольник соединяет в себе виды различных треугольников и свойство, которое его характеризует: наличие трех сторон, трех вершин, трех углов. Объем данного понятия — виды треугольников; содержание — существенные свойства.

Таким образом, освоение понятий связано с выделением свойств.

Свойство – это то, что каким-то образом характеризует вещь и не требует для своего описания более одной вещи.

Существенные (характеристические) свойства — это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характеристики объектов, принадлежащих понятию. Однако не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и принимают за содержание понятия.

К существенным свойствам понятия относятся те свойства, без которых понятие (объект для понятия) априори не может существовать. Свойства являются основой для выделения и обобщения предметов, составляющих множество. В литературе можно встретить термин «существенные признаки». Но слово «признак» в школьном курсе математики несет другую смысловую нагрузку, поэтому будет целесообразным употреблять именно слово «свойство». Можно встретить следующее понимание существенных свойств объекта для понятия: свойство объекта является существенным в том случае, если отдельно взятое свойство необходимо, а взятые в совокупности свойства достаточны для отделения данного понятия от остальных. Но такая трактовка термина «существенные» в большей степени характеризует не отдельные свойства, а определенный набор свойств. Поэтому правильнее будет использовать первую из приведенных трактовок.

В качестве примера выделим следующие существенные свойства ромба:

• является четырехугольником;
• является параллелограммом;
• все его стороны равны;
• имеет равные противоположные углы;
• диагонали в точке пересечения делятся пополам;
• диагонали лежат на биссектрисах углов ромба и т.д.

Как говорилось ранее, объект может иметь много таких свойств, поэтому часто используется набор свойств, достаточный для выделения данного объекта.

Достаточный набор существенных свойств – это набор существенных свойств объекта, достаточный для того, чтобы выделить некоторое множество объектов из всех остальных.

Например, в случае с ромбом достаточный набор свойств может включать в себя следующие свойства: быть параллелограммом и иметь все равные стороны. Другой достаточный набор существенных свойств, по которым можно выделить ромб из множества объектов, – это то, что объект является параллелограммом и имеет диагонали, делящие его углы пополам. Таких наборов существенных свойств для объекта можно подобрать множество. Они являются признаками понятия или формируют определение понятия.

В модуле 1 мы отмечали, что в математике преимущественно используется логический подход к трактовке понятия. С точки зрения логики каждое понятие характеризуется термином, смыслом и значением.

Термин (имя) – это языковое выражение, которое используется для обозначения определенных объектов.

К данным объектам относятся предметы, свойства, отношения, процессы, явления и т.д. Объекты могут быть материальными или идеальными (созданными воображением человека). Значением термина (имени) является объект, обозначенный этим термином (именем). Смысл или концепт имени – это способ, с помощью которого термин обозначает предмет. С помощью примера попробуем разобраться, что представляют собой значение и смысл термина (имени). Например, значением для термина «Александр Сергеевич Пушкин», является определенный человек, который носил это имя. Смыслов данный термин может иметь несколько: «знаменитый писатель», «автор романа «Евгений Онегин» и т.д. Если рассматривать только термин, то, во-первых, имеется в виду некий объект, который называется этим термином – значение имени. Во-вторых, имеется в виду объективное содержание, которое выражается этим термином – смысл термина. Термин «клетка» с точки зрения биологии и химии будет иметь смысл частицы живого организма, а на уроке математики он будет обозначать частицу разграфленной определенным образом тетради. При этом в биологии и химии значение «клетки» будет идентичным, но смысл будет несколько отличаться, так как описываться на этих предметах «клетка» будет по-разному и ее свойства будут изучаться с разных точек зрения.

Математические понятия также характеризуются термином, смыслом и значением. Терминами понятий обозначаются объекты, которые изучает математика. Значениями понятий являются идеи. Смысл понятий может быть передан определением, признаком, описанием свойств объектов, существенных для понятия, системой аксиом. Один и тот же предмет может иметь несколько разных имен. Например, именами числа 3 являются языковые выражения «1+1 + 1», «», «», «корень уравнения 6-х=3» Данные выражения обозначают один и тот же предмет – число 3 – т.е. имеют одно и то же значение, но при этом они имеют разный смысл. Смысл имени «» заключается в том, что именуемое число может быть получено путем извлечения арифметического квадратного корня из числа 9, а смысл имени «корень уравнения 6-х=3» заключается в том, что именуемое число можно получить путем решения простейшего уравнения.

