Թեորեմ՝ տարածության ցանկացած վեկտորը երեք ոչ համահարթ վեկտորներով ներկայացնելու մասին

Թեորեմ՝ տարածության ցանկացած վեկտորը երեք ոչ համահարթ վեկտորներով ներկայացնելու մասին

     Դիցուք   և   երեք ոչ համահարթ վեկտորներ են, -ը՝ տարածության կամայական վեկտոր: Արտահայտել  վեկտորը  և վեկտորներով ( այլ  կերպ ասած՝  վեկտորը վերլուծել ըստ  և  վեկտորների) նշանակում է գտնել այնպիսի x, y և z թվեր, որ տեղի ունենա

հավասարությունը:

     Թեորեմ  ( Վեկտորների վերլուծման միակության մասին)

Տարածության ցանկացած վեկտոր կարող է վերածվել տրված երեք ոչ համահարթ վեկտորներով, ընդ որում միակ ձևով:

    Ապացույց.  Դիցուք    և -ն տրված երեք ոչ համահարթ վեկտորներն են, -ը ցանկացած վեկտոր է: Կարող ենք համարել, որ այդ չորս վեկտորների սկզբնակետը միևնույն O կետն է: Քննարկենք սկզբում այն դեպքը, երբ վեկտորը չի պատկանում     և  ,  և   վեկտորների  զույգերով որոշվող հարթություններից  ոչ  մեկին: M-ով նշանակենք  վեկտորի վերջնակետը: Կառուցենք մի զուգահեռանիստ, որի համար OM-ը անկյունագիծ է, իսկ կողերը զուգահեռ են    և   վեկտորներին: Նշանակենք այդ զուգահեռանիստը OAKBCLMN:

    Նշանակենք ,   ,   Ուստի՝

     Այսպիսով, ապացուցեցինք, որ ցանկացած  վեկտոր կարող է ներկայացվել է  տեսքով: Մնում է ցույց տալ, որ այդպիսի ներկայացումը միակն է:

     Ենթադրենք հակառակը՝ գոյություն ունի () թվերի այլ հավաքածու, որը տարբեր է (x,y,z)-ից, որի համար նույնպես ճիշտ է

հավասարությունը:  վեկտորի մի ներկայացումից հանելով մյուսը, կստանանք՝

     Եթե, օրինակ,  ապա վերջին հավասարությունից  վեկտորը կարտահայտվի -ով և -ով՝

     Դա նշանակում է, որ  վեկտորը գտնվում է  վեկտրորներով որոշվող հարթության մեջ, այսինքն՝  և -ն համահարթ են, ինչը հակասում է մեր ենթադրությանը:

     Այն դեպքում, երբ   վեկտորը պատկանում է , օրինակ,  վեկտորներով որոշվող հարթությանը, ապա,  ինչպես գիտենք հարթաչափության դասընթացից, -ը միակ ձևով ներկայացվում է     վեկտորների միջոցով և հետևաբար կստանանք

ներկայացումը: Դրանով իսկ թեորեմը լիովին ապացուցված է :

x, y, z թվերը անվանում են  վեկտորի կոորդինատներ  և  վեկտորների տրվող կոորդինատային համակարգում:  Եթե  և   զույգ առ զույգ փոխուղղահայաց միավոր երկարությամբ վեկտորներ են, ապա ստանում ենք դեկարտյան կոորդինատային համակարգը:

     Զույգ առ զույգ փոխուղղահայաց միավոր վեկտորների եռյակը նշանակենք՝  Դրանք կոչվում են կոորդինատային վեկտորներ:

Մասնավորապես, եթե -ը A կետի կոորդինատներն են  O  սկզբնակետով և    եռյակով տրվող դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, ապա

      Եթե -ը և -ը տարածության ցանկացած երկու կետեր են, ապա  վեկտորի կոորդինատներ  հանդիսանում է   թվերի եռյակը: Գրվում է  :

      Երկու վեկտորների գումարի (տարբերություն) յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումարին (տարբերությանը):

      Այսինքն, եթե  և  տրված վեկտորներ են, ապա

:

      Վեկտորի և թվի արտադրյալի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է վեկտորի համապատասխան կոորդինատի և այդ թվի արտադրյալին:

      Այսինքն, եթե  –ը տրված վեկտոր է, k-ն՝ տրված թիվ, ապա

: