1.2 Смежные и вертикальные углы

Смежные и вертикальные углы.

Повторяем теорию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Сумма смежных углов равна 180⁰.

∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐵𝐷 = 180⁰

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

∠1 и ∠3, ∠2 и ∠4 вертикальные.

Вертикальные углы равны. ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4.

Проверяем себя.

Т1. Ответьте на вопросы:

а) Если данный угол тупой, то каким будет угол, смежный с ним?

б) Если данный угол тупой, то каким будет угол, вертикальный с ним? в) Если данный угол увеличить, как изменится угол, смежный с ним?

г) Если данный угол увеличить, как изменится угол, вертикальный ему?

д)                Если   данный   угол   уменьшить   в   2   раза,  как   изменится   угол, вертикальный ему?

е) Если данный угол тупой, то какой угол больше: смежный с ним или вертикальный ему?

ж) Если данный угол увеличить на 20⁰, как изменится угол, смежный с ним?

Ответ:                а)   острый,   б)   тупой,   в)   уменьшится,   г)   увеличится,   д) уменьшится в 2 раза, е) вертикальный, ж) уменьшится на 20⁰.

Т2. Выберите неверные утверждения:

а) Если угол равен 35⁰, то смежный с ним равен 65⁰.

б) Через любую точку плоскости можно провести прямую. в) Смежные углы равны.

г) Биссектриса делит угол на два равных угла.

Ответ: а), в)

Т3. Какие из следующих утверждений верны? а) Сумма вертикальных углов равна 180⁰.

б) Через любые две точки плоскости можно провести прямую. в) Градусная мера острого угла меньше 90⁰.

г) Если данный угол увеличить на 20⁰, то вертикальный с ним угол увеличится на 20⁰.

Ответ: б), в), г).

Решаем задачи.

1.   а) Найдите угол AOD,

если                 ∠𝐴𝑂𝐷 + ∠𝐵𝑂𝐶 = 94⁰.    Ответ    дайте    в градусах.

Ответ: 47

б) Найдите угол AOD, если ∠𝐴𝑂𝐷 + ∠𝐵𝑂𝐶 = 75⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 37,5

в) Найдите угол AOC, если ∠𝐴𝑂𝐶 + ∠𝐵𝑂𝐷 = 49⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 24,5

2.   а) Луч OB – биссектриса угла AOK. Найдите величину угла AOB, если ∠𝐴𝑂𝑀 = 40⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 70

б) Луч OB – биссектриса угла AOK. Найдите величину угла BOM, если ∠𝐾𝑂𝐿 = 55⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 117,5

в) Луч OB – биссектриса угла AOK.   Найдите величину угла LOK, если ∠𝐴𝑂𝐵 = 52⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 76

3.       а) На рисунке ∠1 = ∠3. Найдите ∠6, если ∠2 + ∠5 = 200⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 40

б) На рисунке ∠1 = ∠3. Найдите ∠5, если

∠1 + ∠4 = 67⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 113

в) На рисунке ∠1 = ∠3. Найдите ∠4, если ∠2 + ∠5 = 240⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30.

4.        а) На прямой AH взята точка M. Луч MK

– биссектриса угла DMH. Известно, что ∠𝐻𝑀𝐾 =

490. Найдите угол DMA. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 82

б) На прямой AH взята точка M. Луч MK –

биссектриса угла DMH. Известно, что ∠𝐴𝑀𝐾 = 128⁰. Найдите угол DMK. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 52

в) На прямой AH взята точка M. Луч MK – биссектриса угла DMH. Известно, что ∠𝐷𝑀𝐴 = 40⁰. Найдите угол DMK. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 70

12.   а) Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найдите градусную меру большего угла.

Ответ: 120

б) Один из смежных углов в 3 раза меньше другого. Найдите градусную меру меньшего угла.

Ответ: 45

в) Один из смежных углов в 5 раз меньше другого. Найдите градусную меру большего угла.

Ответ: 150

13.   а) Найдите угол COB, если ∠𝐴𝑂𝐶 − ∠𝐴𝑂𝐷 =

200. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 80

б) Найдите угол DOB, если ∠𝐴𝑂𝐶 − ∠𝐵𝑂𝐶 = 48⁰.

Ответ дайте в градусах.

Ответ: 114

в) Найдите угол COA, если ∠𝐵𝑂𝐷 − ∠𝐴𝑂𝐷 = 70⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 125.

14. а) Градусные меры смежных углов относятся 2:3. Найдите градусную меру меньшего угла.

Ответ: 72

б) Градусные меры смежных углов относятся 3:7. Найдите градусную меру большего угла.

Ответ: 126

в) Градусные меры смежных углов относятся 4:5. Найдите градусную меру меньшего угла.

Ответ: 80.