Также следует отметить, что один и тот же математический объект может иметь несколько смыслов. Например, модуль числа обладает как аналитическим, так и геометрическим смыслом. Объект может иметь смысл (определить можно все, что угодно), но при этом не иметь значения (объект может не существовать). И не смотря на то, что в процессе обучения математике термины «смысл» и «значение» применяются, но на вопрос: «Имеет ли смысл и значение равенство », – все учителя и учащиеся отвечают по-разному. Безусловно, равенство имеет смысл, так как выражения, стоящие в правой и левой части равенства, имеют смысл (область определения уравнения как предиката), но значения у них нет.

Такую связь между термином, значением и смыслом можно изобразить в виде семантического треугольника (треугольника Фреге):

Связь между вершинами данного треугольника может быть неоднозначна. Это можно наблюдать и в математике: одно значение понятия может обозначаться разными терминами, а одному термину может соответствовать несколько значений, не смотря на то, что для математики присуще однозначность.

Например, в школьном курсе математики для термина «многоугольник» значением может являться часть плоскости, ограниченная замкнутой простой ломаной, и сама эта ломаная. Такая же ситуация наблюдается с термином «угол». Поэтому в процессе обучения при введении понятия будет правильным показать эту неоднозначность, а рассматривая понятие, указывать, в каком смысле и значении его следует понимать.

С точки зрения методики обучения каждое математическое понятие характеризуется объемом и содержанием. Рассмотрим, как данные характеристики понятия в математике соотносятся с аналогичными характеристиками понятия в логике.

Объем понятия – множество объектов, которые можно выделить и обобщить в понятии.

Содержание понятия – совокупность свойств объектов, которые являются существенными для данного понятия.

А значит, объем математического понятия – это и есть множество значений понятия (представителей, образов), а содержание отражает смысл понятия, которое описывается разными существенными для понятия свойствами. Но свойств может быть много, поэтому выделяют основное содержание – достаточный набор свойств, т.е. все те свойства, каждое из которых, взятое отдельно, необходимо, а взятые в совокупности достаточны для отличия данного понятия от других.

На каждой новой ступени развития понятий образуются новые связи между понятиями. Так, сокращение содержания понятия C(C₁ ⊃ C₂) приводит к расширению его объема V(V₁⊂ V₂). Эта операция была названа обобщением понятия. Например, если из содержания понятия «равносторонний треугольник» удалить свойство «равенство всех сторон», то множество треугольников, соответствующих новому содержанию, станет «шире» – будет содержать множество всех равносторонних треугольников в качестве подмножества.

Расширение содержания понятия C(C₁⊂ C₂) влечет за собой сужение его объема V(V₁⊃V₂). Это явление называется ограничением (специализацией) понятия. Примером подобной операции является переход от понятия тождественных преобразований к понятию сокращения дробей. Изучение отношений между выпуклыми четырехугольниками и окружностями привело к возникновению понятия вписанного в окружность четырехугольника. В результате во множестве выпуклых четырехугольников выделяется множество вписанных в окружность четырехугольников, для которых характерно более сложное содержание, но меньший объем по сравнению с множеством выпуклых четырехугольников.

Сформированность понятия у учащегося определяется его способностью выделять все существенные свойства данного понятия в их целостной совокупности, умением определять внутренние и внешние связи данного понятия с другими понятиями, а также умением осмыслить понятие в системе понятий. В качестве примера рассмотрим следующую фразу: «Муха села на варенье». Как правило, когда человек слышит или произносит эту фразу, ему представляется красивая картинка. Оперируя понятиями эту фразу можно прокомментировать следующим образом: «Элемент множества мух стал принадлежать множеству всех элементов, существенным свойством которых является «сидеть на варенье». Разумеется, что в повседневной жизни человек так не мыслит.

В обыденной жизни человек чаще оперируют предпонятиями.

Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а первое называется видовым по отношению ко второму. Например, понятие ромб является родовым по отношению к понятию квадрат. Введение понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем:

• указывается род, в который входит определяемое понятие;
• указываются видовые отличия и связь между ними.

Родовым понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон).

