1.6 Углы, связанные с окружностью.

Углы, связанные с окружностью. Повторяем теорию.

Угол с вершиной в центре окружности, называется ее

центральным углом.

∠𝐴𝑂𝐵 – центральный

Если дуга AB окружности с центром O меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла AOB.

ÈAB = ÐAOB

Если   дуга   ACB   окружности  с   центром   O   больше полуокружности, то ее градусная мера равна

360⁰ − ∠𝐴𝑂𝐵.

ÈAСB = 360° -ÐAOB

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

∠𝐴𝐵𝐶 – вписанный.

Теорема.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

ÐABС = 1 È AС

2

Следствия.

1.            Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐷𝐵

2.            Вписанный         угол,         опирающийся         на полуокружность, – прямой.

È AB – полуокружность, то ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐷𝐵 = 90⁰

Проверяем себя.

Т1. Укажите верные утверждения:

а) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

б) Угол, вписанный в окружность, в два раза больше соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

в) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

г)   Если   вписанный   угол   опирается   на   дугу,   составляющую   20% окружности, то он равен 36⁰.

Ответ: в), г)

Т2. Укажите неверные утверждения:

а) Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. б) Диаметр делит окружность на две равные дуги.

в) Центральный угол равен половине дуги, на которую он опирается. г) Если вписанные углы равны, то они опираются на одну и ту же дугу. Ответ: в), г)

Т3. Заполните пропуски:

а) Угол, вершина которого …, а … окружность, называется вписанным углом.

б) Вписанный угол …, на которую он опирается. в) Вписанный угол, опирающийся на …, – прямой.

Ответ: а) лежит на окружности; стороны пересекают; б) измеряется половиной дуги; в) полуокружность

Решаем задачи.

1.     а) В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 28

б) В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Вписанный угол ACB равен 35°. Найдите центральный угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Ответ:110

в) В окружности с центром O отрезки AC и

BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 88°.

Найдите угол DBC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 46

2.     а) Вершины треугольника ABC лежат на окружности, центр которой, находится на стороне AB. Найдите угол BAC, если угол ABC равен 54°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36

б) Вершины треугольника ABC лежат на окружности,

центр которой, находится на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 75°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 15

в) Вершины треугольника ABC лежат на окружности, центр которой, находится на стороне AB. Найдите угол BAC, если угол ABC равен 34°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 56.

3.          а) Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром в точке O. Точки O и C лежат по одну сторону относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 27°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 13,5

б) Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром в точке O. Точки O и C лежат по одну сторону относительно прямой AB. Найдите угол ОAB, если угол AСB равен 27°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 63

в) Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром в точке O. Точки O и C лежат по одну сторону относительно прямой AB. Найдите угол AОB, если угол AСB равен 27°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 54

а)   На   окружности  отмечены   точки   A,   B   и   C.   Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 200°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 80°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 40

б)   На   окружности  отмечены   точки   A,   B   и   C.   Дуга

окружности AC, не содержащая точку B, составляет 120°, вписанный угол ACB составляет 70°. Найдите дугу окружности BC, не содержащую точку A. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 100

в) На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 160°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 50°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 75.

4.          а) Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что ∠𝐶𝐴𝐵 = 27⁰, ∠𝐶𝐸𝐴 = 75⁰ Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 78

б) Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что ∠𝐶𝐷𝐵 = 45⁰, ∠𝐵𝐸𝐷 = 63⁰ Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 144

в) Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что ∠𝐷𝐵𝐴 = 59⁰,

∠𝐵𝐸𝐷 = 47⁰ Найдите угол CAB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 74

5.          а) На окружности по разные стороны от диаметра MN взяты точки D и F так, что 𝑀𝑁 ⊥ 𝐷𝐹. Известно, что

∠𝐹𝐷𝑀 = 56⁰. Найдите градусную меру дуги FND. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 136

б) На окружности по разные стороны от диаметра MN

взяты точки D и F так, что 𝑀𝑁 ⊥ 𝐷𝐹. Известно, что ∠𝐷𝑀𝐾 = 39⁰. Найдите градусную меру дуги FMD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 204

в) На окружности по разные стороны от диаметра MN взяты точки D и F так, что 𝑀𝑁 ⊥ 𝐷𝐹. Известно, что ∠𝐹𝐷𝑀 = 64⁰. Найдите градусную меру дуги FN, не содержащую точку M. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 52

6.          а) На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=43° и МВ=ВN. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 47

б) На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠МNB=20° и МВ=ВN. Найдите дугу МN, не содержащую точку B. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 280

в) На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=26° и МВ=ВN. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 64.

Задачи с развернутым ответом

1.            Центральный угол на 47⁰ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 47

2.            Хорды MP и KN пересекаются в точке B. Известно, что ◡𝐾𝐿𝑃 = 150⁰, ◡𝑀𝐹𝑁 = 120⁰ Найдите угол KBP. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 135

3.            Точки A, B, C, D лежат на окружности. Угол ABD равен 38⁰, угол CAD равен 54⁰. Найдите угол ADC.

Ответ: 88