В отношении объемов различают следующие виды понятий:

• равнозначные (объемы понятий полностью совпадают);
• пересекающиеся (объемы понятий частично пересекаются);
• понятия, находящиеся в отношении включения (объем одного понятия содержится в объеме другого понятия).

Формирование понятий

Формирование понятий — сложный психологический процесс, который осуществляется и протекает по следующей схеме:

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями.

Формирование понятия осуществляется в несколько этапов:

1. мотивация (на данном этапе педагог должен подчеркнуть важность изучения понятия, активизировать целенаправленную деятельность учащихся, пробудить интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории);
2. выявление существенных свойств понятия (деятельность учащихся направлена на выполнение упражнений, с целью выделения существенных свойства изучаемого понятия);
3. формулировка определения понятия (деятельность учащихся направлена на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).

Определение понятия

Для изучения объекта и формирования понятия очень важным является умение давать определение понятию.

Определение понятия (дефиниция) представляет собой логическую операцию, которая раскрывает основное содержание понятия или смысл термина. В зависимости от способа раскрытия основного содержания выделяют следующие типы определений:

• невербальные (остенсивные);
• вербальные.

Вербальные определения включают в себя:

• явные определения – определения, в основе которых лежит родовая принадлежность и видовые отличия объекта;
• неявные определения: аксиоматические (определения, описываемые системой аксиом) и описательные (определения, в основе которых лежат существенные свойства объекта).

На уроках математики в 1– 4-х и частично в 5 – 6-х классах в большей степени применяются остенсивные и описательные определения понятий. Остенсивные определения понятий вводятся на чувственной ступени познания. Описательные определения понятий вводятся на эмпирическом уровне рациональной ступени познания и описывают объекты с помощью моделей, посредством изучения частных случаев, выделения отдельных существенных свойств. Например, учитель вводит термин «треугольник», изображая треугольник на доске.

Иногда в начальной школе приходится сталкиваться с явными определениями, когда, например, дается определение квадрата как прямоугольника с равными сторонами.

В средней школе чаще всего используются вербальные определения, но явные определения также часто встречаются. Реже приходится сталкиваться с неявными описательными определениями. Примером может служить понятие непрерывной функции, или аксиоматические понятия, которые задают понятия посредством выполнения определенных свойств, описанных в аксиомах. В курсе геометрии такими понятиям являются понятия точки, прямой, длины, площади, объема и т.д.

В явном определении, которое осуществляется на основе рода и видовых отличий, даны определяемое понятие и определяющее, объемы которых равны. Часто только такой вид определений относят к определениям и только к ним применяют логико-математический анализ, речь о котором пойдет ниже.

Мы уже рассматривали связь между родом и видом. Обобщим сказанное выше:

• множество всех объектов, к которому можно применить данное понятие, образует класс;
• один класс является высшим (т.е. является родом) по отношению к другому классу (виду) в том случае, если он включает в себя вместе со всеми элементами данного класса элементы другого класса;
• отношение рода и вида является одним из основных отношений между понятиями и лежит в основе наиболее распространенного типа определений;
• понятия, находящиеся в известных отношениях друг с другом, образуют систему;
• один и тот же раздел школьного курса математики может быть описан с точки зрения различных систем понятий.

С точки зрения логики определение через род и видовые отличия является эквиваленцией. Структура явного определения включает такие элементы, как термин, род, видовое (видовые) отличие(я) и логические связи. Способ выделения видовых отличий определяет вид явного определения. Выделяют следующие виды явного определения: через описание характеристических свойств, конструктивные или генетические (задан способ построения или происхождения объекта), рекурсивные (указываются базисные объекты некоторого множества и правила, позволяющие получить новые объекты этого же множества), отрицательные (объект задается через отсутствие у него определенных свойств).

Связи между родом и видовыми отличиями всегда являются конъюнктивными, тогда как связи между видовыми отличиями могут быть как конъюнктивными, так и дизъюнктивными.

Учитывая тип логической связи видовых отличий, выделяют конъюнктивные и дизъюнктивные определения.

Выполнение логического анализа явного определения понятия подразумевает последовательное выполнение следующих операций:

1. распознавание вида определения;
2. запись его логической структуры.

Обе эти операции носят название логико-математического анализа определения. Под математическим анализом определения понимается раскрытие математического содержания каждого элемента.

В качестве примера рассмотрим определение, которое дается квадрату:

Структура данного определения может быть представлена следующим образом:

Подробно эту запись можно прочитать следующим образом: объект х является квадратом (имеет свойство «быть квадратом») тогда и только тогда, когда х принадлежит множеству прямоугольников и обладает свойством «все стороны равны».

В школьном курсе математики часто можно встретить определения, термином для которых является сочетание слов (корень квадратного уравнения, биссектриса угла треугольника) или отдельные слова, выражающие связи или отношения между объектами (смежные углы, параллельные прямые и т.д.). В этом случае определение рассматривается на множестве пар и троек. В частности, для медианы треугольника множество М представляет собой множество пар отрезков X и треугольников Y, а структуру его можно записать следующим образом:

A (x, y) ⇔ ∀ (x, y) ∊ M ⋀ B (x, y) ⋀ C (x, y)

где М = X x Y

На основании выделенных свойств представим определение в виде «алгоритма»:

Медиана треугольника:

1. отрезок в треугольнике;
2. соединяет вершину треугольника с точкой стороны, противоположной вершине;
3. данная точка является серединой стороны;
4. данная точка называется основанием медианы.

Такая запись позволяет точно определить учебный материал, необходимый для актуализации перед введением понятия. Также благодаря такой записи учащимся легче усвоить определения, так как в ней выделены существенные свойства понятия (первым выделено родовое понятие), наличие которых необходимо проверить у объекта, чтобы отнести его к понятию. Фактически данная запись представляет собой алгоритм, следуя которому, можно определить, является ли данный объект понятием (использовать такой алгоритм целесообразно при выполнении заданий на распознавание). Поэтому такую запись можно назвать как «запись определения в алгоритмизированном виде».

Для других видов определений логико-математический анализ определенно не выполняется. Устанавливается вид определения, для аксиоматического определения выделяются аксиомы, описывающие неопределяемые понятия, связи с уже изученными темами, что позволяет определить знания, которые необходимо актуализировать.

Требования к определениям

Существуют формально-логические требования корректности явных определений. К таким требованиям относятся следующие:

• Определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия. Если данное равенство не соблюдается, может быть допущена логическая ошибка.
• Определение не должно содержать круга. Например, Градус был определен как величина угла, составляющего часть прямого угла. Значит «Прямой угол – это угол, содержащий 900», являться определением не может.
• Определение должно раскрывать необходимый набор свойств понятия и иметь четкую и ясную формулировку. Так утверждение «Лень – мать всех пороков» является поучительным, но не является определением лени.
• Определять объект лучше через ближайший род. При определении понятия необходимо приводить примеры объектов, ему не удовлетворяющих, и показать, что определение не является бессодержательным. В школьном курсе рассматриваются ситуации, когда теорема существования доказывается после определения.

Определение считается корректным, если выполняются два условия:

1. отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов («Решение уравнения — это то число, которое является его решением»);
2. отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого.

К процессу обучения математике также предъявляется ряд методологических требований:

• определение понятия следует формулировать только после того, как предмета всесторонне изучен;
• предмет следует изучать в развитии, а не в статике;
• учитывать критерий практики и принцип конкретности истины.

Классификация понятий

Процесс определения понятия тесно связан с такой характеристикой, как содержание понятия. Объем понятия раскрывается посредством классификации.

Классификация – это систематическое распределение некоторого множества по классам, возникающее в результате последовательного деления.

Операция деления представляет собой логическую операцию, которая раскрывает объем понятия путем выделения в нем возможных видов объекта.

Например, всех учащихся 11 класса можно разделить на тех, кто планирует поступать в вуз, и на тех, кто не собирается это делать.

Основанием деления понятия является свойство, в соответствии с которым выделяются подмножества объема понятия (виды понятия). В приведенном выше примере основанием деления является свойство: «планирует поступать в вуз ».

При осуществлении классификации важен выбор основания деления: разные основания создают разные классификации одного и того же понятия. Например, приняв за основания деления количество равных сторон, все параллелограммы можно разделить на ромбы и параллелограммы, имеющие неравные смежные стороны, а если за основание деления принять наличие прямого угла, то все параллелограммы можно разделить на прямоугольники и параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками.

Классификация может основываться на существенных свойствах (естественная классификация) и на несущественных (вспомогательная классификация). При естественной классификации, когда известно, к какой группе принадлежит элемент, можно судить о его свойствах. Например, Д. И. Менделеев, благодаря тому, что расположил химические элементы в зависимости от их атомного веса, открыл закономерности в их свойствах и создал Периодическую систему, которая позволяет предсказывать свойства еще не открытых химических элементов.

Выделяют два вида деления:

Деление по видоизменению признака – это деление, при котором свойство, которое является основанием деления, присуще объектам выделенных видов в разной степени. Например, в зависимости от количества сторон все многоугольники можно разделить на треугольники, четырехугольники и n-угольники.

Дихотомическое деление – это деление, при котором данное понятие делится на два вида в зависимости от наличия или отсутствия у него некоторого свойства.

Например, классификацию треугольников можно выполнить по двум основаниям:

1. по признаку наибольшего угла треугольника (но не по величине угла);
2. по равенству двух сторон.

В первом примере деление – это деление по видоизменению свойства, а во втором – дихотомическое деление. В результате обоих делений все треугольники сначала будут разделены на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные (один угол является тупым), после чего каждое из полученных множеств будет разделено на два подмножества. В результате всех делений будет получено шесть классов:

• остроугольные разносторонние;
• остроугольные равнобедренные;
• прямоугольные разносторонние;
• прямоугольные равнобедренные;
• тупоугольные разносторонние;
• тупоугольные равнобедренные.

Операция деления требует соблюдения следующих правил:

• деление должно быть соразмерным, т.е. выделенные классы при их объединении должны образовывать исходное множество (сумма объемов видовых понятий должна быть равна объему родового понятия);
• проводить деление можно только по одному основанию;
• пересечение классов должно быть пусто;
• классы не должны быть пустыми.

Часто выделяют еще одно требование: деление должно быть непрерывным (хотя при выполнении требования под пунктом 2 данное требование и так должно выполняться).

Например, нельзя делить члены предложения на подлежащее, сказуемое и второстепенные члены (что часто можно наблюдать в школе на уроках русского языка). Сначала необходимо выделить главные и второстепенные члены предложения, а уже затем делить каждый из них.

Список источников:

1. Бочаров, В. А. Основы логики: учебник / В. А. Бочаров, В. И. Маркин. – М.: ИД «Форум»; Инфра-М, 2008.
2. Выготский Л.С. Лекции по педологии. Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 2001.
3. Гетманова А.Д. Логика: учебник для педагогических учебных заведений. М., 1998.
4. Гусев В.А., Орлов В.В., Панчищина В.А. Методика обучения геометрии. Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений Под ред. В. А. Гусева. — М.: Издательский центр «Академия». — 368 с.
5. Лященко Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математике: учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин.-тов. М.: Просвещение, 1988.
6. Методика и технология обучения математике [Текст] : курс лекций : учебное пособие для вузов / [Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова, В. В. Орлов и др. ; под науч. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой]. – Москва : Дрофа, 2005. – 415 с.
7. Методика обучения математике в 2 ч.: учебник для академического бакалавриата / Н. С. Подходова [и др.] ; под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой. — М. : Издательство Юрайт, 2017.
8. Подходова Н.С., Кожокарь О.А., Фефилова Е.Ф. Реализация ФГОС ОО: новые решения в обучении математике // Учебно-методическое пособие для высших учебных заведений, ведущих подготовку по направлению 44.03.01/Учебное пособие с грифом УМО.Санкт- Петербург,Архангельск.КИРА, 2014.- 225с.
9. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студ. мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002.
10. Саранцев. Г. И. Формирование математических понятий в средней школе / Г. И. Саранцев // Математика в школе. – 1998. – № 6 – С. 27 – 30.
11. Темербекова, А. А. Методика обучения математике : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова, А. А. Темербекова .— Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013 .— 365 с.
12. Теоретические основы обучения математике в средней школе : Учебное пособие для вузов / [Т. А. Иванова, Е. Н. Перевощикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова] ; Под ред. Т. А. Ивановой; МО РФ. – Нижний Новгород : Издательство Нижегородского государственного педагогического университета, 2003. – 318 с.
13. Фрегге Г. Логика и логическая семантика. М.: Аспект Пресс, 2000.
14. Фундаментальное ядро содержания общего среднего образования / под ред. В. В. Козлова, А. М. Кондакова. – М.: Просвещение, 2011.